桐城中学2023～2024学年度下学期
高一开学检测数学试题
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1. 设集合,则集合中元素的个数是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
2. 已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A. 1 B. C. D. 与的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．
【详解】由题意，若，，
，
，
，
综上，集合.
所以集合A中所有元素的乘积为.
故选：A.
3. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式求出，再由两角和的正弦公式、二倍角公式及同角三角函数函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，解得或，
又
，
当时；
当时；
综上可得.
故选：D
4. 设函数，则
A. 奇函数，且在（0,1）上是增函数 B. 奇函数，且在（0,1）上是减函数
C. 偶函数，且在（0,1）上是增函数 D. 偶函数，且在（0,1）上是减函数
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，
又，所以函数的奇函数，
由，令，又由，则
，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.
考点：函数的单调性与奇偶性的应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.
5. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
6. 定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，由题设及单调性和奇偶性的知识易得为奇函数，且在上为增函数，不等式等价于
，即，最后利用单调性和奇偶性列出不等式组求解即可.
【详解】设，
因为对任意的，，，恒有，
所以函数在上为增函数，则在上为增函数，
又，而，所以，
所以为奇函数，
综上，为奇函数，且在上为增函数，
所以不等式等价于，
即，亦即，
可得，解得.
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题的解题关键是合理构造函数，从而得出新函数的单调性和奇偶性，最后列出不等式组进行求解.
7. 设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},
设：的解集为B，
所以B={x|m≤x≤m+1},
由题知p是q的必要不充分条件，
即得B是A的真子集，
所以有
综合得m∈，故选D.
8. 对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①；②；③；④.是“控制增长函数”的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①，即对一切恒成立，不存在满足条件的正常数、，所以，函数不是“控制增长函数”；
对于②，对一切恒成立，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；
对于③，当且为任意正实数时，恒成立，所以，函数是“控制增长函数”；
对于④，恒成立，即，所以，函数是“控制增长函数”.
【详解】对于①，可化为，
即对一切恒成立，
由函数的定义域为可知，不存在满足条件的正常数、，
所以，函数不是“控制增长函数”；
对于②，若函数为“控制增长函数”，
则可化为，
∴对一切恒成立，
又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；
对于③，∵，∴，
当且为任意正实数时，恒成立，
所以，函数是“控制增长函数”；
对于④，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，
∵，若，即，
所以，函数“控制增长函数”.
因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.
故选：C
【点睛】方法点睛：类似这种存在性问题的判断，常用的方法有：（1）特例说明存在性；（2）证明它不存在；（3）证明它存在.要根据已知条件灵活选择方法解答.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9. 已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】正数x，y，z满足，设，
则，，．
对于A，，故A正确；
对于B，，，，
∵，∴，
∵，∴，∴，故B错误；
对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；
对于D，由，可得（），故D正确．
故选：ACD
10. 若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
由题意可知，命题“，成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得的取值范围，由此可得结果.
【详解】由题意可知，命题“，成立”，
所以，，可得，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，.
故选：AB.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
11. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A. 点P第一次达到最高点，需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.
【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；
点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；
令，解得：，，当时，（s），B选项正确；
，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；
故答案为：ABD
12. 已知函数，．若实数a，b（a，b均大于1）满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减 B. 函数的图像关于中心对称
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】A：求f(x)定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f(x)单调性；
B：f(x)向右平移一个单位得到g(x)，据此即可判断g(x)对称中心；
C：根据g(x)关于对称化简，再结合g(x)单调性得a与b的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系；
D：构造函数，利用导数判断其单调性即可判断．
【详解】对于A，，
上恒成立，
定义域为，即的定义域关于原点对称，
，
为奇函数，
函数的图像关于点中心对称，
，，在上单调递增，
函数在上单调递增，
函数在上单调递增，故A错误；
对于B，，
，
函数的图像关于点中心对称，故B正确；
对于C，函数的图像关于点中心对称，
，，
，，
相当于向右平移1个单位，
和单调性相同，
函数在上单调递增，，，
，故C错误；
对于D，令，，
令，则
在上单调递增，
，
，
在上单调递减，
，，，故D正确．
故选:BD.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________
【答案】
【解析】
【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可.
【详解】当时，所以，
所以，即，则，
即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14. 已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．
【详解】依题意，当时，y有最小值，即，
则，所以.
因为在区间上有最小值，无最大值，所以，
即，令，得.
