济宁市育才中学 2023 级高一下学期 4 月份月考
数学试题 2024.04
本试卷共 4页，共 19题，全卷满分 150分．考试用时 120分钟．
注意事项： A. 2 B.0 C. 2 2 D. 2 2
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置． lnx , x 0 ff x x 8. 已知函数 x ，若函数 y f 所有零点的乘积为 1，则实数 a的取值范围为（ ）
2 a．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干 e 2, x 0
净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． A. 2,3 B. 0,2 3, C. 3, D. 1,2 3,
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
8 5 40 二、多项选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
要求。全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
合题目要求的．
9．已知正实数 x，y满足 2x y xy，则（ ）
1.sin 240 （ ）
1 8
A． B． x 2y 9 C． x y 6 D． 3
3 1 1 3 x 1 y
A. B. C. D.
2 2 2 2
10 f (x) sin ． 已知函数 x ( 0)，则下列说法中正确的是（ ） 6
2.已知向量 a m,1 ,b 0,3 ，且 a a b ，则m （ ）
x x A． 2 B．2 C． 2 D． 2 A．若 和 为函数 f (x)图象的两条相邻的对称轴，则 23 6
3sin α－cos α
3. 已知 tan α＝2，则 等于( ) 1 1 3
sin α＋2cos α B．若 ，则函数 f (x)在 (0, )上的值域为 ,2 2 2
A.5
B 5 5 5．－ C. D．－
4 4 3 3 C．将函数 f (x) 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若 g(x)为奇函数，则 的最小值为 5
6
4.函数 y f x 2 的定义域为 0,2 ，则函数 y f 2x 的定义域为（ ） D．若函数 f (x)在 (0, )上恰有一个零点，则 5 11
6 6
A. 4,0 B. 1,0 C. 1,2 D. 4,8
11．如图，延长正方形 ABCD的边CD至点 E，使得DE CD，动点 P从点 A出发，沿正方形的边按逆时针方向
5. f x x5 3已知 ax bx 3且 f 2 5，则 f 2 的值是（ ） 运动一周后回到点 A，若 AP AB AE，则下列判断不正确的是（ ）
A. 3 B. 1 C.3 D. 1
6.下列说法中正确的是（ ）
sin x 5 A.
cos x B.若
是第二象限角，则 是第一象限角
2 2 A．满足 2的点 P必为 BC的中点 B．满足 1的点 P有且只有一个
C. 2“ x 1”的充分不必要条件是 x 1 D.命题： x 0， ln x x 1的否定是： x0 0， ln x0 x0 1 C．满足 3
3
的点 P有且只有一个 D．满足 的点 P有且只有一个
2
7.已知函数 f (x) Asin( x )（ A 0 0 ， ， ）的部分图象如图所示，则 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分。
2 2 12.设集合 A {x | x2 x 6 0}，B {x | a x a}，若 A B，则实数 a的取值范围是______．
f (1) f (2) f (3) f (2024)等于（ ）
13. 如图 1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨， 纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开
第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页
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1
的平面图如图 2的扇形 AOB，其中 AOB 150 ，CO AO 2，则扇面（曲边四边形 ABDC）的面积是______ 18.（满分 17分）．
3
已知函数 f x 9x 2 3x m m 0 ．
（1）当m 1时，求不等式 f x 27的解集；
（2）若 x2 x1 0且 x1x2 m
2
，试比较 f x1 与 f x2 的大小关系；
14.在 Rt△ABC中，CD是斜边 AB上的高，如图，则下列等式成立的是
（3）令 g x f x f x ，若 y g x 在 R上的最小值为 11，求 m的值．
.|A→C|2 A→C·A→B .|B→① ＝ ② C|2 →＝BA·B→C
→ → → →
.|A→B|2 A→C·C→ →
（AC·AB）×（BA·BC）
③ ＝ D ④.|CD|2＝
|A→B|2
四、解答题:本题共 5小题，共 77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （满分 13分）
已知集合 A {x | a 1 x 2a 3}， B {x | 2 x 4}，全集U R．
（1）当 a 2时，求 A B， CUB CU A ；
（2）若 x A是 x B成立的充分不必要条件,求实数 a的取值范围．
16．（满分 15分）
m ( 2cos x,1),n π
已知向量 (sin(x ), sin 2x)，函数
3 f (x) m n
．
(1)求函数 f (x)的最小正周期；
(2)当 x 0,
π
时，求函数 f (x)的最值． 2
17.（本题满分 15分）
如图，已知 O是边长为 6 cm的正方形 ABCD的中心，质点 P1从点 A出发沿 A―→D―→C―→B方向，同时质
点 P2也从点 A出发沿 A―→B―→C―→D方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇为止．
已知质点 P1的速度为 2 cm/s，质点 P2的速度为 1 cm/s．
―→ ―→
（1）请将OP1 ·OP2表示为时间 t（单位：s)的函数 f t ；
（2 ―）求OP→ ―1 ·OP→2的最小值.
