颐中外国语学校2023-2024学年高一下学期第一次质量检测
数学试题答案
1．B【详解】因为向量与共线，所以，解得．
2．C【详解】解：由已知得，因为，故，解得.
3．C【详解】，则不存在任何，使得，所以不共线，A选项错误；则不存在任何，使得，所以不共线，B选项错误；由向量的加法原理知．则有，又与有公共点，所以三点共线，C选项正确；，则不存在任何，使得，所以不共线，D选项错误．
4．A【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误.
5．A【详解】在中，，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.
6．B【详解】由向量，可得，
所以.
7．A【详解】，，又，，.
8．B【详解】
ABC【详解】
对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
10．ACD【详解】若，则，解得，A正确；
若，则，解得， 所以，B错误；
因为，，而，当且仅当，反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量，的起点为坐标原点，向量的终点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上，向量终点在第二象限，当，反向，则向量的终点应在第四象限，此时，，所以C正确；
若，则，即，所以，，
所以，D正确.
11．ABD
【详解】对A：，，所以，故A正确；
对B：，所以，故B正确；
对C：，则有、，即与向量平行的单位向量有、，故C错误；
对D：向量在向量上的投影向量为，
12．【详解】，，因为，所以，所以.
13./0.5【详解】由为的中点，及，得，即，又四边形的对角线交于点，即点共线，因此，所以.
14.【详解】向量，则，.所以向量在向量上的投影向量为.
15．(1)；(2).
【详解】（1）由，得，则有，解得，
所以.
依题意，，，由，得，解得，所以.
16.(1)或3(2)1或
【详解】（1）若，则．
整理得，解得或．故的值为或．
（2）若，则有，即，解得或．
当时，，，∴，∴．
当时，，，∴，∴．
综上，的值为1或．
17.(1)(2)【分析】（1）代入投影向量的计算公式，即可求解；（2）转化为，且不平行.
【详解】（1）向量在向量方向上的投影向量为；
（2）若向量与向量的夹角为锐角，则，
，得，若向量，则，得，经验证满足同向共线，
所以
18．(1)；(2)；(3) ．
【详解】（1）∵ ,, .∴ ；
（2）∵,∴ ；
（3）∵,
∴
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数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单项选择题。（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A．－2 B． C．2 D．5
2．已知向量，，若，则实数（ ）．
A． B． C． D．
3．已知向量，且，则下列一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
4．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A． B． C． D．
5．中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．4
6．已知，则等于（ ）
A．10 B． C．3 D．
7．定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）
A．8 B． C．8或 D．6
8.在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
二、多选题。（本小题共3个，每个6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最大值为6 D．若，则
11．已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与向量平行的单位向量仅有
D．向量在向量上的投影向量为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3个题，每题5分，共15分）
12．已知向量，.若，则 ．
13．已知四边形的对角线交于点为的中点，若，则 .
14．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是 .
四、解答题，本题共5个小题，共77分，解答应出现文字说明，证明过程，演算步骤。
15（本小题13分）
已知向量，，．
(1)求满足的实数m，n的值；
(2)若，求实数k的值．
16（本小题15分）.
已知平面向量，，．
(1)若，求x的值；
(2)若，求的值．
17（本小题15分）.
平面内给出三个向量，，，求解下列问题：
(1)求向量在向量方向上的投影向量的坐标；
(2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；
18（本小题17分）.
已知向量 和 ，则 ,, 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 与 的夹角θ的余弦值．
19（本小题17分）
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c).
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.
