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专题19 带电粒子在电场中运动模型
匀强电场中的类平抛运动模型 1
交变电场中的直线、偏转运动模型 5
等效重力场的直线运动模型 8
等效重力场中的类抛体运动模型 11
等效重力场中的圆周运动模型 14
匀强电场中的类平抛运动模型
（多选）如图，竖直放置的立方体D′D′D′D′中心有一粒子源，粒子源可以水平向各个方向发射不同速度的带正电的粒子，粒子比荷为。立方体处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E＝1×103N/C，立方体边长L＝0.1m，除上下底面外，其余四个侧面均为荧光屏（包括边缘）。不考虑粒子源的尺寸大小、粒子重力以及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上后被荧光屏吸收，不考虑荧光屏吸收粒子后的电势变化。则（ ）
A．粒子射出后，在电场中运动的加速度大小a＝1×1011m/s2
B．粒子射出后，在电场中向上偏转做类平抛运动
C．粒子从射出到打到荧光屏上运动的最长时间t＝2×10﹣6s
D．不能打到荧光屏上的粒子，发射时的速度范围为
【解答】解：A、对带正电的粒子受力分析，根据牛顿第二定律：qE＝ma
代入解得：a＝1×1011m/s2，故A正确；
B、粒子带正电，电场力方向与电场强度方向相同，均为竖直向下，与初速度方向垂直，故粒子射出后，在电场中向下偏转做类平抛运动，故B错误；
C、粒子从射出到打到荧光屏上运动的时间最长时，粒子恰好打在荧光屏下边缘，满足：
解得：t＝1×10﹣6s，故C错误；
D、当粒子恰好打在荧光屏上，由几何关系可知：xm＝0.05m
而水平方向满足：x＝v0t
解得打在荧光屏上的最小速度：，故D正确。
故选：AD。
有相同初动量的三个带同种电荷的粒子a、b、c从两板的中点以平行金属板的方向射入同一偏转电场，如图所示。经过一段时间，三个粒子均离开平行金属板间。已知粒子a、b、c的质量之比为1：3：4，所带的电荷量之比为1：1：2，且粒子a、b、c的重力以及所受的阻力均可忽略不计。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子a、b、c在平行金属板间运动的时间之比为4：3：1
B．粒子a、b、c离开平行金属板间瞬间的速度方向与水平方向的夹角正切值之比为1：3：8
C．粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动量的变化量大小之比为1：1：2
D．粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动能的变化量之比为1：3：8
【解答】解：A、粒子在电场中作类平抛运动，根据水平方向的运动规律可得：L＝v0t，则t，三个带同种电荷的粒子初动量相同，a、b、c的质量之比为1：3：4，故运动时间之比为1：3：4，故A错误；
B、粒子在电场中运动的加速度为：a，离开电场时竖直方向的速度大小为：vy＝at，如图所示：
根据几何关系可得：tanθ，a、b、c的质量之比为1：3：4，所带的电荷量之比为1：1：2，粒子a、b、c离开平行金属板间瞬间的速度方向与水平方向的夹角正切值之比为1：3：8，故B正确；
C、动量的变化为：Δp＝I合＝qEt，三种粒子所带的电荷量之比为1：1：2，运动时间之比为1：3：4，所以粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动量的变化量大小之比为1：3：8，故C错误；
D、动能的变化为：ΔEk
解得：ΔEk
a、b、c的质量之比为1：3：4，所带的电荷量之比为1：1：2，粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动能的变化量之比为1：3：16，故D错误。
故选：B。
如图所示，带电粒子A、B所带电荷量qA、qB之比为1：2，带电粒子A、B以相等的速度v0从水平放置的平行板电容器左侧同一点射入电场，沿着跟电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在C、D点，O为下极板左侧端点，若OC＝CD＝L，忽略粒子所受重力的影响，则（ ）
A．A、B在电场中运动的时间之比为1：4
B．A、B运动的加速度大小之比为2：1
C．A、B的质量之比为1：8
D．A、B的机械能变化量之比为1：1
【解答】解：A、粒子在电场中做类平抛运动，水平方向x＝vt，初速度相等，则，故A项错误；
B、粒子在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，yat2，y相同，则，故B项错误；
