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专题17 等量与多等量电荷模型
等量异种电荷电场模型 1
等量同种电荷电场模型 3
多等量电荷电场 5
等量异种电荷电场模型
点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示）与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同．图丙中点电荷q到MN的距离OA为R，AB是以电荷q为圆心、R为半径的圆上的一条直径，则B点电场强度的大小是（ ）
A． B． C． D．
（多选）如图，AC、BD为圆的两条互相垂直的直径，圆心为O，半径为r，将等电量的异种点电荷Q放在圆周上，它们的位置关于AC对称，+Q与O点的连线和OC间夹角为30°，静电常量为k，则（ ）
A．O点的电场强度大小为k
B．O点的电场强度方向由O指向A
C．O点电势等于C点电势
D．试探电荷q从B点移到D点过程中，电势能始终不变
如图所示是两个等量异种电荷的电场线分布，A、B是电场中的两点，则（ ）
A．左侧带正电荷
B．A点电势比B点电势高
C．A、B两点电场强度相等
D．正电荷在A点电势能小于在B点电势能
如图所示，将带正电的试探电荷沿等量异种点电荷连线从A点移动到B点，再沿连线中垂线从B点移动到C点。在此过程中，对试探电荷所受的静电力F，所经过的各点处电势φ的高低，试探电荷的电势能E的大小，下列判断正确的是（ ）
A．A处与C处的电场力方向相反
B．FA＞FB＞FC
C．φA＞φB＞φC
D．EA＜EB＝EC
如图所示，O和O'是圆柱体上下底面的圆心，AB是上底面的一条直径，C、D两点在直径AB上，且关于O点对称。M点在上底面的圆周上，且MO与直径AB垂直。C'点和D'点分别是C、D两点在下底面的投影点。在A、B两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）
A．C点与D点的电场强度相同
B．M点与O点的电势差大于C点与O点的电势差
C．C'点与D'点的电场强度方向相同
D．将试探电荷+q由O点沿直线移动到O'点，其电势能减小
如图所示，两个电荷量都是Q的正、负点电荷固定在A、B两点，AB连线中点为O。现将另一个电荷量为+q的试探电荷放在AB连线的中垂线上距O为x的C点，沿某一确定方向施加外力使电荷由静止开始沿直线从C点运动到O点，下列说法正确的是（ ）
A．外力F的方向应当平行于AB方向水平向右
B．电荷从C点到O点的运动为匀变速直线运动
C．电荷从C点运动到O点过程中电势能逐渐减小
D．电荷从C点运动到O点的过程中逐渐增大
等量同种电荷电场模型
如图所示，两个带等量负电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点。O为EF、MN的交点，EO＝OF。一带正电的点电荷在E点由静止释放后（ ）
A．做匀加速直线运动
B．在O点所受静电力最大
C．由E到F的过程中电势能先增大后减小
D．由E到O的时间等于由O到F的时间
如图，空间立方体的棱长为a，O、P分别为立方体上下表面的中心点，S点在O、P连线的正上方（图中未画出），两条竖直边MN和FG的中点处分别固定一电荷量为﹣q的点电荷。已知电子的电荷量为e，静电力常量为k，S到O点的距离为r，重力不计，下列说法正确的是（ ）
A．将一电子沿对角线由F移到N的过程中，电子电势能先减小后增大
B．比荷为的电荷沿OP所在直线运动时，在P点的加速度为
C．若在S点固定一点电荷，M点的电势会高于G点电势
D．若在S点固定一电荷量为﹣4q的负电荷，当时，O点的电场强度为
如图所示，两个固定的等量正点电荷，其连线中点为O，a、b、c、d四个点位于以O为圆心的同一个圆周上，bd⊥ac。下列说法正确的是（ ）
A．a、c两点的场强大小和方向均相同
B．若一电子从b点由静止释放，以后将在b、d之间沿直线往复运动
C．从O点开始，沿Ob向上各处场强大小越来越小
D．从O点开始，沿Ob向上各处电势越来越高
如图所示，一对等量正点电荷相距为4L，其连线中点为O，以O为圆心、L为半径的圆与两正点电荷间的连线及连线的中垂线分别交于a、b和c、d，以O为坐标原点、垂直ab向上为正方向建立Oy轴。取无穷远处电势为零，则下列判断正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同
