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专题20 带电粒子在磁场中运动（旋转圆、防缩圆、平移圆、磁聚焦与磁发散）模型
旋转圆模型 1
放缩圆横型 8
平移圆横型 11
磁聚焦与磁发散横型 16
旋转圆模型
如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电量为q的正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R），半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中心位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（ ）
A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足45°≤θ≤135°
【解答】解：A．初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，说明粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝R.
根据洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝m
解得：v，故A错误；
B．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直高度最大值为2R，不会打在光屏上，故B错误；
C．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为。
根据周期公式可得：T
能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为：t，故C正确；
D．若能打在光屏下端，如图
由几何知识可知初速度与x轴夹角为θ1＝60°
同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x轴夹角为θ2＝120°
能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足60°≤θ≤120°，故D错误。
故选：C。
（多选）如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC＝θ，从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间的说法正确的是（ ）
A．若θ＝60°，则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
B．若θ＝45°，则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
C．若θ＝30°，则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
D．从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与θ的大小无关
【解答】解：很多相同m、q的粒子在同一点以相同的速率v沿不同方向射入磁场，由粒子的洛伦兹力提供向心力
qvB＝m
解得
知所有粒子轨道半径相等，由
知所有粒子的运动周期是相等的，从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于，在不同边界的磁场中粒子源S到O点的距离不同，所以要分别作图分析。
A．若θ＝60°，如图1所示，所有粒子运动轨迹的圆心为以S为圆心以为半径的半圆弧DFGH上。从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于，该粒子的轨迹所对应的弦为直径SE，随着轨迹圆的旋转，轨迹所对应的弦先减小再增大，弦最长为
对应的圆心为D；弦最短为
对应的圆心为G，在△SFG中，各边等长，即对应的圆心角为
∠FGS＝60°
从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为，故A正确。
图1 图2
B．若θ＝45°，同理分析，如图2所示，圆周运动的半径为，从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为
，故B正确；
C．若θ＝30°，同理分析，如图3所示，圆周运动的半径为，从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为
，故C正确；
D．由图4可知在OC边界上，只有EI段有粒子穿出，从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与θ的大小有关，故D错误。
图3 图4
故选：ABC。
（多选）如图所示，足够长的荧屏板MN的上方分布了垂直纸面向里的匀强磁场。荧屏板上P点的正上方有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v0，电荷量为﹣q（q＞0）、质量为m的带负电粒子。粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为d，P点到粒子源S的距离为，不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．打到荧屏板上的粒子到P点的最远距离为
B．粒子能打到荧屏板上的区域长度为
C．从粒子源出发到荧屏板的最短时间为
D．从粒子源出发到荧屏板的最长时间为
【解答】解：粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，画出粒子在磁场中的可能运动轨迹如图所示。
A、根据几何知识可知，当粒子打在SP右侧极板MN上的Q点，且SQ等于粒子做圆周运动的直径，打到荧屏板上的粒子到P点的距离为最远，由几何知识得打到荧屏板上的粒子到P点的最远距离为：，故A正确；