C、由牛顿第二定律得：qE＝ma，则粒子质量m，所以：，故C正确；
D、根据功能关系可知粒子整个过程机械能的增量：ΔEA＝qAEh，ΔEB＝qBEh，解得，故D错误。
故选：C。
如图所示，a、b、c、d为匀强电场中4条沿水平方向的等势面，一个质量为m，电荷量为q的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为v1，在B点的速度大小为v2，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则（ ）
A．粒子所受的电场力方向竖直向下
B．匀强电场的场强方向竖直向下
C．粒子从A点运动到B点电场力做负功
D．匀强电场的电场强度大小为
【解答】解：A、做曲线运动的物体所受合力方向指向曲线凹的一侧，由图示粒子运动轨迹可知，粒子所受电场力方向竖直向下，故A正确；
B、粒子所受电场力方向竖直向下，如果粒子带正电，电场强度方向竖直向下，如果粒子带负电，电场强度方向竖直向上，由于不知粒子电性，无法确定电场强度方向，故B错误；
C、电场力方向竖直向下，由图示粒子运动轨迹可知，粒子从A运动B过程电场力方向与粒子位移方向夹角为锐角，电场力对粒子做正功，故C错误；
D、粒子从A到B过程，由动能定理得：qELsinθ，解得电场强度大小：E，故D错误。
故选：A。
交变电场中的直线、偏转运动模型
如图甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出。微粒运动过程中未与金属板接触。重力加速度的大小为g。关于微粒在0～T时间内运动的描述，正确的是（ ）
A．末速度大小为
B．重力的冲量为零
C．克服电场力做功
D．重力势能增加了
【解答】解：A、0～T时间内微粒匀速运动，说明重力和电场力平衡，则有：qE0＝mg
T～T时间内，微粒只受到重力，微粒做平抛运动，下降的位移y1g（）2
T～T时间内，微粒的加速度大小ag，方向竖直向上，微粒在竖直方向上向下做匀减速运动，T时刻竖直分速度为零，在水平方向上仍做匀速直线运动，所以末速度的方向沿水平方向，大小为v0，故A错误；
B、根据I＝mgt可知，重力的冲量不为零，故B错误；
CD、T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出，重力做功WG＝mg ，则重力势能减少了ΔEp；
由动能定理知外力对微粒所做的总功为0，则电场力做功与重力做功代数和为0，电场力做功为W电，所以克服电场力做功，故C正确、D错误。
故选：C。
在如图甲所示平行板电容器A、B两板上加上如图乙所示的交变电压，开始A板的电势比B板高，这时两板中间原来静止的电子在电场力作用下开始运动，设电子在运动中不与极板发生碰撞，则下述说法正确的是（不计电子重力）（ ）
A．电子先向A板运动，然后向B板运动，再返回A板做周期性来回运动
B．电子一直向A板运动
C．电子一直向B板运动
D．电子先向B板运动，然后向A板运动，再返回B板做来回周期性运动
【解答】解：开始A板的电势比B板高，在前半个周期内，A板的电势高，电场的方向向左，电子受到的电场力方向水平向右，向右做匀加速直线运动，第二个半周期内，电子所受的电场力水平向左，电子向右做匀减速直线运动，0.05s末速度减为零，此后重复之前的运动，可知电子一直向A板运动，位移一直增大，故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图甲中的水平平行金属板M、N间加有如图乙所示的变化电压，后电压消失。当电压稳定时，板间为匀强电场。O位于M、N板间中点，可以向外释放初速度为零的带电液滴。在t＝0时，均带负电的液滴甲、乙从O由静止进入板间，甲、乙两液滴的比荷分别为k和1.5k，忽略两个带电液滴间的相互作用及其电荷量的变化。已知0～t0时间甲处于静止状态，3t0时刻甲恰好到达下极板附近。重力加速度大小为g，则在如图乙中表示的时间段内，下列说法正确的是（ ）
A．两板间距为
B．乙在时刻打到上极板
C．甲在该阶段的最大速度为gt0
D．甲在时刻恰好到达上极板附近
【解答】解：A、根据题意可知甲液滴在0～t0时间里静止，由平衡条件有：
在t0～2t0时间内甲液滴做自由落体运动，在2t0～3t0时间内做匀减速直线运动，在2t0时刻，甲液滴的速度为：v1＝gt0
结合题意，两板间距满足：
整理后解得：，故A错误；
B、乙液滴在0～t0时间内，根据牛顿第二定律：
整理可得：
向上运动的距离：，t0～2t0时间内运动的位移：
此时的速度：
此时距离上极板的距离：x′0
在2t0后，根据牛顿第二定律：
解得：a′＝2g
根据：
代入数据解得：（另一解为负舍去）