B．Oy轴上，y＞0时沿正方向电势随坐标y的变大而减小
C．一试探电荷+q由a点运动到c点，其电势能增大
D．Oy轴上沿正方向电场强度的大小随坐标y的变大而增大
如图所示，AB两点相距3r，P、M两点把AB连线三等分，在B点固定一点电荷+q，A点固定另一点电荷，已知M点电场强度为0，静电力常量为k，取无穷远处电势为零，则（ ）
A．A点的电荷带负电
B．A点的电荷所带电荷量为q
C．P点电势为0
D．撤去B处的点电荷，M点的电场强度大小为k
多等量电荷电场
如图，A、B、C、D、E是真空中圆心为O，半径为r的圆弧上的6个等分点，在B、C、D、F点分别固定电荷量为q的正点电荷，在A点和E点固定电荷量为q的负点电荷，静电力常量为k，则圆心O处的电场强度大小为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，在等边三角形ABC的B、C两个顶点处分别放置电荷量为q的异种电荷，O为正三角形的中心，若再在顶点A点放置一个点电荷，结果O点的场强大小是A点没有放置点电荷时场强大小的2倍，则A点处放置的点电荷（ ）
A．一定带正电，电荷量为2q
B．一定带负电，电荷量为3q
C．可能带正电，电荷量为3q
D．可能带负电，电荷量为2q
如图所示，电荷量为+q和﹣q的点电荷分别位于棱长为a的正方体的顶点，设静电力常量为k，则正方体中心的电场强度大小为（ ）
A．0 B． C． D．
如图所示，O为半径为R的正六边形外接圆的圆心，在正六边形的一个顶点放置一带电荷量为+q的点电荷，其余顶点分别放置带电荷量均为﹣q的点电荷。则圆心O处的场强大小为（ ）
A． B． C． D．0
如图所示，水平面内三点A、B、C为等边三角形的三个顶点，三角形的边长为L，O点为AB边的中点。CD为光滑绝缘细杆，D点在O点的正上方，且D点到A、B两点的距离均为L。在A、B两点分别固定点电荷，电荷量均为﹣Q。现将一个质量为m、电荷量为+q的中间有细孔的小球套在细杆上，从D点由静止释放。已知静电力常量为k、重力加速度为g、且kmg，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．固定在A、B处两点电荷的合电场在C、D两点的场强相同
B．小球在D点刚释放时的加速度大小为（）g
C．小球到达C点的速度大小为
D．小球将在D、C两点之间做往复运动
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专题17 等量与多等量电荷模型
等量异种电荷电场模型 1
等量同种电荷电场模型 5
多等量电荷电场 10
等量异种电荷电场模型
点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示）与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同．图丙中点电荷q到MN的距离OA为R，AB是以电荷q为圆心、R为半径的圆上的一条直径，则B点电场强度的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据B点的电场线方向可以得B点的电场强度方向是垂直于金属板向右，两个异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，乙图上+q右侧L处的场强大小为：
E＝kkk
根据题意可知，B点的电场强度大小与乙图上+q右侧L处的场强大小相等，即为k，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（多选）如图，AC、BD为圆的两条互相垂直的直径，圆心为O，半径为r，将等电量的异种点电荷Q放在圆周上，它们的位置关于AC对称，+Q与O点的连线和OC间夹角为30°，静电常量为k，则（ ）
A．O点的电场强度大小为k
B．O点的电场强度方向由O指向A
C．O点电势等于C点电势
D．试探电荷q从B点移到D点过程中，电势能始终不变
【解答】解：AB、两电荷在O点的场强大小为：E1＝E2＝k，夹角为120°，根据平行四边形定则知合场强为：E＝E1＝E2＝k，方向平行两个电荷的连线向右，故A正确，B错误；