第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页
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济宁市育才中学 2023级高一下学期 4 月份月考 由AC·CD＝|AC||CD|·cos(π－∠ACD)＜0，|AB|
2＞0，知③ 错误；
→ → → →
数学试题参考答案 → → → → →
（AC·AB）×（BA·BC）
由图可知 Rt△ACD∽Rt△ABC，所以|AC||BC|＝|AB||CD|，结合选项 A，B 可得|CD|2＝ ，④ 正确.
→
|AB|2
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B
15. （本题满分 13 分）
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。 【解】（1）当 a＝2 时，A＝{x|1≤x≤7}，则 A∩B＝{x|1≤x≤4}；
9.BD 10.ACD 11.ABD UA＝{x|x＜1 或 x＞7}， UB＝{x|x＜﹣2 或 x＞4}，
11.【详解】如图建系，取 A B 1， （ UA）∩（ RB）＝{x|x＜﹣2 或 x＞7}；
（2）∵x∈A 是 x∈B 成立的充分不必要条件，∴A B，
①若 A＝ ，则 a﹣1＞2a+3，解得 a＜﹣4；
a 1 2 a 3
1
②若 A≠ ，由 A B，得到， a 1 2 且 a﹣1≥﹣2 与 2a+3≤4不同时取等号，解得：﹣1≤a ，
A E A D D E A D A B 2
2 a 3 4
A P A B A E A B A D 1, 0 0 ,1 , ，
1
综上所述：a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[﹣1， ]．
2
动点 P 从点 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点，
16.（本题满分 15 分）
当 P A B 时，有 0 1 且 0 ，∴ 0 ≤ ≤ 1 ，∴ 0 1 ， π 1 3
【解】（1）由已知得， f ( x ) 2 c o s x s in ( x ) s in 2 x 2 co s x ( s in x co s x ) s in 2 x
3 2 2
当 P B C 时，有 1 且 0 1 ，则 1, 1 2 1, 3 ，
3 3 (1 co s 2 x ) 3 3 3
2
s in x co s x 3 co s x s in 2 x s in 2 x ( s in 2 x co s 2 x )
2 2 2 2 2
当 P C D 时，有 0 1 且 1 ，则 1，∴1 2 ，∴ 2 3 ，
3 1 3 π 3
3 ( s in 2 x co s 2 x ) 3 s in (2 x ) ，
当 P A D 时，有 0 且 0 1 ，则 , 0 1 0 , 2 ， 2 2 2 6 2
2 π
所以 f ( x ) 的最小正周期T π ；
综上， 0 3 ， 2
π π 7 π π 1
选项 A：取 1 ，满足 2 ，此时 A P A B A E A D ， （2）当 x [0 , ] 时， 2 x [0 , π ]， 2 x , ，则 s in ( 2 x ) ,1 ，
2 6 6 6 6 2
因此点 P 不一定是 B C 的中点，故 A 错误； π 7 π π 1 3
当 2 x ，即 x 时，函数 f ( x ) 有最大值 f ( x ) 3 ( ) 0 ；
m ax
6 6 2 2 2
选项 B：当点 P 为 B 点或 A D 的中点时，均满足 1 ，此时点 P 不唯一，故 B 错误；
π π π 3 3 3
当 2 x ，即 x ，函数 f ( x ) 有最小值 f ( x ) 3 1 ．
选项 C：当点 P 为C 点时， m in 1 且 1 ，解得 2 , 3 ，由上分析可知 3 时 P 为C 点，故 C 正确； 6 2 6 2 2
3 17.（本题满分 15 分）
选项 D：当点 P 为 B C 的中点或 D E 的中点时，均满足 ，此时点 P 不唯一，故 D 错误；
2 解析：（1）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，O(3,3)，
故选：ABD. B(6，0)，C(6,6)，D(0,6)，2t＋t＝4×6＝24，解得 t＝8，所以 0≤t≤8，
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4 0 π
12. ① ② ④
[3 , ) 13. 14.