乙粒子在打到上极板的时刻：t′＝2t0+t＝2t0，故B正确；
C、甲液滴在t0～2t0加速的时间和2t0～3t0减速时间相等，可知甲液滴做减速运动的加速度大小为：a＝g
所以甲在该阶段的最大速度：，故C错误；
D、甲从向上运动的位移，可知甲回到O点，此过程中的最大速度为，故D错误。
故选：B。
（多选）如图甲所示，某多级直线加速器由n个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为C的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压UMN，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则（ ）
A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动
B．加速器筒长和加速电压不变，若要加速荷质比更大的粒子，则要调小交变电压的周期
C．各金属筒的长度之比为
D．质子进入第n个圆筒时的瞬时速度为
【解答】解：A、金属圆筒中电场为零，质子不受电场力，在每个圆筒中做匀速运动，故A错误；
D、质子进入第n个圆筒时，经过n次加速，根据动能定理：
变形解得：，故D错误；
C、根据直线加速器的原理，只有质子在每个圆筒中匀速运动时间为时，才能保证每次在缝隙中被电场加速，则第n个圆筒长度：Ln＝vn，所以各金属筒的长度之比为，故C正确；
B、由C选项的分析可知，保持Ln和U0不变，荷质比增大，则T必须减小，故B正确；
故选：BC。
等效重力场的直线运动模型
（多选）如图所示，地面上固定一倾角为θ＝53°，高为h的光滑绝缘斜面，现将一个带正电的物块（可视为质点）从斜面顶端由静止释放，已知物块质量为m，电荷量为q，斜面置于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为mgh
B．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为
C．物块落地的动能大小为2mgh
D．物块落地的动能大小为
【解答】解：AB、物块受力如图所示
tanα，则α＝37°
物块从静止释放到落地过程的位移x
物块从静止释放到落地过程电场力做的功W＝qExcosα＝qh×cos37°，故A错误，B正确；
CD、物块受到的合力大小Fmg，物块从释放到落地过程，由动能定理得：Fx＝Ek﹣0，解得，落地时的动能Ek，故C错误，D正确。
故选：BD。
如图所示，水平地面上方存在大小为E的水平向左的匀强电场，一带电小球（可视为质点）用轻质绝缘细线悬挂于O点，小球带电荷量为+q，静止时距地面的高度为h，细线与竖直方向的夹角为α＝37°，重力加速度为g（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力）。求：
（1）小球的质量；
（2）若用绝缘剪刀将细线剪断，带电小球落地瞬间的动能。
【解答】解：（1）小球静止时，对小球受力分析如图，
根据受力平衡可得
竖直方向有：Fcos37°＝mg
水平方向有：Fsin37°＝qE
联立解得小球的质量为：
（2）剪断细线，小球在竖直方向做自由落体运动，水平方向做加速度为a的匀加速运动，落地水平位移x，则有：，，
联立解得：
从剪断细线到落地瞬间，由动能定理得：
答：（1）小球的质量为；
（2）若用绝缘剪刀将细线剪断，带电小球落地瞬间的动能为。
如图所示，轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10﹣6C，匀强电场的场强E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）小球所受静电力F的大小；
（2）小球的质量m；
（3）剪断细绳后2s末，小球的速度v的大小。
【解答】解：（1）根据电场力的计算公式可得电场力为：F电＝qE＝1.0×10﹣6×3.0×103N＝3.0×10﹣3N
（2）小球受力情况如图所示：
根据几何关系可得：mgtanθ＝qE
所以有：mkg＝4×10﹣4kg
（3）剪断细线的瞬时，因为小球受重力和电场力合力恒定不变，方向与初始状态绳上力的方向相反，故小球将沿与重力方向夹角为37°的方向做匀加速直线运动。
合力大小：F合N＝5×10﹣3N
加速度：am/s2＝12.5m/s2
2s后的末速度v＝at＝12.5×2m/s＝25m/s
答：（1）小球所受电场力F的大小为3.0×10﹣3N；
（2）小球的质量为4×10﹣4kg；
（3）剪断细绳后2s末，小球的速度v的大小为25m/s。
等效重力场中的类抛体运动模型