B、由几何知识可知，当粒子在SP左侧的运动轨迹恰好与MN相切与K点时，此时粒子为打在MN板左侧的最远点，由几何知识得
则粒子能打到荧屏板上的区域长度为
，故B错误；
C、由几何知识可知，当粒子在磁场中运动轨迹过P点时，粒子运动轨迹所对应的弦长最短，轨迹对应的圆心角最小，则从粒子源出发到荧屏板所用时间最短，由几何知识得
则轨迹所对应的圆心角大小为：2θ＜30°
而若圆心角为30°时，所用时间为：
所以从粒子源出发到荧屏板的最短时间小于，故C错误；
D、由几何知识可知，当粒子在SP右侧的运动轨迹恰好与MN相切于T点时，轨迹对应的圆心角最大，从粒子源出发到荧屏板所用时间最长，由几何知识可得此时粒子运动轨迹所对应的圆心角为
θ＝300°
所以运动所用最长时间为
，故D正确。
故选：AD。
（多选）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点。在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动的速度大小为
C．从AD边离开的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积为
【解答】解：A、速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，可知粒子做顺时针方向偏转，由左手定则判断，粒子带负电，故A正确；
B、速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如下图：
由几何关系可知，α＝60°，可得粒子做圆周运动的半径r＝d
由洛伦兹力提供向心力得：
解得粒子运动的速度大小为：，故B正确；
C、粒子从AD边离开时的运动轨迹都是劣弧，由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此从AD边离开的粒子在磁场中运动的轨迹越短，即该轨迹对应的弦越短，时间越短。O点到AD的最短距离为EO，即从E点射出的粒子在磁场中运动时间最短，此轨迹的圆心角为60°，因此最短时间等于六分之一周期，由周期，可得最短时间，故C错误；
D、如下图所示，由运动半径r＝d，可得粒子水平向左由O点飞入时恰好从A点离开磁场，当粒子竖直向上由O点飞入时，恰好从D点飞出磁场，从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域的面积为图中弧AO、弧OD与AD边围成的区域面积。
该区域面积为：，故D错误。
故选：AB。
放缩圆横型
如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图、若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A．三个粒子都带负电荷
B．c粒子运动速率最小
C．c粒子在磁场中运动时间最短
D．它们做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc
【解答】解：A、三个带电粒子均向上偏转，射入磁场时所受的洛伦兹力均向上，根据左手定则判断得知：三个粒子都带正电荷。故A错误；
B、粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，根据qvB，可得：r，则可知三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，当速度越大时、轨道半径越大，则由图知，a粒子的轨迹半径最小，c粒子的轨迹半径最大，则a粒子速率最小，c粒子速率最大，故B错误；
CD、三个带电粒子的质量和电荷量都相同，由粒子运动的周期 T及tT，θ是粒子轨迹对应的圆心角，也等于速度的偏转角，可知，三粒子运动的周期相同，即Ta＝Tb＝Tc。
由图知，a在磁场中运动的偏转角最大，运动的时间最长，c在磁场中运动的偏转角最小，c粒子在磁场中运动时间最短，即ta＞tb＞tc。
综上所述，故C正确，D错误。
故选：C。
如图所示，两个速度大小相同、比荷不同的带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的（ ）
A．轨迹半径之比为2：1 B．比荷之比为2：1
C．时间之比为3：2 D．周期之比为2：1
【解答】解：A、粒子1和粒子2的圆心O1和O2，如图所示
根据几何关系可得粒子1的半径R1＝d
对于粒子2，由几何关系可得R2sin30°+d＝R2
解得R2＝2d
故轨迹半径之比为1：2，故A错误；
B、根据洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律可得
化简粒子的轨道半径为
所以两粒子的比荷之比为2：1，故B正确；
D、根据周期公式
可得粒子的周期为
所以两粒子周期之比为1：2，故D错误；
C、速度的偏转角即圆心角，故粒子1的运动时间
粒子2的运动时间
故它们在磁场中运动的时间之比为3：4，故C错误。
故选：B。
如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场边界线方向飞入正方形区域的匀强磁场（磁场的方向垂直于正方形区域），下列判断正确的是（ ）
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长
B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
【解答】解：A、电子在磁场中做圆周运动的周期：T相同，电子在磁场中的运动时间：tT，电子在磁场中运动时间越长，电子运动轨迹对应的圆心角θ越大，电子的运动轨迹不一定越长，故A错误；
B、电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：evB＝m，解得：r，电子速率v越大，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径越大，但运动时间不一定越短，如从磁场右边界射出磁场的电子轨道半径不同但运动时间相等，半径大的电子运动时间不一定短，故B错误；
