四川省德阳外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（PDF版，含解析）

德阳外国语学校高 2023级高一下期 3月月考数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 A x 2 x 0 ,B x 1 x 1 .则 A B （ ）
A． x 1 x 1 B． x 2 x 1 C． x 1 x 0 D． x 2 x 1
2．命题“ x 1， x2 3x 5 0 ”的否定是（ ）
A． x 1， x2 3x 5 0 B． x 1， x2 3x 5 0
C． x 1， x2 3x 5 0 D． x 1， x2 3x 5 0
3．“ 1 x 1”是“ x2 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 2024 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．设函数 f x 3x 2x 4的零点为 x0，则 x0 （ ）
A． 1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3

6．如图，已知 AM 是 ABC的边 BC上的中线，若 AB=a， AC b，则 AM 等于（ ）
1 a b 1
1 1
A． B． a b C． a b D． a b2 2 2 2
7．函数 f (x) x2 6 log2 | x |的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 f x 是定义在 0, 上的增函数，则满足 f 2x 1 f 1 的 x的取值范围是（ ）
3
1 , 2 1 , 2 1 2 1 2 A． B． C． ,3 3 3 3 2 3
D． ,
2 3
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
10．（多选题）下列诱导公式正确的是（ ）
sin(3π ) sin sin 7π A．

B． 2
cos
2
5π
C． cos 2 sin 2 D． cos(9π 3 ) cos3
2
11．要得到 y
π
cos 2x

的图象，可以（ ）
4
A．将曲线 y cos 2x
π
上所有的点向右平移 个单位长度
4
B．将曲线 y cos 2x π上所有的点向右平移 8 个单位长度
C．将曲线 y cos
x π 1 上所有的点横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变 8
D．将曲线 y cos x
π
1 上所有的点横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
4 2
12．关于函数 f x 2sin x cos x 2 3 cos2 x，下列说法正确的是（ ）
π
A．最小正周期为 π B．关于点 , 3 中心对称
6
5π π
C．最大值为 3 2 D．在区间 , 12 12
上单调递减

三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13．已知某扇形的半径为 2，弧长为 π，则该扇形的圆心角为 rad .
π π
14．函数 y 2 tan x 的最小正周期是 ．
2 6

15．如图，点 O是正六边形 ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA
相等的向量有 个.
16．若函数 f x sin x cos x 0 的图象在 0, π 3 内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数 的取值范
围是 ．
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：
1 1
(1)8 2a b c 6 a 2b c 2 2a c ； (2) 2a 8b 4a 2b ．3 2

18．已知向量 a与b满足 a 2

， b 1， a与b的夹角为60 ．

(1)求a b； (2)求 2a 3b ．
19．已知角 的终边经过 P( 4,3)，
（1）求 sin ， tan 的值；
sin cos
（2）求 的值；
sin 3cos
20．已知角 是第二象限角， sin 2 5 .
5
π
(1)求 cos 和 sin 的值；
4
(2)求 tan 2 的值.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
π
21．已知函数 f (x) sin( x ) 0,

的部分图象如图所示.
2
(1)求 f (x)的解析式；
π π
(2)将 f (x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.6 3
22．对于函数 f (x) a sin x b cos x，称 (a ,b)为函数的“特征数对”，同时称 f (x)为 (a ,b)的“特征函数”，记 (a ,b)的特
征函数为 f(a,b)；