如图为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点。在这一运动过程中克服重力做的功为2.0J，电场力做的功为0.5J。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少0.5J
C．粒子在A点的动能比在B点多1.5J
D．粒子在A点的机械能比在B点少0.5J
【解答】解：A、有轨迹可知，垂直电场方向射入的带电粒子向电场的方向偏转，受力方向与电场方向相同，证明带电粒子带正电，故A错误；
B、从A到B的过程中，电场力做正功，电势能在减少，所以在A点电势能要大于在B点的电势能，故B错误；
C、从A到B的过程中，克服重力做功为2.0J，电场力做功0.5J，由动能定理可知，粒子在A点的动能比B点多1.5J，故C正确；
D、由A到B过程中除重力做功之外，还有电场力做功，电势能转化成机械能，此过程机械能增大，所以B点机械能比A点机械能多0.5J，故D错误。
故选：C。
两平行板竖直放置，板长为L，板间距也为L，接在如图所示的电路中，闭合开关S，电路稳定后，将一质量为m、带电量为q的带电小球，在A板的上边缘以一定的初速度v0垂直于板水平抛出，小球恰好擦着B板的下边缘竖直向下飞出（与B板没有相撞）。（小球电荷不影响板间电场的分布，不计两板的边缘效应）。则以下判定正确的有（ ）
A．小球在板间运动时的轨迹是一段圆弧
B．小球在板间运动时的最小速度为vv0
C．若保持S闭合，将B板向A板靠近一段距离，小球仍以同样的方式抛出，则小球一定会与B板发生碰撞
D．若断开S，将B板向A板靠近一段距离，小球仍以同样的方式抛出，则小球可能不会与B板发生碰撞
【解答】解：小球在板间运动时只受重力和电场力两个恒力作用，做匀变速曲线运动，故A错误；
B、小球在板间运动时，水平方向上：，竖直方向： （vy为小球离开板间时的速度），可知vy＝v0，而0﹣v0＝﹣axt，vy＝gt，故ax＝g，即有Eq＝mg，因此由电场和重力场构成的等效重力场的方向为左下方与竖直方向的夹角为450，小球在板间运动时的最小速度在等效重力场的等效最高点，此时小球只有等效水平方向的速度，其大小为，故B正确；
C、开始时，小球在水平方向上有： ，当保持S闭合，若将B板向A板靠近一段距离d，此时在水平方向上： 小球在水平方向上的最大距离满足 ，解得 x＝L﹣d，故C错误；
D、若断开S，将B板向A板靠近一段距离，此时板间的电场强度不变，小球在水平方向上的加速度不变，因而小球的运动轨迹不变，故小球一定会与B板发生碰撞，故D错误。
故选：B。
（多选）如图所示，空间存在一匀强电场，其方向与水平方向间的夹角为30°，AB与电场垂直，一质量为m，电荷量为q的带正电小球以初速度v0从A点水平向右抛出，经过时间t小球落到C点，速度大小仍是v0，已知AB＝BC，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场方向沿电场线斜向上
B．电场强度大小为E
C．小球下落高度
D．此过程增加的电势能等于
【解答】解：A、由题意可知，小球在下落过程的初末动能相等，而重力做正功，则电场力做负功，而小球带正电，故电场方向应斜向下，故A错误；
B、由动能定理可得：mg ABsin60°﹣Eq BC sin60°＝0
已知：AB＝BC
解得：，故B正确；
C、将电场力分解为沿水平方向和竖直方向，则沿竖直分量中产生的电场力：
则物体在竖直方向上的合力：
则由牛顿第二定律可知，竖直方向上的分加速度：
则下落高度：h，故C正确；
D、此过程中电场力做负功，电势能增加，由几何关系可知：
则电势能的增加量为：，故D错误。
故选：BC。
等效重力场中的圆周运动模型
（多选）如图所示，质量为m、带电荷量为+q的小球（可视为质点）与长为L的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在O点，整个系统处在与竖直方向夹角为45°的匀强电场中。当小球绕O点在竖直平面内做半径为L的圆周运动时，已知A、B、C、D、E、F为圆周上的点，AB为水平直径，CD为竖直直径，EF过O点且与CD的夹角为45°。小球运动到A点时的速度最小，最小速度为vmin，g为重力加速度的大小，则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球从A点运动到B点时，合力做的功为mgL
C．小球运动到B点时轻绳拉力的大小为6mg
D．小球运动到E点时的机械能最大
【解答】解：A、小球运动到A点时的速度最小，说明A点是等效最高点。此位置绳子拉力为零，重力和电场力的合力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可得：F合＝m，解得：F合＝mg，小球在A点的受力情况如图所示：
根据几何关系可得电场力：qE，解得电场强度大小为：E，故A正确；
