【五环分层导学-课件】8-单元复习7 平行线的证明-北师大版数学八(上)

(共41张PPT)
第七章 平行线的证明
单元复习
北师大版八年级上册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
资料简介
【问题1】直观是重要的，但它有时也会欺骗人．你能找到这样的例子吗？


【问题2】请用自己的语言说说什么是定义、命题，并举例说明．
【问题3】本书中作为证明出发点的基本事实有哪些？


【问题4】为什么需要证明？证明的一般步骤如何？与同伴进行交流．
【问题5】什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会有怎样的结论？这两类命题的条件和结论有什么关系？
【问题6】三角形内角和定理是什么？如何证明的？
【问题7】三角形的内角和外角有什么关系？关于三角形的外角的定理有哪些？
解：三角形的内角和等于180°．
解：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．/
【问题8】梳理本章内容，用适当的方式(可以用表格、思维导图、列要点)呈现全章知识结构．
考点1：命题判断

【例题1】下列命题是真命题的是 (%////%)

A．同旁内角互补
B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
C．直角三角形两锐角互余
D．三角形的一个外角大于内角
C
【例题2】下列语句中，命题有(%////%)

①两个钝角相等；
②等式两边加上同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；
③今天天气很晴朗啊；
④三角形的内角和是180°．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
考点2：平行线判定与性质

【例题3】如图8-7-1，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝ (%////%)


A．70° B．80°

C．110° D．100°
图8-7-1
b
a
c
d
1
2
4
3
A
【例题4】如图8-7-2所示，下列推理及所注理由正确的是 (%////%)
A．因为∠1＝∠3，所以AB∥CD(两直线平行，内错角相等)
B．因为AB∥CD，所以∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)
C．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)
D．因为∠2＝∠4，所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)
D
图8-7-2
C
B
1
A
D
2
3
4
考点3：三角形的内角和与外角和定理

【例题5】如图8-7-3，已知AB∥CD，
BC∥DE，若∠A＝20°，∠C＝120°，
求∠AED的度数．
图8-7-3
C
B
E
A
D
解：延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，BC∥DE，
∴∠AFE＝∠B，∠B＋∠C＝180°，
∴∠AFE＝∠B＝60°，
∴∠AED＝∠A＋∠AFE＝80°．
【例题6】如图8-7-4，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为 (%////%)


A．115° B．125°


C．155° D．165°
图8-7-4
1
2
a
b
E
D
C
A
【例题7】以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是 (%////%)
A．如图①，展开后测得∠1＝∠2
B．如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图③，测得∠1＝∠2
D．如图④，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
b
B
a
A
1
2
①
b
B
a
A
1
2
②
3
4
b
B
a
A
1
2
③
b
B
a
A
C
O
④
D
C
易错1：凭经验盲目下结论

【例题1】判断对错：

因为周长相等的两个圆全等，周长相等的两个正方形全等，

所以周长相等的两个三角形全等． (%////%)
×
易错2：考虑问题不全面


【例题2】在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF所在的直线交于点O，∠BOC的度数？
解：本题要分两种情况讨论如图：

①当交点在三角形内部时(如图1)，
在四边形AFOE中，
∠AFC＝∠AEB＝90°，∠A＝50°，
根据四边形内角和等于360°得，
∠EOF＝180°－∠A＝180°－50°＝130°．
故∠BOC＝130°．
C
F
E
A
O
B
图1
②当交点在三角形外部时(如图2)，
在△AFC中，∠A＝50°，∠AFC＝90°，
故∠1＝180°－90°－50°＝40°，
∵∠1＝∠2，
∴在△CEO中，
∠2＝40°，∠CEO＝90°，
∴∠BOC＝50°．
C
F
E
A
O
B
1
2
图2
1.下列语句中，是命题的是 (%////%)

A．直线AB和CD垂直吗
B．过线段AB的中点C画AB的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行
D．连接A，B两点
C
2.如图8-7-5，AB∥CD，CB⊥DB，∠D＝65°，则∠ABC的大小是 (%////%)


A．25° B．35°


C．50° D．65°
A
C
A
D
B
图8-7-5
3.如图8-7-6，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的 (%////%)


