【五环分层导学-课件】8-单元复习1 勾股定理-北师大版数学八(上)

(共36张PPT)
第一章 勾股定理
单元复习
北师大版八年级上册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
资料简介
【问题1】直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
解：直角三角形的角满足∠A＋∠B＝∠C，

边满足a2＋b2＝c2．
【问题2】举例说明：如何判断一个三角形是否为直角三角形？
解：①△ABC三边满足a2＋b2＝c2；

②有一个角是直角．
【问题3】举例说明：运用勾股定理可以解决哪些问题？
解：求三角形的边，找直角等等．
【问题4】搜集并列举勾股定理的有关历史．
【问题5】梳理本章内容，用适当的方式(可以用表格、思维导图、列要点)呈现全章知识结构．
考点1：勾股定理与面积
【例题1】如图8-1-1，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．
(1)在方格纸上，以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法．
(2)你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗？
图8-1-1
B
A
解：(1)∵AB2＝42＋22＝20，
∴以AB为边的正方形的面积S＝AB2＝20；
(2)如图：
考点2：勾股定理的计算


【例题2】如图8-1-2，BC长为3 cm，AB长为4 cm，AF长为12 cm，正方形CDEF的面积＝%// //% cm2．
图8-1-2
C
F
E
A
D
B
169
【例题3】如图8-1-3，在一只底面半径为3 cm，高为8 cm的圆柱体状水杯中放入一支13 cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是%// //%．
图8-1-3
3 cm
考点3：判断直角三角形
【例题4】五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是 (%////%)
15
7
24
20
25
15
7
24
20
25
15
7
24
20
25
15
7
24
20
25
A．
B．
C．
D．
C
考点4：勾股定理的应用


【例题5】如图8-1-4，一个底面直径为cm，高为30 cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是%////%cm．
图8-1-4
A
B
50
【例题6】如图8-1-5是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，求滑道AC的长＝%// //%．
图8-1-5
C
B
E
A
D
5 m
【例题7】如图8-1-6，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长．
图8-1-6
C
B
F
A
D
E
解：∵S△ABF＝24，∴AB·BF＝24，即×6×BF＝24，解得：BF＝8．
在Rt△ABF中由勾股定理得：AF＝10．
由翻折的性质可知：
BC＝AD＝AF＝10，ED＝FE．
∴FC＝10－8＝2，
设DE＝x，则EC＝6－x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
EF2＝FC2＋EC2，x2＝22＋(6－x)2．
解得：x＝．∴ED＝．
易错1：∠C不一定是直角



【例题1】在Rt△ABC中，若AC＝3，BC＝4，

则AB2＝%// //%．
25或7
易错2：三角形不一定是直角三角形



【例题2】在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且a＝3，b＝4，若三边长为连续整数，

则c＝%/ ///%．
5或2
易错3：忽略展开图的多种情况


【例题3】如图8-1-7，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
图8-1-7
C
B
10
A
20
5
15
D
解：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD＋BC＝10＋5＝15，
AD＝20，
如图，在直角三角形ABD中，
根据勾股定理得：AB2＝BD2＋AD2，
∴AB2＝BD2＋AD2＝152＋202＝625，
∴AB＝25，
答：需要爬行的最短距离是25．
A
D
C
B
20
10
5
易错4：忽略多图情况



【例题4】(★)在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高AD＝12，试求BC的长．
解：在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，由勾股定理得BD＝9，
在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，
由勾股定理得DC＝16，
如图①，
BC＝BD＋DC＝9＋16＝25．
如图②，
BC＝CD－BD＝7．
综上所述，BC的长为25或7．
C
B
①
A
D
C
B
②
A
D
1.如果直角三角形的两直角边长是9，12，那么斜边长为 (%////%)


A．15 B．13 C．17 D．19
A
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (%////%)

A．b2＝c2－a2
B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A－∠B
D．∠A∶∠B∶∠C＝12∶13∶15
D
3.下面说法正确的是 (%////%)

A．在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2
B．在Rt△ABC中，a＝3，b＝4，那么c＝5
C．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10
D．直角三角形中，斜边最长
D
4.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的 (%////%)



A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
B
5.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是 (%////%)


A．3，4，5 B．6，8，10


C．5，12，13 D．13，16，18
D
6.如图8-1-8，将一根长为8 cm(AB＝8 cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3 cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为 (%////%)


A．8 cm B．10 cm


C．12 cm D．15 cm
C
A
D
B
图8-1-8
B
7.如图8-1-9是某地的长方形广场的示意图，如果小明要从A角走到C角，那么至少要走 (%////%)


A．90 m B．100 m


C．120 m D．140 m
C
A
D
B
60
80
图8-1-9
B
8.如图8-1-10，一圆柱高5 cm，底面半径4 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是 (%////%)


A．13 cm B．26 cm


C．17 cm D．9 cm
食物
A
蚂蚁
B
图8-1-10
A
9.在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3 cm，b＝4 cm，


则第三边的平方是%////%．
7
10.如图8-1-11，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，CD⊥AB，垂足为D ．则CD的长为%////%．
4.8
C
A
D
B
图8-1-11
11.(4分)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，求AC的长．
C
A
B
解：∵在Rt△ABC中，

∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝6．
12.(4分)如图8-1-12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，求AB和CD ．
C
A
D
B
图8-1-12
解：AB＝10，CD＝4.8．
13.(6分)甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了避免走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米，如图8-1-13，早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10∶00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
B
O
A
图8-1-13
解：如图，甲从上午8∶00到上午10∶00一共走了2小时，
走了12千米，即OA＝12．
乙从上午9∶00到上午10∶00一共走了1小时，
走了5千米，即OB＝5．
在Rt△OAB中，AB2＝122十52＝169，∴AB＝13，
因此，上午10∶00时，甲、乙两人相距13千米．
∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系．
答：上午10∶00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系．//
14.(6分)观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c根据你发现的规律，请写出：

(1)当a＝19时，求b、c的值；

(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；

(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c－b＝1．
∵a＝19，a2＋b2＝c2，∴192＋b2＝(b＋1)2，
∴b＝180，∴c＝181；
(2)通过观察知c－b＝1，
∵(2n＋1)2＋b2＝c2，∴c2－b2＝(2n＋1)2，(c＋b)(c－b)＝(2n＋1)2，
∴b＋c＝(2n＋1)2，
又∵c＝b＋1，∴2b＋1＝(2n＋1)2，∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；
(3)由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1为一组勾股数，
当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1，
但2n2＋2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．