C、从磁场左边界离开磁场的电子在磁场中的运动时间相等，电子速度不同运动轨迹不同，由此可知，运动时间相同的电子运动轨迹不一定重合，故C正确；
D、电子在磁场中做圆周运动的周期：T相同，电子在磁场中的运动时间：tT，电子运动轨迹对应的圆心角θ相同，电子在磁场中的运动时间相等，它们的速率不一定相同，如从磁场右边界离开磁场的电子运动时间相同而速率不同，故D错误。
故选：C。
如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。粒子第一次在磁场中运动的轨迹半径为r1，离开磁场时速度方向偏转90°；第二次在磁场中运动的轨迹半径为r2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为（ ）
A． B． C． D．3
【解答】解：粒子沿半径方向进入磁场，出射时速度方向反向延长线过圆心，作出两种情况下粒子轨迹对应的半径，如图所示：
设磁场所在圆的半径为R，根据几何关系可得：r1＝R
第二次粒子离开磁场时速度方向偏转60°，则θ30°
所以有：r2R
则，故B正确、ACD错误。
故选：B。
平移圆横型
如图所示，在平面直角坐标系第一象限内某区域充满了垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小B＝2T，一群相同带电粒子从y轴的10cm～20cm范围内，以速度v＝20m/s沿x轴正方向进入第一象限，所有粒子均通过x轴上同一点而离开磁场，已知粒子电量q＝0.1C，质量m＝0.001kg，不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．该区域磁场的最小面积为（2+π）×10﹣2（m2）
B．粒子在磁场中运动最长时间为
C．粒子在磁场中运动最短时间为
D．粒子在磁场中动量变化量的最大值为4×10﹣2kg m/s
【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力
解得：R＝0.1m＝10cm
所有粒子均通过x轴上同一点而离开磁场，即粒子从x轴上x＝10cm点离开磁场，即所有粒子磁聚焦到x＝10cm点，如图所示，
所以区域最小磁场面积：S＝πR2m2，故A错误；
BC、粒子在磁场中运动的周期：
粒子在磁场中运动最长时间：tmaxss
粒子在磁场中运动最短时间：tminss，故BC错误；
D、粒子在磁场中运动动量变化量的最大值：Δp＝2mv＝4×10﹣2kg m/s，故D正确。
故选：D。
如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB边长度为d，，现垂直AB边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小是
C．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场
D．若有粒子能再次回到AB边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为
【解答】解：AB、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是t0T，则得周期T＝4t0
则粒子又回到AB边处磁场时，其运动时间最长，在磁场中运动的最长时间为2t0；结合周期公式可得磁感应强度，故AB错误；
C、如果粒子带的是负电，粒子向上偏转，以B点为圆心，转过的圆心角为的粒子垂直BC边射出磁场，故C错误；
D、若有粒子能再次回到AB边，转过的圆心角为π，最长半径如图所示
由几何关系可得最大半径为
解得：，故D正确。
故选：D。
（多选）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC边长为L，∠A＝30°。带正电的粒子流（其重力忽略不计）以相同速度在CD范围内垂直AC边射入（不计粒子间的相互作用力），从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子流在磁场中扫过的面积为
【解答】解：A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，则有：
根据周期公式可得：
解得粒子的比荷为：，故A错误；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为θ，根据题意有：
解得：
粒子运动轨迹如图所示：
设粒子轨迹半径为R，根据几何关系可得：
解得：，故B错误；
C．粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得：
可得粒子射入磁场的速度大小为：，故C正确；
D．从D点射入的粒子恰好不从AB边界射出，根据上图结合几何知识可得粒子在磁场中扫过的面积为：
，故D正确。
故选：CD。
（多选）如图为一除尘装置的截面图，平板M、N的长度及其间距均为d，两板间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。工作时，大量质量为m、带电量为q的带电尘埃，以平行极板的相同速度进入两板间，在磁场作用下就会被平板吸附。当带电尘埃以速度v0进入磁场时，贴近N板入射的尘埃恰好打在M板右边缘，尘埃全部被平板吸附，即除尘效率为100%，不计尘埃的重力，求（ ）
A．带电尘埃带正电
B．带电尘埃进入磁场速度
C．若尘埃速度变为了，该装置的除尘效率是66.7%
D．若尘埃速度变为了，该装置的除尘效率是33.3%
【解答】解：AB、贴近N板入射的尘埃恰好打在M板右边缘，可知带电尘埃向上偏转，此尘埃在入射点的洛伦兹力竖直向上，由左手定则可知，带电尘埃带负电，贴近N板入射的尘埃运动轨迹如下图所示：
由图可知，尘埃运动半径r＝d，尘埃洛伦兹力提供向心力，则有，可得，故A错误，B正确；
CD、若尘埃速度变为，则尘埃运动的半径，运动轨迹如下图所示