B、小球从A点运动到B点时，合力做的功为：W＝F合 2L＝2mgL，故B错误；
C、小球从A到B过程中，根据动能定理可得：W
在B点，根据牛顿第二定律可得：F﹣F合＝m
联立解得运动到B点时轻绳拉力的大小为：F＝6mg，故C正确；
D、除重力之外的电场力做的功等于机械能的变化，所以小球运动到F点时电场中做的做功最多，所以小球运动到F点时的机械能最大，故D错误。
故选：AC。
（多选）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径，一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的小球静止在圆环上P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力。已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。现使小球从P点出发恰能做完整的圆周运动，则下列选项正确的是（ ）
A．小球做圆周运动在B点速度最大
B．电场强度的大小为
C．小球初速度的大小应为
D．小球初速度的大小应为
【解答】解：B．当小球静止在P点时，则有
tan37°
解得E，故B正确；
A．小球从P点出发恰能做完整的圆周运动，可以等效为在一个“重力加速度”为的“重力场”中运动，则小球必须能通过等效最高点，即在等效最高点的速度弹力为零时速度最小，而等效最低点的速度最大，则小球做圆周运动在P点速度最大，故A错误；
CD．在等效最高点时，有m
从P点到等效最高点，根据动能定理有
mm
解得v0
即小球的初速度应为，故C正确，D错误；
故选：BC。
（多选）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为l的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度为，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若去掉细线，将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
【解答】解：A、由于电场强度E，故mg＝Eq，重力与电场力的合力大小为mg，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为v，则有：
mg＝m，解得，v，故A错误；
B、除重力和弹力外其它力做功等于机械能的增加值，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时，电场力做功最多，故到B点时的机械能最大，故B正确；
C、因电场力qE和重力mg合力F合的方向与竖直方向夹角为45°指向右向下方，故将小球在A点由静止开始释放，它将沿合力方向做匀加速直线运动到C处，此时细线被拉直，小球以水平方向的分速度由C点开始做圆周运动，若小球不脱离圆周轨道，再次返回到C点其速度必不为零，则小球不可能在ACBD圆弧上往复运动，故C错误；
D、若将小球在A点以大小为 的速度竖直向上抛出，小球将不会沿圆周运动，因此小球在竖直方向做竖直上抛，水平方向做匀加速运动，因Eq＝mg，故水平加速度与竖直速度加速大小均为g，当竖直方向上的位移为零时，时间t＝2，则水平位移xgt2＝2L，则说明小球刚好运动到B点，故D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A点相切，B点为圆轨道的最低点，C点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量为m＝1kg，电荷量为q（q＞0）的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度，θ＝53°，圆轨道半径R＝1m，g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。则以下说法中正确的是（ ）
A．刚释放小球时小球的加速度的大小为3.5m/s2
B．若小球能到达C点，释放点与A的距离至少为1.2m
C．若小球恰能到达C点，此运动过程中小球对轨道的最大压力为75N
D．若小球恰能到达C点，则在C点对轨道的压力为0
【解答】解：A．对小球受力分析，小球所受电场力水平向左，且题设小球始终沿轨道运动，由牛顿第二定律得：
mgsinθ﹣Eqcosθ＝ma，解得a＝3.5m/s2，故A正确；
B．设重力与电场力的合力方向与竖直方向成α角，如图所示：
根据几何关系可得：，解得：α＝37°
合力大小为：，解得：Fmg
小球恰好能过等效最高点E时也就恰好能到达C点，在E点由牛顿第二定律得：；