A．∠DCE＞∠ADB
B．∠ADB＞∠DBC
C．∠ADB＞∠ACB
D．∠ADB＞∠DEC
A
C
A
D
B
E
图8-7-6
C
A
D
B
1
2
E
F
G
图8-7-7
4.如图8-7-7，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝50°，则∠2等于 (%////%)

A．50° B．60°


C．65° D．90°
C
C
E
A
D
B
图8-7-8
5.如图8-7-8，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为 (%////%)


A．150° B．130°


C．120° D．100°
C
6.适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是 (%////%)



A．锐角三角形 B．直角三角形


C．钝角三角形 D．等边三角形
B
C
A
D
B
1
2
E
A′
图8-7-9
7.如图8-7-9，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝ (%////%)


A．150° B．210°


C．105° D．75°
A
l1
2
1
l2
图8-7-10
8.已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图8-7-10所示放置，∠1＝25°，则∠2等于 (%////%)


A．30° B．35°


C．40° D．45°
B
9.命题“对顶角相等”的条件是%// //% ，



结论是%// //% ．
两个角是对顶角
它们相等
C
A
D
B
1
G
E
F
图8-7-11
10.如图8-7-11所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，

∠1＝130°，则∠A＝%////%度．
10
11.(4分)已知：如图8-7-12，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．
C
A
D
B
1
2
E
F
G
图8-7-12
证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD＝90°，
∴∠1＋∠D＝90°，
又∠2和∠D互余，
即∠2＋∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
又已知∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，∴AB∥CD ．
12.(5分)如图8-7-13，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB，∠BDC＝∠BCD，∠1＝∠2，求∠3的度数．
C
A
D
B
1
2
3
图8-7-13
解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BCD，∠BCD＝∠ACB＋∠2，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°＋∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°＋∠1，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠1＝180°，
∴2(45°＋∠1)＋∠1＝180°．
∴∠1＝30°，
∴∠375°．
13.(5分)如图8-7-14，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC ．若∠A＝70°，求∠EDF的度数．
C
F
E
A
D
B
图8-7-14
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＋∠C＝110°，
∵∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC，
∴∠B＋∠DEB＋∠C＋∠DFC＝220°，
∵∠B＋∠DEB＋∠C＋∠DFC＋∠EDB＋∠FDC＝360°，
∴∠EDB＋∠FDC＝140°，
即∠EDF＝180°－140°＝40°．
14.(6分)【问题】如图8-7-15－①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝80°，则∠BEC＝%// //%；若∠A＝n°，则∠BEC＝%// //%．
C
E
A
B
①
图8-7-15
【问题】
解：∵∠A＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－80°＝100°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，
∴∠EBC＋∠ECB(∠ABC＋∠ACB)100°＝50°，
∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－50°＝130°；
由三角形的内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－n°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB∠ACB，
∴∠EBC＋∠ECB(∠ABC＋∠ACB)(180°－n°)＝90°n°，
∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－(90°n°)＝90°n°；
【探究】
(1)如图8-7-15－②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB ．若∠A＝n°，则∠BEC＝%// //%；
C
E
A
D
B
②
图8-7-15
【探究】
解：(1)由三角形的内角和定理得，
∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－n°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，
∴∠EBC＋∠ECB(∠ABC＋∠ACB)
(180°－n°)＝120°n°，
∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)
＝180°－(120°n°)＝60°n°；
(2)如图8-7-15－③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；
图8-7-15
C
O
A
D
B
③
解(2)∠BOC∠A ．理由如下：
由三角形的外角性质得，
∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，
∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD，
∴∠A＋∠ABC＝2(∠BOC＋∠OBC)，
∴∠A＝2∠BOC，
∴∠BOC∠A；
(3)如图8-7-15－④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(只写结论，不需证明)
C
O
A
D
B
E
④
图8-7-15
/解(3)∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC(180°－∠ABC)＝90°∠ABC，
∠OCB(180°－∠ACB)＝90°∠ACB，
在△OBC中，
∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB
＝180°－(90°∠ABC)－(90°∠ACB)
(∠ABC＋∠ACB)，
由三角形的内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
∴∠BOC(180°－∠A)＝90°∠A ．