设打在M板右边缘的尘埃入射点到M板的距离为L，由勾股定理有：（r′﹣L）2+d2＝r′2，代入数据，解得，则在此点上方的带电尘埃打在M板上，此点下方的带电尘埃射出磁场，所以当带电尘埃的速度变为，该装置的除尘效率为，故C错误，D正确。
故选：BD。
磁聚焦与磁发散横型
（多选）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m，电荷量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R）半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一长度为R且平行于y轴的荧光屏，其中心O1位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子的初速度大小为
B．从O点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足60°≤θ≤120°
【解答】解：A．初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有，
解得故A正确；
B．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直高度最大值为2R，并不会垂直打在光屏上，故B错误；
C．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为
根据周期公式
可得
故C错误；
D．若能打在光屏下端，如图
由几何知识可知初速度与x轴夹角为θ1＝60°
同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x轴夹角为θ2＝120°
故D正确。
故选：AD。
如图所示，足够长水平挡板位于x轴，其上下面均为荧光屏，接收到电子后会发光，同一侧荧光屏的同一位置接收两个电子，称为“两次发光区域”。在第三象限有垂直纸面向里、半径为的圆形匀强磁场，磁感应强度大小未知，边界与y轴相切于A点（0，﹣L）。在一、二、四象限足够大区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为圆形匀强磁场的一半。一群分布均匀的电子从与x轴平行的虚线处垂直虚线，以初速度v0射入圆形磁场后均从A点进入右侧磁场，这群电子在虚线处的x坐标范围为（﹣L，）。电子电量为e、质量为m，不计电子重力及电子间的相互作用。
（1）求圆形匀强磁场磁感应强度B的大小；
（2）求荧光屏最右侧发亮位置的x坐标；
（3）求落在荧光屏上“一次发光区域”和“两次发光区域”的电子数之比；
（4）求落在荧光屏上“一次发光区域”和“两次发光区域”的发光长度分别为多少。
【解答】解：（1）根据题意，粒子在圆形磁场区域中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有：
根据题设条件，由磁聚焦条件可知：
联立代入数据得：
（2）设从A点进入第四象限的粒子在该磁场区域中做圆周运动的半径为r′，粒子的运动轨迹如图所示
则由洛伦兹力充当向心力有：
代入数据解得：
根据几何关系可知，落在挡板最右侧坐标为：
（3）根据粒子运动的轨迹，由几何关系可知，“一次发光区域”的粒子分布在虚线区域所对应x轴上的（，）之间。
“两次发光区域”的粒子分布在虚线区域所对应x轴上的（﹣L，）之间，落在荧光屏上“一次发光区域”和“两次发光区域”的电子数之比为
（4）如图几何关系可知
从坐标为（0，）处出发的电子在A点射入速度与x轴方向夹角为60°，刚好到达O点，“一次发光区域”的发光长度为L，“两次发光区域”的发光长度为。
答：（1）圆形匀强磁场磁感应强度B的大小为；
（2）荧光屏最右侧发亮位置的x坐标为；
（3）落在荧光屏上“一次发光区域”和“两次发光区域”的电子数之比为（）；
（4）落在荧光屏上“一次发光区域”和“两次发光区域”的发光长度分别为L、（）。
有一磁场区域，左边圆内与中间ABCD矩形区域分布如图所示的磁场，磁感应强度大小分别为B0和2B0，方向垂直纸面向里，其中圆半径为R，圆心在B点，AD＝2R，MN为与AD共线的绝缘弹性挡板，粒子与挡板发生弹性碰撞（不计碰撞时间），且碰撞前后水平方向速度大小不变。现有宽度为R均匀分布的带电粒子群以相同的初速度向右射入磁场区域，粒子电荷量为q（q＞0），质量为m，不计重力及粒子间相互作用，所有粒子经圆内部磁场偏转后均会聚于A点，并在A点发生弹性碰撞后进入矩形区域。
（1）求带电粒子初速度v0的大小；
（2）某个粒子与挡板碰撞四次（不包括D点碰撞）后恰好到达D点，求该粒子在两个磁场区域运动的总路程s；
（3）求粒子在矩形磁场区域中运动的时间范围。
【解答】解：（1）根据题意粒子经圆内部磁场偏转后会聚于A点，在最下边缘的粒子在圆形磁场中恰好做圆周运动，可知半径为R，根据洛伦兹力提供向心力有
qv0B0＝m
解得
（2）某个粒子与挡板碰撞四次（不包括D点碰撞）后恰好到达D点，作出运动轨迹如图甲
由几何关系可知
4AH＝2R
粒子与挡板发生弹性碰撞，在矩形区域内根据洛伦兹力提供向心力有
qv0×2B0＝m
qv0B0＝m
解得
则由几何关系可知
，
所以该粒子在两个磁场区域运动的总路程
解得s
（3）上边界的粒子沿着边界通过矩形区域，则时间为
下边界的粒子运动，在圆形区域内轨迹如图乙
周期
时间为
t2
所以粒子在矩形磁场区域中运动的时间范围为：t。
答：（1）带电粒子初速度v0的大小为；
（2）该粒子在两个磁场区域运动的总路程s为；
（3）粒子在矩形磁场区域中运动的时间范围为t。
如图所示，在x轴的上方存在一个垂直xoy平面向里、半径为R的有界匀强圆磁场，磁场的直径在y轴上，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一粒子源，可沿与x轴正方向成30°～150°范围内垂直磁场方向均匀发射速度大小相等、质量为m、带电量为e的电子，这些电子都能够打到右侧与y轴平行放置的屏MN上，被屏反弹后以原速率沿原方向返回，其中沿y轴正向射入的电子能够垂直打到屏上，屏的横坐标为。不计电子的重力和电子间的相互作用，求：