3
→ → → → → → →
14.解析 因为AC·AB＝|AC||AB|cos A＝|AC||AC|＝|AC|2，① 正确；
→ → → → → → →
因为BA·BC＝|BA||BC|cos B＝|BC||BC|＝|BC|2，② 正确；
- 1 -
{#{QQABQQQQggioAJAAABgCEQUSCgMQkAEACAoGhFAIIAAAiRNABAA=}#}
当 t∈[0,3]时，P1(0,2t)，P2(t,0)，
m
2 m 1 3
―→ ―→ 于是 g x f x f x t 2 3 t 2
则 f(t)＝OP1 ·OP2＝(－3,2t－3)·(t－3，－ ＝
2
3) 9－3t＋9－6t＝18－9t， t t
当 t∈(3,6)时，P1(2t－6,6)，P2(t,0)，
2 1 m 1 1 2 m 1 1 m 2 2 m
( t ) 2 3 ( t ) ( t ) 2 3 ( t ) 2 ( t 3 ) 2 3 ，
2
―→ ―→ t t t t t
则 f(t)＝OP1 ·OP2＝(2t－9,3)·(t－3，－3)＝(2t－9)(t－3)－9＝2t2－15t＋18，
1
当 t∈[6,8]时，P1(6,18－2t)，P2(6，t－6)，
1 1
而 t 2 t 2 ，当且仅当 t ，即 t 1 ， x 0 时取等号，
t t t
―→ ―→
则 f(t)＝OP1 ·OP2＝(3,15－2t)·(3，t－9)＝9＋(15－2t)(t－9)＝－2t2＋33t－126，
1
m 1 3m
当 3 2 ，即m lo g 2 时，则当 t 2 时， y g x 取得最小值， 4 4 3 2 1 1, m lo g ，矛盾； 3 3
18 9 t , 0 t 3
t 4
2
综上， f ( t ) 2 t 15 t 18 , 3 t 6 1当 m
m
3 2 ，即m lo g 2 时，则当 t 3 时， y g x 取得最小值 2 m3 2 3 1 1 ，
t
2
2 t 33 t 126 , 6 t 8 .
解得m 1 ，则m 1 ，
（2）当 t∈[0,3]时由（1）知 f(t)单调递减， 所以 m 的值是 1.
―→ ―→
所以当 t＝3 时，OP1 ·OP2＝18－9t 取得最小值，最小值为 18－27＝－9.
15 81 15 ―→ ―→ 81
当 t∈(3,6)时，由（1）知 f(t)＝2 t－ 2 － ，当 t＝ 时，OP1 ·OP2取得最小值，最小值为－ ； 4 8 4 8
33 81 ―→ ―→
当 t∈[6,8]时，由（1）知 f(t)＝－2 t－ 2 ＋ ，当 t＝6 时，OP1 ·OP2取得最小值，最小值为 0. 4 8
―→ ―→ 81
综上OP1 ·OP2的最小值为－ . 8
18.（本题满分 17 分）
解：【1】当 时，函数 x x 1 x 2 xm 1 f ( x ) 9 2 3 (3 ) 6 3 ，
不等式 x 2 x x xf x 2 7 化为 x(3 ) 6 3 2 7 0 ，即 (3 3)(3 9 ) 0 ，解得3 9 ，则 x 2 ，
所以不等式 f x 2 7 的解集为 ( , 2 ] .
x x m x x m
2】依题意， f x f x 9 1 2 3 1 9 2 2 3 2 1 2
x x x x
1 2 1 2 m x x x x x x m 3 3 3 3 2 3 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 2 3 ，
2
由 x x 02 1 ，得 x x3 1 3 2 0 ，又 x x m ， 1 2
则 x x x x x x 2 x x 2 m m3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 ，因此 f x f x 0 ， 1 2
【所以 f x f x . 1 2 m2 m x m x 1 3【3】令 xt 3 ， t 0 ，则 f x t 2 3 t , f x 9 2 3 2 ， 2t t
- 2 -
{#{QQABQQQQggioAJAAABgCEQUSCgMQkAEACAoGhFAIIAAAiRNABAA=}#}
