山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高二下学期第一次质量检测数学试题（含解析）

颐中外国语学校2023-2024学年高二下学期第一次质量检测
数学试题 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是
A．6 B．12 C．18 D．36
2．函数的单调递减区间是
A． B． C． D．和
3．在的展开式中，的系数为
A．10 B． C．20 D．
4．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为
A．3 B．6 C．10 D．15
5．已知函数，有大于零的极值点，则的取值范围为
A． B．
C． D．
6．若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
7．某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为
A．12 B．18 C．21 D．24
8．若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有（ ）个．
A． B．20 C．10 D．12
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的，得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是
A．可表示为
B．若把单词“best”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有23种
C．9个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手36次
D．5个人站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，共有72种不同排法
10．关于二项式的展开式，下列选项正确的有
A．总共有6项 B．存在常数项C．项的系数是40 D．二项式系数之和为32
11．函数的图象可能是
A． B．
C． D．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．函数的极大值为 ．
13．从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有 种.．
14．已知的展开式中的系数是10，则实数的值是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知二项式的展开式中共有10项．
(1)求展开式的第5项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项．
16．（15分）从4名男生和3名女生中各选2人，
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）
17．（15分）已知函数.
(1)若，求实数的值;
(2)求函数的单调区间.
18．（17分）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围.
19（17分）.某届世界杯足球赛决赛，共有32个队入围．他们先分成8个小组进行单循环赛，决出16强（各小组取前两名），然后这16强按照确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军和第三、第四名．问
(1)第一阶段分8个小组进行单循环赛，决出16强，需要安排多少场比赛？最多需准备多少比赛场馆？
第二阶段进行淘汰赛，最后决出冠、亚军和第三、四名共安排了多少场比赛？
颐中外国语学校2023-2024学年高二下学期第一次质量检测
数学试题 参考答案：
1．B【详解】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法，
将三个孩子插入两两大人之间的空隙中，有种站法，
故总的站法有.故选：B
2．C【分析】求出导函数，令即可得解.
【详解】，
令，得，所以函数的单调递减区间是.故选：C.
3．D【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解.
【详解】展开式的通项为，
令，则的系数为.故选：D.
4．B【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，所以不同放法的种数为.故选：B
5．D【分析】由极值点的定义结合函数与方程参变分离即可求解.
【详解】由题意有正根，即方程有正根，
而当时，，所以的取值范围为.故选：D.
6．C【分析】根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离法即可通过求相应函数的最值求得参数范围.
【详解】因为函数是上的增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立．令，,则，
则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，所以．故选：C．
7．B
8．A【分析】分三种情况讨论，再利用分步计数原理排数字，即可求解.
【详解】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数可分为类：
第一类，五位数的各个数位上的数字是个，个组成，
则由首位不为可知，在首位，其余各位为，即，仅有种方法；
第二类，五位数的各个数位上的数字是个，个，个组成，
则由首位不为可知，或在首位，选个放在首位，另个则从其它个位选个位放上，其余各位为，共有种方法；
第三类，五位数的各个数位上的数字是个，个组成，
则由首位不为可知，在首位，在其它个位中选个位为，其余各位为，共有种方法；所以由分类计数原理可得共有个这样的五位数.故选：A
9．BC【分析】根据排列数公式计算即可判断A；利用排列即可判断B；从9人种选2人结合组合即可判断C；利用排除法即可判断D.
【详解】对于A，因为，故A错误；
对于B，可能出现的错误共有，故B正确；
对于C，9个朋友聚会，两人握手一次，则共有次，故C正确；
对于D，若5个人站成一排，则有种，
若甲站排头，则有种，
若乙站排尾，则有种，
若甲站排头且乙站排尾，则有种，
所以甲不站排头，乙不站排尾，共有种不同排法，故D错误.故选：BC.
10．ACD根据二项展开式以及二项式系数的概念，逐项分析判断即可得解.
【详解】根据二项展开式的通项公式可得：
，
对A，由指数为，展开式共有项，A正确；
对B，由，若要存在常数项即有解，
此时，不符题意，不存在常数项，故B错误；
对C，令，解得，此时，，故C正确；
对D，由二项式系数和为，故D正确.故选：ACD
11．ABD【详解】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以在上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.故选：ABD.
12．/
【详解】，当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．故答案为：
13．70【详解】若选出的1男2女，此时选法有种，若选出的2男1女，此时选法有种，故男女生都要有的选法有种.
14．1【分析】根据条件，求出的系数，列出关于的方程，求出a的值.
【详解】因为的展开式的通项为，
又的展开式中的系数是10，所以，即，所以，则.
15．(1)126(2)
【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可；
（2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可.
【详解】（1）解：因为二项式的展开式中共有10项，所以，
所以第5项的二项式系数为；
（2）由（1）知，记含的项为第项，
所以，
取，解得，所以，
故展开式中含的项为.
16．(1)18(2)15(3)84【详解】（1）根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，
男生有种选法，女生有种选法，故选法有种；
（2）根据题意，分3种情况讨论：
男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种．
男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种，
男生甲和女生乙被选中，有种，
则共有种选法.
（3）男生甲和女生乙同时被选中的选法为种，
4人参加百米接力赛的总安排方法为种，
甲跑第一棒的安排方法为种，
乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．
17．(1)(2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【详解】（1），
因为，所以.
（2）函数的定义域为.
，
当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令解得，
的解集为，
的解集为，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
18．(1)(2)的极大值为极小值为(3)
【详解】（1）由题得：，
结合题意可得，
解得，经检验符合题意，
故，，
所以在点处的切线方程为.
（2）由（1）知.
令，解得或，
令，解得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，
的极小值为；
（3）在上有极大值，无极小值，
又因为，，所以，
所以要使不等式能成立，则.
所以，
故取值范围是.
19.(1)48，16 (2)
【详解】（1）第一阶段每个小组有4个队，进行单循环赛需安排场比赛．
合计需安排场比赛．
即使所有队同时开始比赛，最多需个场馆．
（2）第二阶段进行淘汰赛，由16支队决出前4强需要场比赛．
剩下前4强，需有2场比赛，
首先决出前2名，再有1场比赛决出冠、亚军，再1场比赛决出第三、第四名．
所以16强共计需要场比赛