（1）求函数 f (x) cos x 2cos( x)的特征数对；
2
3
（2）若 f(1, 2 )的图象向左平移 t(t 0)个单位长度，得到 f(1, 2 )的图象，解关于 x的不等式 cos x sin x sin t4
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
参考答案：
1．D
【分析】
根据并集的定义求解即可.
【详解】依题意， A B x 2 x 1 .
故选：D
2．B
【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ x 1, x2 3x 5 0 ”的否定是“ x 1, x2 3x 5 0 ”.
故选：B.
3．C
【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证.
【详解】先证 1 x 1 x2 1：
因为 1 x 1，所以 x 1 0， x 1 0，故 x 1 x 1 0，即 x2 1 0，故 x2 1；
再证 1 x 1 x2 1：
因为 x2 1，所以 x2 1 0，即 x 1 x 1 0，故 1 x 1；
综上：“ 1 x 1”是“ x2 1”的充分必要条件.
故选：C
4．B
【分析】
根据终边相同的角判断即可.
【详解】 2024 136 6 360 , 且136o角是第二象限角，
2024 角的终边在第二象限.
故选：B
5．B
【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解.
x
【详解】由题意函数 y 3x 与函数 y 2x均单调递增，所以函数 f x 3 2x 4也单调递增，且
f 0 3 0, f 1 1 0，
答案第 1页，共 7页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
x
所以由零点存在定理可知函数 f x 3 2x 4的零点 x0 0,1 .
故选：B.
6．C
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为 AM 是 ABC的边 BC上的中线，
1 1
所以CM CB，所以 AM AC CM AC CB
2 2
1 1 AC AB AC AB AC 1 2 2 2 a b .
故选：C
7．B
【分析】先判断函数 f x 的奇偶性，然后根据 x 时的函数值确定出正确选项.
f ( x) x 2 6 log | x | x2【详解】因为 2 6 log2 | x | f (x)，且定义域为 ,0 0, 关于原点对称，
所以函数 f (x)为偶函数，所以排除 C，D；
又因为当 x 时， y ，所以排除 A.
故选：B.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8．D
【分析】根据函数的单调性，可得关于 x的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 f x 是定义在 0, 上的增函数，
则由 f 2x 1 1 f ，得0 2x 1
1
，
3 3
1 2 1 2
解得 x ，即 x , ，
2 3 2 3
故选：D
9．AD
【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
答案第 2页，共 7页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为 1，故 A正确；
根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故 B错误；
向量不能够比较大小，故 C错误；
根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故 D正确.
故选：AD.
10．BC
【分析】利用三角函数的诱导公式即可得解.
【详解】对于 A， sin(3π ) sin(π ) sin ，故 A项错误；
sin 7π sin π π 对于 B，
sin cos ，故 B正确；
2 2 2 2 2 2
cos 5π 2 cos π 2 对于 C， sin 2 ，故 C正确；
2 2
对于 D， cos(9π 3 ) cos(π 3 ) cos3 ，故 D错误.
故选：BC.
11．BD
【分析】由题意，利用函数 y Asin( x )的图象变换规律，即可得出结论．
π π
【详解】要得到 y cos 2x 4
的图象，可以将曲线 y cos 2x上所有的点向右平移 个单位长度，故选项 A错误，
8
选项 B正确，
又 y cos 2x
π
的图象也可将曲线 y cos
x π 1 上所有的点横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变得到，
4 4 2
所以选项 C错误，选项 D正确，
故选：BD.
12．ABC
【分析】
首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.
【详解】 f x 2sin x cos x 2 3 cos 2x sin 2x 3 cos 2x 1 ，
2sin 2x π 3 ，
3
2π
函数的最小正周期T π2 ，故 A正确；
f π 2sin
π π π
3 0 3 3 ，所以函数 f x

图象关于点 , 3

中心对称，故 B正确；
6 3 3 6
f x 2sin 2x
π
3 ，所以函数的最大值为 2 3，故 C正确；
3
答案第 3页，共 7页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
x 5π , π π π π π π 由 ， 2x , ，函数 y sin x在区间 , 单调递增， 12 12 3 2 2 2 2
5π π
所以函数 f x 在区间 ,
12 12
上单调递增，故 D错误.

故选：BC
1
13． /
2 2
【分析】设出圆心角，利用弧长公式得到方程，求出答案.
π
【详解】设圆心角为 ，则 2 π，解得 .
2
π
故答案为：
2
14． 2
【分析】
由正切函数周期的定义直接计算即可.
π π π 2
【详解】 y 2 tan x 2 6
的最小正周期为 π .
2
故答案为： 2
15．3
【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解.

【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量OA相等的向量有DO，CB，EF，共 3个.
故答案为：3
15 2116．
4 4
【分析】
化简 f (x)解析式，根据三角函数对称轴和对称中心的知识和定义域列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】
π
由题意，得 f x sin x cos x 2sin x ，
4
π π
令 x kπ
π
k Z kπ ，解得
4 2 x 4 k Z ，
令 k 0,1, 2
π 5π 9π
，得 x , , ；
4 4 4
x π
π
令 kπ k Z kπ ，解得
4 x 4 k Z ，
答案第 4页，共 7页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
k 1,2 x 3π , 7π令 ，得 ．
4 4
5

4 3
9
4 3 15
根据题意，得 ，解得
21
．
3 4 4
4 3

7
4 3
15 21
故答案为： ．
4 4

17．(1)6a 4b

(2)2b a
【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果；
（2）按照向量的运算法则依次计算即可.