（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）电子打到屏MN上的长度；
（3）电子从O点出发到返回磁场右边界的最短时间。
【解答】解：（1）当沿y轴正向射入的电子能够垂直打到屏上，根据圆周运动的特点画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示：
由几何关系可得：r＝R
根据牛顿第二定律可得：
解得：v
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹的圆心分布在以O点为圆心，R为半径的圆上。电子以任意速度方向射入磁场时，其在磁场中的运动轨迹如图所示：
根据几何关系可知，电子离开磁场时的速度方向始终保持不变，为水平向右的方向，当一电子以与x轴成θ方向射入磁场，如图：
其水平射出磁场后打在MN屏上的纵坐标为
y＝R﹣Rcosθ
当θ＝30°时，电子打在MN屏的最低点，代入数据解得：
当θ＝150°时，电子打在MN屏的最高点，代入数据解得：
由此可知，电子打到屏上的长度为：
（3）当电子从O点到返回磁场右边界的哭成最短时，电子从O点出发到返回磁场右边界的时间最短。当一电子以与x轴成θ方向射入磁场到返回到磁场右边界的路程为
s＝θR+2（R﹣Rsinθ）
对上式求导可得：
s'＝R﹣2Rcosθ
令s'＝0，可得当θ时，s最小，代入数据解得：
smin
故电子从O点出发到返回磁场右边界的最短时间为
答：（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）电子打到屏MN上的长度为；
（3）电子从O点出发到返回磁场右边界的最短时间为。
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专题20 带电粒子在磁场中运动（旋转圆、防缩圆、平移圆、磁聚焦与磁发散）模型
旋转圆模型 1
放缩圆横型 3
平移圆横型 4
磁聚焦与磁发散横型 6
旋转圆模型
如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电量为q的正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R），半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中心位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（ ）
A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足45°≤θ≤135°
（多选）如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC＝θ，从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间的说法正确的是（ ）
A．若θ＝60°，则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
B．若θ＝45°，则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
C．若θ＝30°，则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
D．从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与θ的大小无关
（多选）如图所示，足够长的荧屏板MN的上方分布了垂直纸面向里的匀强磁场。荧屏板上P点的正上方有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v0，电荷量为﹣q（q＞0）、质量为m的带负电粒子。粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为d，P点到粒子源S的距离为，不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．打到荧屏板上的粒子到P点的最远距离为
B．粒子能打到荧屏板上的区域长度为
C．从粒子源出发到荧屏板的最短时间为
D．从粒子源出发到荧屏板的最长时间为
（多选）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点。在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动的速度大小为
C．从AD边离开的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积为
放缩圆横型
如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图、若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A．三个粒子都带负电荷
B．c粒子运动速率最小
C．c粒子在磁场中运动时间最短
D．它们做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc
如图所示，两个速度大小相同、比荷不同的带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的（ ）
A．轨迹半径之比为2：1 B．比荷之比为2：1
C．时间之比为3：2 D．周期之比为2：1
如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场边界线方向飞入正方形区域的匀强磁场（磁场的方向垂直于正方形区域），下列判断正确的是（ ）
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长