故答案为：
15. 已知实数，，满足，则的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】设，则利用基本不等式计算可得.
【详解】设，因为，
所以
，
令，解得或（舍去），
因此，即，当且时取等号，
故的最大值为.
故答案为：
16. 已知函数,当时，设的最大值为，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】设，则，由于，则，所以将以上三式两边相加可得，即，应填答案．
点睛：解答本题的难点在于分析函数的最大值是如何取得的，在一个就是如何构造绝对值不等式使得问题成立．求解时充分借助题设条件，先分出函数的最大值只有在中产生，如果直接求其最大值则很难奏效，这里是运用绝对值不等式的性质及不等式取等号的条件，也就是等且仅当时取等号，即取等号，这是解答本题的关键，也是解答本题的难点．
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17. 已知全集，集合，集合.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）={x∣x≤ 3或x≥5}；= ；（2） 1≤a≤.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A、B,利用集合的基本运算即可算出结果；
（2）因为，所以，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出取值范围．
【详解】（1）若，则集合，
或，
若，则集合，
（2）因为，所以，
①当时，，解，
②当时，即时，，
又由（1）可知集合，
，解得，且，
综上所求，实数的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
18. （1）已知函数，求函数的值域.
（2）已知函数，，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）令，利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（2）将函数变形为，结合的范围及正切函数的性质计算可得.
【详解】（1），
令，
因为，所以，所以，
所以，且，
令，，
显然在上单调递减，又，，
所以函数在的值域为.
（2）由，则，，
所以，
因为，所以，
所以函数在上的值域为.
19. （1）已知，求的最大值.
（2）已知且，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）令，把不等式转化为，结合基本不等式，即可求解；
（2）令，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解.
【详解】解：（1）由题意，令，解得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
（2）由题意，令，可得，
因为，可得，即，
又由柯西不等式，可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，所以实数的最大值为.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数，且，求函数在区间上的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，解不等式，可得出函数的单调递增区间；
（2）求得，求得、的值，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.
【详解】解：（1）由题意可得，
所以，
，
，解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）由题意及（1）可知，
因为，，
又，且，所以，，则，
则，，
所以，所以，
则，即在区间上的取值范围为.
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
21. 定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：在上是减函数；
（3）若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.
（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.
（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.
【小问1详解】
令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．
【小问2详解】
设，则，所以．
因为，，，所以，即，所以．
又，所以，所以，
所以，即．所以在上是减函数．
【小问3详解】
由（2）知函数在上是减函数，
所以当时，函数的最大值为，
所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，是关于a的一次函数，，
要使对任意恒成立，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围是．
22. 已知函数，a为常数且．若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，，试确定a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】首先函数写成分段函数的形式，分，和三种情况求解，根据函数的二阶周期点，求实数的取值范围.
【详解】
当时，
由可解得，而，故不是二阶周期点，
所以不合题意．
当时，
由得解集为，而当时，恒成立，故不合题意．
当时，
由解得或或或
又，
所以恰有两个二阶周期点．
综上，a的取值范围是桐城中学2023～2024学年度下学期
高一开学检测数学试题
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1. 设集合,则集合中元素的个数是
A. B. C. D.
2. 已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A. 1 B. C. D. 与的取值有关
3. 已知，则等于（ ）
A B. C. D.
4. 设函数，则是
A. 奇函数，且在（0,1）上增函数 B. 奇函数，且在（0,1）上是减函数
C. 偶函数，且在（0,1）上是增函数 D. 偶函数，且在（0,1）上是减函数
5. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A. B. C. D.
6. 定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7. 设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8. 对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①；②；③；④.是“控制增长函数”的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9. 已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（ ）
A. B. C. D.
11. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A 点P第一次达到最高点，需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
12. 已知函数，．若实数a，b（a，b均大于1）满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减 B. 函数图像关于中心对称
C. D.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________
14. 已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
15. 已知实数，，满足，则的最大值为________
16. 已知函数,当时，设的最大值为，则的最小值为__________．
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17. 已知全集，集合，集合.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
18. （1）已知函数，求函数的值域.
（2）已知函数，，求函数值域.
19. （1）已知，求的最大值.
（2）已知且，求的最大值.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数，且，求函数在区间上的取值范围.
21. 定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：在上是减函数；
（3）若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
22. 已知函数，a为常数且．若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，，试确定a的取值范围．