从释放到到达E点，由动能定理得：mg[s sinθ﹣Rcosθ﹣Rcosα]﹣Eq（s cosθ+Rsinθ+Rsinα），
代入数据解得：，故B错误；
C．此时若小球能到达C点，应先恰能到达E点，对E点受力分析，根据牛顿第二定律结合向心力公式可得：
代入数据解得：m/s，
对D到E由动能定理得：﹣F 2R
解得：m/s
对D点由牛顿第二定律得：N﹣F，解得：N＝75N，由牛顿第三定律得压力：FN＝75N，故C正确；
D．对E到C由动能定理得：qERsinα﹣mgR（1﹣cosα）
在C点由牛顿第二定律得：，代入数据解得：N′＝7.5N，由牛顿第三定律得压力FN′＝N′＝7.5N，故D错误。
故选：AC。
如图所示，绝缘水平轨道与光滑绝缘竖直圆槽形轨道相切于A点，圆形轨道半径为R，水平轨道AM段长度也为R，竖直边界MN左侧分布有水平向左的匀强电场，场强E。质量为m，带电量为+q的物块以水平方向速度v0从M点进入电场，水平轨道AM段与物块的动摩擦因数μ，（重力加速度为g，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8）。求：
（1）若物块的速度v0，物块经过圆形轨道最低点A时对轨道的压力大小；
（2）若要使物块能做完整的圆周运动，物块的速度v0需要满足什么条件。
【解答】解：（1）物块从M点到A点，由动能定理可得
解得：
物块在A点做圆周运动，对轨道压力为N，由牛顿第二定律可得
解得：N＝7mg
由牛顿第三定律可得，物块对轨道的压力大小为7mg。
（2）当物块通过等效最高点B时，重力和电场力的合力恰好提供向心力时，物块恰能做完整的圆周运动，受力分析如图所示：
合力与竖直方向夹角为θ，则有，θ＝37°
物块从M点到B点，由动能定理可得qERsin37°﹣μmgR﹣mgR（1+cos37°）
在等效最高点，有
联立解得：
则要使物块能做完整的圆周运动，物块的速度
答：（1）物块经过圆形轨道最低点A时对轨道的压力大小为7mg；
（2）若要使物块能做完整的圆周运动，则物块的速度v0。
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专题19 带电粒子在电场中运动模型
匀强电场中的类平抛运动模型 1
交变电场中的直线、偏转运动模型 3
等效重力场的直线运动模型 5
等效重力场中的类抛体运动模型 6
等效重力场中的圆周运动模型 7
匀强电场中的类平抛运动模型
（多选）如图，竖直放置的立方体D′D′D′D′中心有一粒子源，粒子源可以水平向各个方向发射不同速度的带正电的粒子，粒子比荷为。立方体处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E＝1×103N/C，立方体边长L＝0.1m，除上下底面外，其余四个侧面均为荧光屏（包括边缘）。不考虑粒子源的尺寸大小、粒子重力以及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上后被荧光屏吸收，不考虑荧光屏吸收粒子后的电势变化。则（ ）
A．粒子射出后，在电场中运动的加速度大小a＝1×1011m/s2
B．粒子射出后，在电场中向上偏转做类平抛运动
C．粒子从射出到打到荧光屏上运动的最长时间t＝2×10﹣6s
D．不能打到荧光屏上的粒子，发射时的速度范围为
有相同初动量的三个带同种电荷的粒子a、b、c从两板的中点以平行金属板的方向射入同一偏转电场，如图所示。经过一段时间，三个粒子均离开平行金属板间。已知粒子a、b、c的质量之比为1：3：4，所带的电荷量之比为1：1：2，且粒子a、b、c的重力以及所受的阻力均可忽略不计。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子a、b、c在平行金属板间运动的时间之比为4：3：1
B．粒子a、b、c离开平行金属板间瞬间的速度方向与水平方向的夹角正切值之比为1：3：8
C．粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动量的变化量大小之比为1：1：2
D．粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动能的变化量之比为1：3：8
如图所示，带电粒子A、B所带电荷量qA、qB之比为1：2，带电粒子A、B以相等的速度v0从水平放置的平行板电容器左侧同一点射入电场，沿着跟电场强度垂直的方向射入平行板电容器中，分别打在C、D点，O为下极板左侧端点，若OC＝CD＝L，忽略粒子所受重力的影响，则（ ）
A．A、B在电场中运动的时间之比为1：4
B．A、B运动的加速度大小之比为2：1
C．A、B的质量之比为1：8
D．A、B的机械能变化量之比为1：1