C、等量异种点电荷连线的中垂线上电势相等，因而φO＝φC，故C正确；
D、如果只有+Q存在，则B点电势大于D点电势；如果只有﹣Q存在，同样是B点电势大于D点电势；由于电势是标量，所以两个场源电荷同时存在时，依然有B点电势大于D点电势，故试探电荷q从B点移到D点过程中，电势能是变化的，故D错误。
故选：AC。
如图所示是两个等量异种电荷的电场线分布，A、B是电场中的两点，则（ ）
A．左侧带正电荷
B．A点电势比B点电势高
C．A、B两点电场强度相等
D．正电荷在A点电势能小于在B点电势能
【解答】解：A．电场线由正电荷出发，到负电荷终止，结合点电荷的电场线分布特点可知，左侧为负电荷，右侧为正电荷，故A错误；
BCD．电场线的疏密表示电场强度的强弱，结合图可知，B点电场线比A点密集，因此B点电场强度大于A点，沿着电场线，电势逐渐降低，所以B点的电势较高，正电荷在电势高的位置电势能较大，所以正电荷在A点电势能小于在B点电势能，故BC错误，D正确。
故选：D。
如图所示，将带正电的试探电荷沿等量异种点电荷连线从A点移动到B点，再沿连线中垂线从B点移动到C点。在此过程中，对试探电荷所受的静电力F，所经过的各点处电势φ的高低，试探电荷的电势能E的大小，下列判断正确的是（ ）
A．A处与C处的电场力方向相反
B．FA＞FB＞FC
C．φA＞φB＞φC
D．EA＜EB＝EC
【解答】解：A.量异种电荷的电场分布规律可知A、B、C三处的电场强度方向均与电荷连线平行，由正电荷指向负电荷；试探电荷带正电，受到的电场力与场强方向相同，则试探电荷在三处所受的电场力方向相同，故A错误；
B.根据F＝qE
可知电场力大小与场强大小分布一致，则有
FA＞FB＞FC，故B正确；
C.根据沿电场线方向电势降低，且等量异种电荷的连线中垂线为等势线，可知A、B、C三处的电势关系为
φA＞φB＝φC，故C错误；
D.电势能与电势关系
Ep＝qφ
由于试探电荷带正电，则探电荷在三处的电势能E大小为
EA＞EB＝EC，故D错误。
故选：B。
如图所示，O和O'是圆柱体上下底面的圆心，AB是上底面的一条直径，C、D两点在直径AB上，且关于O点对称。M点在上底面的圆周上，且MO与直径AB垂直。C'点和D'点分别是C、D两点在下底面的投影点。在A、B两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）
A．C点与D点的电场强度相同
B．M点与O点的电势差大于C点与O点的电势差
C．C'点与D'点的电场强度方向相同
D．将试探电荷+q由O点沿直线移动到O'点，其电势能减小
【解答】解：AC、根据等量异号的点电荷电场的分布特点结合对称性可知C点与D点的电场强度相同，C'点与D'点的电场强度方向不相同，故A正确，C错误；
B、M点在上底面的圆周上，且MO与直径AB垂直，则可知O、M的电势均为0，C点电势为正，D点电势为负，则M点与O点的电势差小于C点与O点的电势差，故B错误；
D、O点与O'点的电势相等，则将试探电荷+q由O点沿直线移动到O'点，其电势能不变，故D错误；
故选：A。
如图所示，两个电荷量都是Q的正、负点电荷固定在A、B两点，AB连线中点为O。现将另一个电荷量为+q的试探电荷放在AB连线的中垂线上距O为x的C点，沿某一确定方向施加外力使电荷由静止开始沿直线从C点运动到O点，下列说法正确的是（ ）
A．外力F的方向应当平行于AB方向水平向右
B．电荷从C点到O点的运动为匀变速直线运动
C．电荷从C点运动到O点过程中电势能逐渐减小
D．电荷从C点运动到O点的过程中逐渐增大
【解答】解：A.没有施加外力之前对电荷受力分析，可知电荷受水平向左的电场力，根据题意，沿某一确定方向施加外力使电荷由静止开始沿直线从C点运动到O点，则合力方向沿CO即可，根据三角形定则可知，外力方向不是水平向右，故A错误；
B.根据库仑定律可知库仑力F
则电荷运动过程中l减小，则库仑力增大，合外力方向确定，且F和外力的合力方向竖直向下，根据三角形定则可知，合外力的大小增大，故电荷做加速度增大的加速运动，故B错误；
C.电荷从C点运动到O点过程中，由于中垂线为等势面，故运动过程中电场力不做功，电势能不发生变化，故C错误；
D.电荷从C点运动到O点的过程中，根据动能定理可得.