B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。粒子第一次在磁场中运动的轨迹半径为r1，离开磁场时速度方向偏转90°；第二次在磁场中运动的轨迹半径为r2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为（ ）
A． B． C． D．3
平移圆横型
如图所示，在平面直角坐标系第一象限内某区域充满了垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小B＝2T，一群相同带电粒子从y轴的10cm～20cm范围内，以速度v＝20m/s沿x轴正方向进入第一象限，所有粒子均通过x轴上同一点而离开磁场，已知粒子电量q＝0.1C，质量m＝0.001kg，不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．该区域磁场的最小面积为（2+π）×10﹣2（m2）
B．粒子在磁场中运动最长时间为
C．粒子在磁场中运动最短时间为
D．粒子在磁场中动量变化量的最大值为4×10﹣2kg m/s
如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB边长度为d，，现垂直AB边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小是
C．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场
D．若有粒子能再次回到AB边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为
（多选）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC边长为L，∠A＝30°。带正电的粒子流（其重力忽略不计）以相同速度在CD范围内垂直AC边射入（不计粒子间的相互作用力），从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子流在磁场中扫过的面积为
（多选）如图为一除尘装置的截面图，平板M、N的长度及其间距均为d，两板间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。工作时，大量质量为m、带电量为q的带电尘埃，以平行极板的相同速度进入两板间，在磁场作用下就会被平板吸附。当带电尘埃以速度v0进入磁场时，贴近N板入射的尘埃恰好打在M板右边缘，尘埃全部被平板吸附，即除尘效率为100%，不计尘埃的重力，求（ ）
A．带电尘埃带正电
B．带电尘埃进入磁场速度
C．若尘埃速度变为了，该装置的除尘效率是66.7%
D．若尘埃速度变为了，该装置的除尘效率是33.3%
磁聚焦与磁发散横型
（多选）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m，电荷量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R）半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一长度为R且平行于y轴的荧光屏，其中心O1位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子的初速度大小为
B．从O点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足60°≤θ≤120°
如图所示，足够长水平挡板位于x轴，其上下面均为荧光屏，接收到电子后会发光，同一侧荧光屏的同一位置接收两个电子，称为“两次发光区域”。在第三象限有垂直纸面向里、半径为的圆形匀强磁场，磁感应强度大小未知，边界与y轴相切于A点（0，﹣L）。在一、二、四象限足够大区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为圆形匀强磁场的一半。一群分布均匀的电子从与x轴平行的虚线处垂直虚线，以初速度v0射入圆形磁场后均从A点进入右侧磁场，这群电子在虚线处的x坐标范围为（﹣L，）。电子电量为e、质量为m，不计电子重力及电子间的相互作用。
（1）求圆形匀强磁场磁感应强度B的大小；
（2）求荧光屏最右侧发亮位置的x坐标；
（3）求落在荧光屏上“一次发光区域”和“两次发光区域”的电子数之比；
（4）求落在荧光屏上“一次发光区域”和“两次发光区域”的发光长度分别为多少。
有一磁场区域，左边圆内与中间ABCD矩形区域分布如图所示的磁场，磁感应强度大小分别为B0和2B0，方向垂直纸面向里，其中圆半径为R，圆心在B点，AD＝2R，MN为与AD共线的绝缘弹性挡板，粒子与挡板发生弹性碰撞（不计碰撞时间），且碰撞前后水平方向速度大小不变。现有宽度为R均匀分布的带电粒子群以相同的初速度向右射入磁场区域，粒子电荷量为q（q＞0），质量为m，不计重力及粒子间相互作用，所有粒子经圆内部磁场偏转后均会聚于A点，并在A点发生弹性碰撞后进入矩形区域。
（1）求带电粒子初速度v0的大小；
（2）某个粒子与挡板碰撞四次（不包括D点碰撞）后恰好到达D点，求该粒子在两个磁场区域运动的总路程s；
（3）求粒子在矩形磁场区域中运动的时间范围。
如图所示，在x轴的上方存在一个垂直xoy平面向里、半径为R的有界匀强圆磁场，磁场的直径在y轴上，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一粒子源，可沿与x轴正方向成30°～150°范围内垂直磁场方向均匀发射速度大小相等、质量为m、带电量为e的电子，这些电子都能够打到右侧与y轴平行放置的屏MN上，被屏反弹后以原速率沿原方向返回，其中沿y轴正向射入的电子能够垂直打到屏上，屏的横坐标为。不计电子的重力和电子间的相互作用，求：
（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）电子打到屏MN上的长度；
（3）电子从O点出发到返回磁场右边界的最短时间。
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