如图所示，a、b、c、d为匀强电场中4条沿水平方向的等势面，一个质量为m，电荷量为q的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为v1，在B点的速度大小为v2，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则（ ）
A．粒子所受的电场力方向竖直向下
B．匀强电场的场强方向竖直向下
C．粒子从A点运动到B点电场力做负功
D．匀强电场的电场强度大小为
交变电场中的直线、偏转运动模型
如图甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出。微粒运动过程中未与金属板接触。重力加速度的大小为g。关于微粒在0～T时间内运动的描述，正确的是（ ）
A．末速度大小为
B．重力的冲量为零
C．克服电场力做功
D．重力势能增加了
在如图甲所示平行板电容器A、B两板上加上如图乙所示的交变电压，开始A板的电势比B板高，这时两板中间原来静止的电子在电场力作用下开始运动，设电子在运动中不与极板发生碰撞，则下述说法正确的是（不计电子重力）（ ）
A．电子先向A板运动，然后向B板运动，再返回A板做周期性来回运动
B．电子一直向A板运动
C．电子一直向B板运动
D．电子先向B板运动，然后向A板运动，再返回B板做来回周期性运动
如图甲中的水平平行金属板M、N间加有如图乙所示的变化电压，后电压消失。当电压稳定时，板间为匀强电场。O位于M、N板间中点，可以向外释放初速度为零的带电液滴。在t＝0时，均带负电的液滴甲、乙从O由静止进入板间，甲、乙两液滴的比荷分别为k和1.5k，忽略两个带电液滴间的相互作用及其电荷量的变化。已知0～t0时间甲处于静止状态，3t0时刻甲恰好到达下极板附近。重力加速度大小为g，则在如图乙中表示的时间段内，下列说法正确的是（ ）
A．两板间距为
B．乙在时刻打到上极板
C．甲在该阶段的最大速度为gt0
D．甲在时刻恰好到达上极板附近
（多选）如图甲所示，某多级直线加速器由n个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为C的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压UMN，一段时间后加速器稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则（ ）
A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动
B．加速器筒长和加速电压不变，若要加速荷质比更大的粒子，则要调小交变电压的周期
C．各金属筒的长度之比为
D．质子进入第n个圆筒时的瞬时速度为
等效重力场的直线运动模型
（多选）如图所示，地面上固定一倾角为θ＝53°，高为h的光滑绝缘斜面，现将一个带正电的物块（可视为质点）从斜面顶端由静止释放，已知物块质量为m，电荷量为q，斜面置于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为mgh
B．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为
C．物块落地的动能大小为2mgh
D．物块落地的动能大小为
如图所示，水平地面上方存在大小为E的水平向左的匀强电场，一带电小球（可视为质点）用轻质绝缘细线悬挂于O点，小球带电荷量为+q，静止时距地面的高度为h，细线与竖直方向的夹角为α＝37°，重力加速度为g（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力）。求：
（1）小球的质量；
（2）若用绝缘剪刀将细线剪断，带电小球落地瞬间的动能。
如图所示，轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10﹣6C，匀强电场的场强E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）小球所受静电力F的大小；
（2）小球的质量m；
（3）剪断细绳后2s末，小球的速度v的大小。
等效重力场中的类抛体运动模型
如图为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点。在这一运动过程中克服重力做的功为2.0J，电场力做的功为0.5J。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少0.5J
C．粒子在A点的动能比在B点多1.5J
D．粒子在A点的机械能比在B点少0.5J