F外Δx＝△Ek
即
F外
由于外力大小增大，则电荷从C点运动到O点的过程中逐渐增大，故D正确。
故选：D。
等量同种电荷电场模型
如图所示，两个带等量负电的点电荷位于M、N两点上，E、F是MN连线中垂线上的两点。O为EF、MN的交点，EO＝OF。一带正电的点电荷在E点由静止释放后（ ）
A．做匀加速直线运动
B．在O点所受静电力最大
C．由E到F的过程中电势能先增大后减小
D．由E到O的时间等于由O到F的时间
【解答】解：A、根据等量负点电荷连线中垂线上电场强度分布可知，EF间的电场不是匀强电场，正点电荷受到的电场力是变力，根据牛顿第二定律可知正电荷的加速度不恒定，所以正电荷做变加速直线运动，故A错误；
B、根据场强叠加可知O点的电场强度为零，所以正点电荷在O点所受静电力最小为零，故B错误；
C、正点电荷由E到O，所受静电力方向与速度方向相同，静电力做正功，其电势能减小；由O到F，正电荷所受静电力方向与速度方向相反，静电力做负功，其电势能增大，所以由E到F的过程中电势能先减小后增大，故C错误；
D、带正电的点电荷在E点由静止释放后，根据对称性可知，其将以O点为对称中心在EF间做往复运动，由E到O的时间等于由O到F的时间，故D正确。
故选：D。
如图，空间立方体的棱长为a，O、P分别为立方体上下表面的中心点，S点在O、P连线的正上方（图中未画出），两条竖直边MN和FG的中点处分别固定一电荷量为﹣q的点电荷。已知电子的电荷量为e，静电力常量为k，S到O点的距离为r，重力不计，下列说法正确的是（ ）
A．将一电子沿对角线由F移到N的过程中，电子电势能先减小后增大
B．比荷为的电荷沿OP所在直线运动时，在P点的加速度为
C．若在S点固定一点电荷，M点的电势会高于G点电势
D．若在S点固定一电荷量为﹣4q的负电荷，当时，O点的电场强度为
【解答】解：A.顺着电场线电势降低，沿对角线由F移到N，先顺着电场线，在逆着电场线运动，所以电势先减小再增大，所以将一电子沿对角线由F移到N的过程中，电子电势能先增大后减小，故A错误；
C.M、G在两负电荷对称位置，两负点电荷在两位置电势相等，若在S点固定一正点电荷，M点的电势会高于G点电势。若在S点固定一负点电荷，M点的电势会低于G点电势，故C错误；
B.如图所示
连接甲、乙，设OP所在直线上某点Q （图中未画出）与甲、乙连线的夹角为θ，甲、乙两电荷间的距离为L，利用点电荷电场场强决定式和平行四边形定则可求出Q点电场强度大小的表达式为
EQ＝2sinθ（sinθ﹣sin3θ）
令y1＝sinθ﹣sin3θ，则有
y1＝cosθ﹣3sin2θcosθ
解得当
sinθ时该点的场强最大，将La代入以上关系式可求得最大值为
Emaxkq
根据几何关系可求Q点到甲、乙连线中点的距离为
hatanθ
解得ha
可见Q点跟O点重合，可知在甲、乙等量同种电荷电场中O、P两点的场强最大，最大值为Emaxkq
根据牛顿第二定律可求得比重力不计、比荷为的电荷沿OP所在直线运动时，在O和P点的加速度最大，最大值为a
解得a，故B正确；
D.在S点固定一个电荷量为4q的负电荷，O点的电场强强大小等于
E'kqkq
故D错误。
故选：B。
如图所示，两个固定的等量正点电荷，其连线中点为O，a、b、c、d四个点位于以O为圆心的同一个圆周上，bd⊥ac。下列说法正确的是（ ）
A．a、c两点的场强大小和方向均相同
B．若一电子从b点由静止释放，以后将在b、d之间沿直线往复运动
C．从O点开始，沿Ob向上各处场强大小越来越小
D．从O点开始，沿Ob向上各处电势越来越高
