山东省枣庄市滕州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月单元过关考试（月考）数学试卷（PDF版，含答案）

2023-2024 学年第二学期 3 月单元过关考试
高一数学
考试时间：3 月
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．

1．已知a 5,4 ，b 3,2 ，则与 2a 3b平行的单位向量为
5 2 5 5 2 5 5 2 5
A． ,5 5
B． , 或 ,
5 5 5 5
5 , 2 5
5 , 2 5
5 2 5
C． 或5 5
D． ,
5 5

5 5



2．在平行四边形 ABCD中， AC为一条对角线，若 AB (2,4)， AC (1,3)，则 BD （ ）
A． 2, 4 B． 3, 5 C． 3,5 D． 2, 4
3．若 z1， z2为复数，则“ z1 z2 是实数”是“ z1， z2互为共轭复数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图所示，正方形O A B C 的边长为 2cm，它是水平放置的一个平
面图形的直观图，则图形的周长是（ ）
A．16cm B．8 2cm
C．8cm D． 4+4 3cm
5． ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，若 3b c cos A acosC
则 cos A （ ）
A 1 3 3． 2 B． C． D． 32 3
6. 正方形 ABCD 的边长为 2,O 是正方形 ABCD 的中心,过中心 O 的直线 l 与边 AB 交于点 M,与边 CD 交于点

N,P 为平面内一点,且满足 2OP OB 1 OC ,则 PM PN的最小值为( )
A. 1 B. 9 C.-2 D. 7
4 4 4
7. 如图，在 ABC中，点O是 BC的中点，过点O的直线分别交直线 AB， AC于不同的两点M，N ，
1
{#{QQABSQQUggCoAIAAABgCEQWACAMQkAGAAIoGgFAAIAAACAFABAA=}#}

若 AB mAM ， AC nAN，则m n （ ）
A. 1 B. 2
3
C. D. 3
2
8．如图所示，在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 A1B上存在一点 P使得 AP＋D1P取得最小值，
则此最小值为( )
A．2 B 2＋ 6．
2
C．2＋ 2 D． 2＋ 2
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多个选项符
合题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分每选对 1 项得 2分．
9．设 z1， z2， z3是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 z1z2 0，则 z1 0或 z2 0 B．若 z1z2 z1z3且 z1 0，则 z2 z3
C 2．若 z1 z2 ，则 z1 z1 z2 z2 D．若 z1 z2 ，则 z1 z
2
2
10．已知 ABC的内角A、 B、C所对的边分别为 a、b、 c，下列说法正确的是（ ）
A．若 sinA : sinB : sinC 2:3: 4，则 ABC是钝角三角形
B．若 sinA sinB，则 a b

C．若 AC AB 0，则 ABC是锐角三角形
D．若 A 45o， a 2，b 2 2，则 ABC只有一解
11．在给出的下列命题中，正确的是（ ）

A．设O、A、B、C 是同一平面上的四个点，若OA m OB (1 m) OC(m R)，则点 A、B、C必共线

B．若向量 a,b 是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量 c都可以表示为 c a b ( 、 R )，
且表示方法是唯一的


AB AC
C．已知平面向量OA、OB、OC满足OA OB OA OC ,AO 则 ABC为等腰三角形
| AB | | AC |

D．已知平面向量OA、OB、OC满足 |OA | |OB|=|OC | r(r 0) ，且OA OB OC 0，则 ABC是等边三
角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分．

