【五环分层导学-课件】7-5 平行线的性质-北师大版数学八(上)

(共18张PPT)
第七章 平行线的证明
第5课 平行线的性质
北师大版八年级上册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
新授课通过激活思维、探究新知、双基巩固、综合运用、分层反馈等环节来完成。
资料简介
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等(如图7-5-1)．(证明可参考课本)
简称：%// //%．
数学符号表示：%// //% ．
已知：
求证：
如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角；
∠1＝∠2．
两直线平行，同位角相等
若AB∥CD，则∠1＝∠2
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，
使∠EMH＝∠2，如图所示．
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD．
又因为AB//CD，这样经过点
M存在两条直线AB和GH都
与直线CD平行．
这与基本事实“过直线外一
点有且只有一条直线与这条
直线平行”相矛盾．
这说明∠1≠∠2的假设不成立，
所以∠1＝∠2．
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等(如图7-5-2).
简称：%// //% ．
数学符号表示：%// //%．
已知：
求证：
证明：
l1
1
2
l
l2
3
图7-5-2
如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角；
∠1＝∠2．
∵l1//l2(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2(等量代换)．
两直线平行，内错角相等
若∥，则∠1＝∠2
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补(如图7-5-3)．
简称：%// //% ．
数学符号表示：%// //% ．
已知：
求证：
证明：
a
b
1
2
3
c
图7-5-3
如图，直线a∥b，∠2和∠3是直线l1，l2被直线c截出的同旁内角；
∠2＋∠3＝180°．
∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错相角等)，
又∵∠1＋∠3＝180°(平角定义)，
∴∠2＋∠3＝180°(等量代换)．
两直线平行，同旁内角互补
若a∥b，则∠2＋∠3＝180°
性质4：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(如图7-5-4)．
数学符号表示：%// //%．

已知：
求证：
如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．
b∥c
如果b∥a，c∥a，则b∥c
证明：%//∵b∥a(已知)，
∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
∵c∥a(已知)，
∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
∴∠2＝∠3(等量代换)．
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．
【例题1】如图7-5-5所示，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，求∠P．
图7-5-5
C
B
P
A
D
2
1
解：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠PAC＝∠1＝∠BAC，∠ACP＝∠2＝∠ACD，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠PAC＋∠ACP＝(∠BAC＋∠ACD)＝90°，
∵在△ACP中，∠PAC＋∠ACP＋∠P＝180°，
∴∠P＝90°．
【例题2】(1)已知：如图7-5-6，AD∥BC，∠ABD＝∠D ．求证：BD平分∠ABC ．
图7-5-6
C
B
A
D
证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC ．
(2)已知：如图7-5-7，AD∥BC，BD平分∠ABC ．求证：△ABD为等腰三角形．
图7-5-7
C
B
A
D
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC ．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠ABD ．
∴△ABD为等腰三角形．
1.如图7-5-8，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2的度数是 (%////%)

A．35° B．75°
C．105° D．125°
C
图7-5-8
b
a
c
1
2
2.如图7-5-9，已知a∥b，小明把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2的度数为 (%////%)


A．65° B．120°


C．125° D．145°
图7-5-9
b
a
1
2
C
3.已知：如图7-5-10，∠B＝∠C ．

(1)若AD∥BC，

求证：AD平分∠EAC；

(2)若AD平分∠EAC，

求证：AD∥BC ．
A
B
C
D
E
1
2
图7-5-10
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
又∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠EAC；
(2)∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠2，
∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C，
又∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴AD∥BC ．
4.(★)如图7-5-11，已知直线l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．


(1)求证：△ABD是等腰三角形；


(2)求∠BCF的度数．
图7-5-11
C
F
E
A
D
B
l1
l2
l3
(1)证明：∵l2∥l3，∴∠ABD＝∠BAE＝25°，
∵∠BAC＝25°，∴∠ABD＝∠BAC，
∴△ABD是等腰三角形；
(2)解：∵∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∠BAC＝25°，∠ACB＝90°．
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－25°－90°＝65°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－25°＝40°，
∵l1∥l2，
∴∠BCF＝∠CBD＝40°．