【解答】解：A．根据同种电荷的电场特点结合对称性可知，a、c两点的场强大小相同，方向相反，故A错误；
B．若一电子从b点由静止释放，电子在Ob间受到向下的电场力，在Oc间受到向上的电场力，将在b、d之间沿直线往复运动，故B正确；
C.O点处电场强度为零，无穷远处电场强度为零，则从O点开始，沿Ob向上各处场强大小先增大后减小，故C错误；
D.根据等量同种正电荷连线中垂线上的电场分布可知，Ob方向，电场线沿Ob方向，则从O点开始，沿Ob向上各处电势越来越低，故D错误。
故选：B。
如图所示，一对等量正点电荷相距为4L，其连线中点为O，以O为圆心、L为半径的圆与两正点电荷间的连线及连线的中垂线分别交于a、b和c、d，以O为坐标原点、垂直ab向上为正方向建立Oy轴。取无穷远处电势为零，则下列判断正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同
B．Oy轴上，y＞0时沿正方向电势随坐标y的变大而减小
C．一试探电荷+q由a点运动到c点，其电势能增大
D．Oy轴上沿正方向电场强度的大小随坐标y的变大而增大
【解答】解：A、根据等量正电荷电场特点可知，ab两点的场强大小相等，方向相反，故A错误；
B、根据点电荷电场强度公式以及场强的叠加，可知Oy轴上，y＞0时电场强度方向为沿Oy轴正方向，沿着电场线方向电势降低，可知Oy轴上y＞0时沿正方向电势随坐标y的变大而减小，故B正确；
C、根据等量正电荷电场特点可知a点电势高于c点电势，一试探电荷+q由a点运动到c点，电场力做正功，电势能减小，故C错误；
D、根据点电荷场强公式以及电场强度的叠加，可知O点的电场强度为零，无穷远处的电场强度为零，故Oy轴上沿正方向电场强度先增大后减小，故D错误；
故选：B。
如图所示，AB两点相距3r，P、M两点把AB连线三等分，在B点固定一点电荷+q，A点固定另一点电荷，已知M点电场强度为0，静电力常量为k，取无穷远处电势为零，则（ ）
A．A点的电荷带负电
B．A点的电荷所带电荷量为q
C．P点电势为0
D．撤去B处的点电荷，M点的电场强度大小为k
【解答】解：AB、M点是AB连线的三等分点，且M点的电场强度为0。这意味着A点和B点的点电荷在M点产生的电场强度大小相等，方向相反。设A点的电荷量为Q，根据库仑定律，A点和B点的点电荷在M点产生的电场强度大小分别为：
，因为M点的电场强度为0，所以EA＝EB，即：，解这个方程，我们得到：Q＝4q，所以A点的电荷量为4q，带正电。故AB错误；
C、由于P点是AB连线的三等分点，且A点和B点的点电荷都是正电荷，所以P点的电势不为0。故C错误。
D、撤去B处的点电荷，M点的电场强度大小为A点的点电荷在M点产生的电场强度，即：，故D正确。
故选：D。
多等量电荷电场
如图，A、B、C、D、E是真空中圆心为O，半径为r的圆弧上的6个等分点，在B、C、D、F点分别固定电荷量为q的正点电荷，在A点和E点固定电荷量为q的负点电荷，静电力常量为k，则圆心O处的电场强度大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据点电荷电场公式结合电场的矢量叠加可知：
C、F处电荷在O点产生的合电场为0；B、E电荷在O点产生的合电场为E，同理D、A在O点产生的合电场为E，且夹角为120°；
根据矢量的合成可知圆心O处的电场强度大小为，故B正确，ACD错误；
故选：B。
如图所示，在等边三角形ABC的B、C两个顶点处分别放置电荷量为q的异种电荷，O为正三角形的中心，若再在顶点A点放置一个点电荷，结果O点的场强大小是A点没有放置点电荷时场强大小的2倍，则A点处放置的点电荷（ ）