【详解】（1）原式 16a 8b 8c 6a 12b 6c 4a 2c

(16 6 4)a ( 8 12)b (8 6 2)c

6a 4b．
1 a 4b 4a 2b 1 （2）原式 3a 6b 2b a3 3
18．(1)1；
(2) 13 .
【分析】（1）根据数量积的计算公式，结合已知条件，计算即可；
（2）根据模长计算公式，结合（1）中所求数量积，计算即可.

【详解】（1）设 a与b的夹角为 ，

则 a

b a b cos 2 1 1 1；
2

（2） 2a 3b 2a 3b 2 2 4 a 2 9 b 12a b
16 9 12 13 .
19．（1） sin
3 3
， tan ；（2）
5 4 1
15
【分析】（1）根据三角函数的定义即得；
答案第 5页，共 7页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
（2）弦化切即可.
【详解】（1）略
3
（2）由 tan ，
4
所以 .
3
sin cos tan 1 1
4 1
sin 3cos tan 3 3 3 15
4
20．(1) π 10cos 5 ， sin 5 4

10
(2) tan 2
4

3
【分析】（1）由平方关系以及两角和的正弦公式即可得解.
（2）由切弦互换以及正切的二倍角公式即可得解.
2
【详解】（1）因为角 2 5

是第二象限角， sin ，所以 cos 1 sin2 2 5 5 1
5 5
，
5

所以 sin
π 2
sin
2
cos 2 2 5 2 5 10 . 4 2 2 2 5 2 5

10
sin
（2）由（1 sin 2 5）知 ， cos 5 ，所以 tan 2，
5 5 cos
2 2
tan 2 2 tan 4 2 2 1 tan .1 2 3
21．(1) f (x) sin 3x
π

4
(2) 2最小值 ；最大值 1
2
【分析】
（1）根据题意结合五点法求函数解析式；
（2）根据图象变换可得 g(x) sin

3x
π
，以 3x
π
为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
4 4
5π π 2π
【详解】（1）由图可知：T 2 ，且 0，
12 12 3
T 2π 2π因为 ，所以 3 .
T
答案第 6页，共 7页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}
π π
又因为 f 1，即 sin 3 12 12
1，

则3
π π
2kπ(k π Z)，即 2kπ(k Z) .
12 2 4
π
且
π π
，可知 k 0, ，所以 f (x) sin
3x
2 4 4
.

π π π
（2）由 y f (x)的图象向右平移 个单位长度后得 g(x) f x sin 3x ，6 6 4
x 0, π t 3x π π 3π因为 ，令
,
3 4 4 4
，

当 t
π
2，即 x 0时， g(x)取最小值 ；
4 2
π π
当 t ，即 x 4 时，
g(x)取最大值 1.
2
22．（1） 2,1 17 ；（2） 2k , 2k ， k Z； 12 12
【分析】（1）利用诱导公式将函数化简，根据题意即可求出函数的特征数对．
3
（2）依题意表示出 f(1, f 2 )、 (1, 2 )，利用辅助角公式将函数化简即可求出 sin t，则不等式 cos x sin x sin t等价于4
cos x sin x 2 ，用两角和的余弦公式及三角函数的性质解答．
2

【详解】（1） f (x) cos x 2cos( x) cos x 2sin x 2sin x cos x
2
依题意， f (x)的“特征数对”为 2,1
（2）依题意，函数 f(1, 2 )为 y sin x 2 cos x 3 sin x
函数 f(1, 2 )为 y sin x 2 cos x 3 sin x
sin 2其中 , cos 1
3 3
依题意， t 2k 2 ， sin t sin 2 2sin cos 2 2
3
cos x sin x 3 sin t
4
2
cos x sin x 2 即 2 cos x 2 4

2
cos x 1 17 解得 2k x 2k ， k Z
4 2 12 12
2k , 17 即不等式的解集为： 2k ， k Z【点睛】本题考查三角恒等变换，三角不等式的求解，属于中档 12 12
题．
答案第 7页，共 7页
{#{QQABQQQQggAgAIBAABgCAQ1QCAIQkAEAACoGgFAMIAAACRNABAA=}#}