2024年中考数学二轮复习丢分知识点练习---反比例函数与全等三角形 学案（无答案）

四、反比例函数与全等三角形
丢分题精析
例1 如图(a),直线 交坐标轴于 A,B 两点,与直线y=x交于C 点,以 AC为直角边作等腰直角三角形ACD，D点在第二象限.反比例函数 经过D点，CD交y轴于E点.
(1)求k的值.
(2)求OE+AE的值.
解:(1)联立 得 ∴C(7,7),如图(a),过 C点作CM⊥x轴于 M,过 D点作 DN⊥x轴于 N,可证得△ACM≌△DAN,又∵A(3,0),∴D(-4,4),∴k=-16.
(2)如图(b),过 D 点作 DN⊥x轴,DH⊥y轴于 H,在ON上截得 NK=EH,易证△DNK≌△DHE,得 DK=DE,且∠NDK=∠HDE,∴∠KDE=90°,又∵∠ADC=45°
∴△AKD≌△AED(SAS),∴AE=AK,
∴OE+AE=OH+EH+AK=OH+NK+AK=OH+AN=4+7=11.
提示：在三角形全等的证明题中，通常需得证二次全等，利用第一次全等得出的结论，作为第二次全等的条件.
例2 在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),且满足 点 C,B关于x轴对称.
(1)求 A,C两点坐标.
(2)如图(a),点 M为x轴上A 点右侧的点,过点M作MN⊥CM交直线AB 于N,连BM,反比例函数 经过 N点，当 时，求k的值.
(3)如图(b)，点 P 为第二象限角平分线点一动点，将射线 BP 绕 BL点逆时斜旋转. 交x轴于点Q,连 PQ,若. ,求 BQ的长.
解:(1)a=4,b=-4,∴A(4,0),B(0,-4),C(0,4).
(2)如图(c),作 EM⊥x轴交BA 于 E 点,连 AC.先证 ,得 CM=NM,再证△COM≌△MFN,得 NF=OM,又∵
∴NF= OB,∴NF=6,∴N(10,6),∴k=60.
(3)如图(d),分别过P 点作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N,PH⊥PQ交y轴于H,在△PMQ 和△PNH中,
∴△PMQ≌△PNH(ASA),∴PQ=PH,
∴△PBQ≌△PBH(SAS),∴∠HBP=∠QBP=30°,∴∠OBQ=60°,
∴BQ=2OB=8.
提示：利用全等求点的坐标而后求k值，是求反比例函数解析式常用的方法.经多次全等才可求得答案的题应给予更多关注.
例3 如图(a),△ACO为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC=OC,C(-1,3).
(1)求 A 点坐标.
(2)如图(b),AE⊥AC交x轴于E 点,F 为AC 上的点,连 EF 交 OC 的延长线于 H,反比例函数 经过F点,当EH=OH时,求k的值.
(3)如图(c),若. 绕 O 点旋转时,过 C 点作( 轴于 N,M 为 AO 的中点,问 的大小是否发生变化 若不变，求其值；若变化，说明理由.
解:(1)A(-4,2).
(2)如图(d),延长 AE 并作OK⊥AE 于K,此时四边形 ACOK 为正方形, ∴∠HEO=∠HOE,又∵AK∥CO,∴∠HOE=∠KEO,作( 于G,∵OE为∠GEK 的平分线,∴OG=OK=OC,
∴△OFG≌△OFC,∴∠FOG=∠FOC,又∵.
∴∠FOE=45°,∴直线 OF 的解析式为:y=-x,又∵A(-4,2),C(-1,3),∴直线AC的解析式为： 联立起来
3
(3)如图(e),连 CM,则 CM=OM,CM⊥OM,在 y 轴上截OH=CN,在 和△HOM中,
∴△NCM≌△HOM,∴MN=MH,∠CMN=∠OMH,
∴△MNH 为等腰直角三角形,∴∠MNO=45°.
提示：角平分线、平行线、等腰三角形称为关联三要素.在平面几何证明中，常常会出现“你中有我、我中有你”，因而要学会联想，作辅助线予以构造.
丢分题精练
1.如图，直线 交坐标轴于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y=x交于C点， 反比例函数 经过C点，求k的值.
2.如图，已知直线. )交坐标轴于 A，B 两点，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC,C在第四象限,连OC.
(1)写出OA,OB,OC 三线段之间的数量关系.
(2)当 时，反比例函数 刚好经过C点，求m的值.
3.如图(a),点 A(a,b),B(m,-2),C(-3,n)都在双曲线 上,直线 AB 交 y 轴于 N,直线BC经过原点，且
(1)求双曲线及直线 AB的解析式.
(2)求 的面积.
(3)如图(b),已知点 ,连 EN,作 交x轴于M，点 P 为双曲线上一点，且 ,求点 P 的坐标.
4.如图(a),C为直线y=x上一点,A点为x 轴上一点,A(4,0),. BC 交 y 轴于C 点,且 B(0,2), 经过C点.
(1)求 k 的值.
(2)如图(b),AD 平分∠OAB交OC 于 D 点,求证:(
(3)如图(c),DH⊥x轴于 H 点,求 的值.