A．一定带正电，电荷量为2q
B．一定带负电，电荷量为3q
C．可能带正电，电荷量为3q
D．可能带负电，电荷量为2q
【解答】解：B、C两点为等量异种电荷，它们在O点的场强如图所示
O点到三个顶点的距离均相等，设为r，则有EB＝EC＝k
B、C两点处的等量异种电荷在O点的合场强方向平行BC边向右，大小为EBC＝2EBcos30°
设A点处的电荷量为qA，则A点处电荷在O点的场强大小为EA＝k
不管A点处电荷带正电还是负电，场强方向均与BC边垂直，则A、B、C处三点电荷在O点的合场强大小E合
根据题意有E合＝2EBC
联立解得qA＝3q
则A点处点电荷的电荷量为3q，可能带正电，也可能带负电，故C正确，ABD错误。
故选：C。
如图所示，电荷量为+q和﹣q的点电荷分别位于棱长为a的正方体的顶点，设静电力常量为k，则正方体中心的电场强度大小为（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：将图中两组对角线上的电荷产生的场强合成即为中心O点的场强（另外两对角线上的正电荷在O点的合场强为零），如图所示
根据电场强度的叠加有：
由几何关系可知，两场强夹角的一半θ，则s
则O点合场强：，故B正确，ACD错误。
故选B。
如图所示，O为半径为R的正六边形外接圆的圆心，在正六边形的一个顶点放置一带电荷量为+q的点电荷，其余顶点分别放置带电荷量均为﹣q的点电荷。则圆心O处的场强大小为（ ）
A． B． C． D．0
【解答】解：根据对称性，可知B处和E处点电荷在O点处产生的场强大小相等、方向相反，相互抵消；C处与F处负电荷在O点处产生的场强大小相等、方向相反，相互抵消，
所以根据电场的叠加原理可知O处的场强等于A处和D处两个点电荷产生的场强矢量和，因此O点的电场强度大小为
E＝EA+ED＝kk，故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图所示，水平面内三点A、B、C为等边三角形的三个顶点，三角形的边长为L，O点为AB边的中点。CD为光滑绝缘细杆，D点在O点的正上方，且D点到A、B两点的距离均为L。在A、B两点分别固定点电荷，电荷量均为﹣Q。现将一个质量为m、电荷量为+q的中间有细孔的小球套在细杆上，从D点由静止释放。已知静电力常量为k、重力加速度为g、且kmg，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．固定在A、B处两点电荷的合电场在C、D两点的场强相同
B．小球在D点刚释放时的加速度大小为（）g
C．小球到达C点的速度大小为
D．小球将在D、C两点之间做往复运动
【解答】解：A、C、D两点到A、B两点电荷的距离相等，根据点电荷的场强公式，以及场强的叠加知，固定在A、B处两点电荷在C、D两点产生的场强大小相等，方向不同，故A错误；
B、两点电荷在D点对小球的库仑引力的合力：，
根据几何关系得，CD与水平面的夹角为45°，
根据牛顿第二定律得，小球在D点的瞬时加速度：
a，故B错误；
C、A、B两点的点电荷为等量的同种电荷，可知C、D两点电势相等，由于在C、D两点电势能相等，则小球从D到C，电场力不做功，根据动能定理得：
，
根据几何关系得：h，
解得：，故C正确；
D、在两点间做往复运动的前提是在两点速度为零，由C选项可知，在C点有速度，所以小球不会在C、D两点之间做往复运动，故D错误。
故选：C。
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