两平行板竖直放置，板长为L，板间距也为L，接在如图所示的电路中，闭合开关S，电路稳定后，将一质量为m、带电量为q的带电小球，在A板的上边缘以一定的初速度v0垂直于板水平抛出，小球恰好擦着B板的下边缘竖直向下飞出（与B板没有相撞）。（小球电荷不影响板间电场的分布，不计两板的边缘效应）。则以下判定正确的有（ ）
A．小球在板间运动时的轨迹是一段圆弧
B．小球在板间运动时的最小速度为vv0
C．若保持S闭合，将B板向A板靠近一段距离，小球仍以同样的方式抛出，则小球一定会与B板发生碰撞
D．若断开S，将B板向A板靠近一段距离，小球仍以同样的方式抛出，则小球可能不会与B板发生碰撞
（多选）如图所示，空间存在一匀强电场，其方向与水平方向间的夹角为30°，AB与电场垂直，一质量为m，电荷量为q的带正电小球以初速度v0从A点水平向右抛出，经过时间t小球落到C点，速度大小仍是v0，已知AB＝BC，则下列说法中正确的是（ ）
A．电场方向沿电场线斜向上
B．电场强度大小为E
C．小球下落高度
D．此过程增加的电势能等于
等效重力场中的圆周运动模型
（多选）如图所示，质量为m、带电荷量为+q的小球（可视为质点）与长为L的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在O点，整个系统处在与竖直方向夹角为45°的匀强电场中。当小球绕O点在竖直平面内做半径为L的圆周运动时，已知A、B、C、D、E、F为圆周上的点，AB为水平直径，CD为竖直直径，EF过O点且与CD的夹角为45°。小球运动到A点时的速度最小，最小速度为vmin，g为重力加速度的大小，则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球从A点运动到B点时，合力做的功为mgL
C．小球运动到B点时轻绳拉力的大小为6mg
D．小球运动到E点时的机械能最大
（多选）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径，一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的小球静止在圆环上P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力。已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。现使小球从P点出发恰能做完整的圆周运动，则下列选项正确的是（ ）
A．小球做圆周运动在B点速度最大
B．电场强度的大小为
C．小球初速度的大小应为
D．小球初速度的大小应为
（多选）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为l的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度为，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若去掉细线，将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
（多选）如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A点相切，B点为圆轨道的最低点，C点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量为m＝1kg，电荷量为q（q＞0）的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度，θ＝53°，圆轨道半径R＝1m，g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。则以下说法中正确的是（ ）
A．刚释放小球时小球的加速度的大小为3.5m/s2
B．若小球能到达C点，释放点与A的距离至少为1.2m
C．若小球恰能到达C点，此运动过程中小球对轨道的最大压力为75N
D．若小球恰能到达C点，则在C点对轨道的压力为0
如图所示，绝缘水平轨道与光滑绝缘竖直圆槽形轨道相切于A点，圆形轨道半径为R，水平轨道AM段长度也为R，竖直边界MN左侧分布有水平向左的匀强电场，场强E。质量为m，带电量为+q的物块以水平方向速度v0从M点进入电场，水平轨道AM段与物块的动摩擦因数μ，（重力加速度为g，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8）。求：
（1）若物块的速度v0，物块经过圆形轨道最低点A时对轨道的压力大小；
（2）若要使物块能做完整的圆周运动，物块的速度v0需要满足什么条件。
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