12．在 ABC中，若b 5, B , tan A 2，则a ；
4
13．在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC= 6,∠BAC的角平分线交 BC于 D,则 AD= .
2
{#{QQABSQQUggCoAIAAABgCEQWACAMQkAGAAIoGgFAAIAAACAFABAA=}#}
14.已知球 O 的两个平行截面的面积分别为 19π和 36π,球的半径为 10,则这两个平行截面之间的距离
为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知 a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当 k为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线，
(2)若A→B＝2a＋3b B→， C＝a＋mb 且 A，B，C三点共线，求 m的值.
16．（15 -2分）已知复数 z为纯虚数,且1+i为实数.
(1)求复数 z;
(2)设 m∈R,z1=m+z,
1
若复数 21在复平面内对应的点位于第三象限,求| |的取值范围.1
π
17．（15 分）在 ABC中，内角A， B，C的对边分别为 a，b，c， A ．
3
(1)若 c 2b，证明： sin A sin B sin A sin B sin BsinC ；
(2)若a 2，求 ABC周长的最大值．
18.（17分）经过△OAB → → → →的重心 G的直线与 OA，OB分别交于点 P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，
m ＋，n∈R .
(1) 1 1证明： ＋ 为定值；
m n
(2)求 m＋n的最小值.
3
{#{QQABSQQUggCoAIAAABgCEQWACAMQkAGAAIoGgFAAIAAACAFABAA=}#}
cos A cos B cosC
19．（17 分）在Rt△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 .
a b c
(1)求角 A；
(2)已知 c 2b， a 2 3，点 P，Q是边 AC上的两个动点（P，Q不重合），记 PBQ .
π①当 时，设 PBQ的面积为 S，求 S的最小值：
6
②记 BPQ ， BQP .问：是否存在实常数 和 k，对于所有满足题意的 ， ，都有
sin 2 sin 2 k 4k sin sin 成立 若存在，求出 和 k的值；若不存在，说明理由.
4
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2023-2024 学年第二学期 3 月单元过关考试
高一数学
考试时间：3 月
一、单项选择题：
1．B 2．B 3．B 4．A 5．C. 6.D 7. B 8．D.
二、多选题
9．ABC 10．ABD 11．ACD.
三、填空题
12.2 10 13．2 14.1或 17
四、解答题：
15.解:(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b 与 a＋2b 共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即 2k－4 1＋5＝0，得 k＝－ .
2
(2)∵A，B，C三点共线，
→
∴AB＝λB→C，
即 2a＋3b＝λ(a＋mb)，
2＝λ，
m 3∴ 解得 ＝ .
3＝mλ， 2
16．解析 (1)设 z=bi,b≠0且 b∈R,
-2 = -2+ i = (-2+ i)(1-i) -2+(2+ )i则1+i 1+i (1+i)(1-i) = 2 .
-2
∵1+i为实数,
∴b=-2,即 z=-2i.
(2)由(1)及已知得 z1=m+z=m-2i,故 2=(m-2i)2=m21 -4-4mi,
∵ 21在复平面内对应的点位于第三象限,∴m2-4<0且-4m<0,解得 0又|z1|= 2 + 4,
∴2<|z1|<2 2,
2
∴ 4 <
1 1 1 2 1
| < ,即1| 2 | |
的取值范围是
1 4
, 2 .
1
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17．
【答案】(1)证明见解析 (2)6
π
a2 2 2
A
【解析】（1）证明：由余弦定理知 b c 2bc cosA和 3，
a2 b2 c2得 bc，
2 2 2
又 c 2b，则 a b 2b bc，
2 2
结合正弦定理得 sin A sin B sin BsinC，
(sinA sinB)(sinA sinB) sinBsinC；
2 2 2
（2）由（1）知 a b c bc，又 a 2，
2
b2故 c
2 bc 4 b c 3bc 4，即 ，
2
3bc 4 b c 2 3 b c 4b 0,c 0 ，所以 2 ，
b2 c2 bc 4
| b c 2 16 则 ，故b c 4，当且仅当 b c ，即b c 2时取等号，
故 a b c 6，即 ABC周长的最大值为 6.
18. (1) → →证明 设OA＝a，OB＝b.
O→G 2 1(O→由题意知 ＝ × A＋O→B)
3 2
1
＝ (a＋b)，
3
P→Q →＝OQ O→－ P＝nb－ma，
1
P→G →
－m
＝OG →－OP＝ 3 a 1＋ b，
3
由 P，G，Q三点共线得，
存在实数λ，使得P→Q →＝λPG，
1
－m 1
即 nb－ma＝λ 3 a＋ λb，
3
1
－m
－m＝λ 3 ，
从而
n 1＝ λ，
3
1 1
消去λ得 ＋ ＝3.
n m
2
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(2)解 由(1) 1 1知， ＋ ＝3，
m n
1 1
＋
于是 m＋n 1＝ m n (m＋n)
3
2 n m1 ＋ ＋
＝ m n 1 4≥ (2＋2)＝ .
3 3 3
2 4
当且仅当 m＝n＝ 时，m＋n取得最小值，最小值为 .
3 3
19．
π
【答案】(1) A (2)①3 2 3 π；②存在， ， k 33 3 2
cos A cos B cosC cos A cos B cosC
【解析】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 ，
a b c sin A sin B sinC
所以 sin AcosB sin AcosC cos Asin B cos AsinC，
所以 sin AcosB cos Asin B cos AsinC sin AcosC，所以 sin A B sin C A ，
因为 A B π,π ，C A π,π ，
所以 A B C A或 A B π C A 2 π A B C A 2 或
2 2
，

π
即 2A B C或C B π（舍去）或 B C π（舍去），又 A B C π，所以 A ；
3
（2）①因为 c 2b，所以 B
π π
，又 A ， a 2 3，所以c 2，b 4 .2 3
如图，设∠QBC
π
x， x 0, ，
3
BQ BC
则在△QBC中，由正弦定理，得 sinC sin C x ，
BQ 3
所以 sin π x 6
BP BA
BP 3
在 ABP中，由正弦定理，得 sin A sin x π ，所以 sin x
π
，
3 3
S 1 BP BQ sin π 3 3 3
2 6 4sin x π sin
x π 2 cos 2x
π

π 3 2sin 2 x ，
6 3 2
cos
6
3
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x 0, π 2π 因为 ，所以2x 0, ， 3 3
故当 2x
π π S 3 ，即 x 时， min 3 2 3 ；2 4 3 2
②假设存在实常数 ，k，对于所有满足题意的 ， ，都有 sin 2 sin 2 k 4k sin sin
成立，
则存在实常数 ，k，对于所有满足题意的 ， ，
都有 2sin cos k 2k cos cos ，
由题意， π 是定值，所以 sin ， cos 是定值，
2 sin k cos k 1 2cos 0对于所有满足题意的 ， 成立，
sin k 0
故有 ,
k 1 2cos 0
因为 k sin 0 ，从而1 2cos 0 ，即 cos 1 ，
2
因为 ， 为VBPQ
2π 2π π
的内角，所以 ，从而 π = ， k 3 .
3 3 3 2
【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到
sin k 0
2 sin k cos k

1 2cos 0，则 ，变量多，技巧 k 1 2cos 0
性较强.
4
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