河北省邯郸市十校联考2023-2024学年高二下学期一调考试数学试题（含解析）

邯郸市十校联考2023-2024学年高二下学期一调考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ）
A．24 B．36 C．64 D．81
2．已知函数，则从1到的平均变化率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ）
A．108种 B．90种 C．72种 D．36种
4．已知函数的导函数为,则（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中有理项的项数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若函数单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．300 B．360 C．390 D．420
8．已知则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．A,B,C,D,E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A,B不相邻，有72种排法 B．若A,B不相邻，有48种排法
C．若A,B相邻，有48种排法 D．若A,B相邻，有24种排法
10．过点且与曲线相切的直线方程可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知,则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的导函数为,则（ ）
A．无最小值 B．无最小值
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为____________．（用数字作答）
14．在的展开式中，的系数为____________．
15．函数的极大值是____________．
16．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
（1）求值：;
（2）解方程：．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
19．（本小题满分12分）
为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？
（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求a的最小值；
（2）若函数的图象与有且只有一个交点，求a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
在的展开式中．
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项；
（3）求系数最大的项．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：．
邯郸市十校联考2023-2024学年高二下学期一调考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．C ．故选C．
2．B 函数从1到的平均变化率为．故选B．
3．A 第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种；
第二步，某谈话节目和其他剩余的个节目在第二天播出，有种播出方案，
综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案．故选A．
4．C 由函数,可得,
因为,可得，
所以，解得．故选C．
5．C 的展开式的通项为,
当或时，为有理项，故选C．
6．D ,即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），所以，故选D．
7．C （1）当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为;
（2）当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；
（3）当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；综上不同的录取情况数共有．故选C．
8．A 构造函数,则，当时，
当时，,则函数在上单调递增，在上单调递减，
故,故，当且仅当时取等号．由于,则，
则，则，则，当且仅当时取等号．
当时，,所以,所以．
构造函数,则,当时，,当时，,
所以在上单调递增，在上单调递减，故,所以,当且仅当时取等号，故,当且仅当时取等号．当时，,则,所以．综上得．故选A．
9．AC A,B,C,D,E五个人并排站在一起，若A,B不相邻，则先让C,D,E自由排列，再让A,B去插空即可，则方法总数为（种）．则选项A判断正确；选项B判断错误；
A,B,C,D,E五个人并排站在一起，若A,B相邻，
则将A,B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C,D,E自由排列即可，
则方法总数为（种）．则选项C判断正确；选项D判断错误．故选AC．
10．BC 设切点为,又,所以,所以曲线在点处的切线方程为,所以,整理得,解得或，所以过点且与曲线相切的直线方程为或．故选BC．
11．BCD ,故A错误；
在中，令,可得 ①，故B正确；
在中，令,可得 ②，
由，可得,故C正确；
由,可得,故D正确．故选BCD．
12．AC 由于函数的导函数为,则，又的导函数，故在定义域上为增函数，因此无最小值，故A正确；
当时，，故；又因为，故一定存在，使得,所以在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值，故B错误；
又在定义域上为单调递增函数，可知在上为凹函数，可得,即,故C正确，D错误．故选AC．
13．144 先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的空位中，所以不同的排队方法种数为（种）．
14． 因为的展开通项公式为,
的展开通项公式为,
所以取,得的系数为．
15． 由，则，
令,解得或，
则当时，,则单调递增；
当时，,则单调递减；
则当时，函数取得极大值,
．
16． 设,则,设切点为,
则切线方程为,整理可得．
所以解得,
所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为．
17．解：（1）因为,所以, 2分
原式
； 5分
（2）因为,
所以， 8分
化简可得，同时，解得, 10分
18．解：（1）当时，, 2分
,所以，
曲线在处的切线方程为； 4分
（2）， 6分
①当时，,所以函数在上单调递增； 7分
②当时，令,则（舍）或,
,当时，函数单调递减；
,当时，函数单调递增 9分
③当时，令,则或（舍），
,当时，函数单调递减；
,当时，函数单调递增 11分
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，当时，函数单调递减
当时，函数单调递增；
当时，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增． 12分
19．解：（1）两组都是3女2男的情况有（种）： 3分
一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种）， 6分
所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案； 7分
（2）丙站在左1位，共有（种）不同的排列方式； 8分
丙站在左2位，共有（种）不同的排列方式； 9分
丙站在左3位，共有（种）不同的排列方式； 10分
丙站在左4位，共有（种）不同的排列方式． 11分
综上所述，共有36种排列方式． 12分
20．（1）解：由已知可得,则, 2分
因函数在上单调递增，
所以对任意的恒成立， 3分
又因为函数在上为增函数，
则，解得，故实数a的最小值为； 5分
（2）解：,令,可得， 7分
因为函数的图象与有且只有一个交点，
令，则函数的图象与直线只有一个公共点， 8分
则,令,解得或,令,解得,
所以在、上单调递增，在上单调递减， 9分
则的极大值为,极小值为，
的图象如下所示：
由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，
因此，实数a的取值范围． 12分
21．解：（1）的展开式的通项为, 2分
设第项系数的绝对值最大，显然，则， 3分
整理得,即，解得，而,则或, 5分
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； 6分
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，; 9分
（3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 12分
22．（1）解：当时，的定义域为，求导得，
当时，,当时，,则在上递减，在上递增，
所以有极小值,无极大值； 3分
（2）解：由恒成，得,令,求导得,
当时，,当时，,即函数在上递减，在上递增， 5分
因此，则，
所以实数a的取值范围是； 7分
（3）证明：由（2）知，当时，即 8分
于是， 10分
因此，
所以． 12分