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专题22 带电粒子在复合场中运动模型
限制类直线运动模型 1
圆周运动模型 3
一般曲线运动模型 5
限制类直线运动模型
（多选）如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为+q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．小球的加速度一直增大
B．小球的机械能和电势能的总和逐渐不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
如图所示，某空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。一带电小球恰能以速度v0沿图中虚线所示轨迹做直线运动，其虚线恰好为固定放置的光滑绝缘管道的轴线，且轴线与水平方向成60°角，最终小球沿轴线穿过光滑绝缘管道（管道内径大于小球直径）。下列说法正确的是（ ）
A．小球一定带正电
B．电场强度和磁感应强度的大小关系为
C．小球一定从管道的P端运动到Q端
D．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球将在管道中做匀减速直线运动
2020年12月2号22时，经过约19小时月面工作，嫦娥5号完成了月面自动采样封装，这其中要用到许多的压力传感器。有些压力传感器是通过霍尔元件将压力信号转化为电信号。如图，一块宽为a、长为c、厚为h的长方体半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向如图的电流时，电子的定向移动速度为v。若元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，在元件的前、后表面间出现电压U，以此感知压力的变化。则元件的（ ）
A．前表面的电势比后表面的低
B．前、后表面间的电压U与v成反比
C．自由电子受到的洛伦兹力大小为
D．工作稳定后，霍尔元件中的正电荷受到的洛伦兹力和电场力是等大反向的，所以正电荷不会像电子一样发生定向移动
如图甲所示，两块金属板M、N水平正对放置，板间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，竖直向下的电场强度大小为E，磁场方向垂直于纸面平面向里。一束带正电的粒子以一定的初速度v0从两板的左端中央，沿极板方向射入，带电粒子恰好做匀速直线运动。已知板长为L，板间距为d。粒子质量m、电荷量q，不计粒子所受重力，忽略边缘效应。
（1）求磁感应强度B；
（2）若仅撤去磁场，在MN间只保留如图乙所示的电场，粒子能从右端离开电场，求粒子离开电场时的侧移量y和粒子电势能的变化；
（3）若仅撤去电场，在MN间保留如图丙所示磁场，调整磁场强度大小后使粒子能从磁场右边界某一位置射出，且射出时速度与水平方向的夹角为45°，求粒子穿过磁场的时间t，两极板间距离d的最小值。
圆周运动模型
如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知电场的电场强度为E，方向竖直向下；磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．液滴带正电
B．液滴受到重力、电场力、洛伦兹力、向心力作用
C．液滴所受合外力为零
D．液滴比荷
如图所示的区域内，存在方向互相垂直的匀强电场和匀强磁场，其中电场方向竖直向下，磁场方向是水平的（垂直纸面向里）。一个质量为m的带电液滴，在与匀强磁场垂直的竖直面内做匀速圆周运动。下列关于这个带电液滴的电性和转动方向说法正确的是（ ）
A．一定带正电，沿逆时针方向转动
B．一定带负电，沿顺时针方向转动
C．一定带负电，但转动方向不能确定
D．电性和转动方向都不能确定
（多选）如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度B和电场强度E的大小随时间周期性变化，B、E的变化周期分别为4t0、2t0，如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A（图中未标出），坐标为（，0）。若规定垂直纸面向里为B的正方向，y轴正方向为E的正方向，v0、t0、B0为已知量，B与E的大小满足：，粒子的比荷满足：，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．在t＝t0时，粒子的位置坐标为（，0）
B．运动过程中粒子的最大速度为3v0
C．粒子偏离x轴的最大距离为1.5v0t0
D．粒子运动至A点的时间为t＝13t0
水平实线下方有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，匀强电场场强未知，O点是实线上一点，在其正上方有一点P，已知PO＝h，OD＝d，如图所示，整个图形处于竖直平面内，一个质量为m，电荷量为q的带正电小球从P点可以朝纸面内任意方向抛出。小球进入实线下方的复合场区后，可以做匀速圆周运动，求：
（1）求电场强度的大小及方向；
（2）自P点以与水平方向成α角斜向上抛出小球，抛出速度为vP，小球刚好经过D点，然后历经复合场区一次，在斜上抛的下落阶段再回到P点，求α和vP（已知：E＝12N/C，h＝4.8m，d＝2.4m，B＝5T，q＝10C，m＝12kg，g＝10m/s2）
（3）若从P点以速度v0水平抛出小球，要使小球能经过D点，求速度v0的大小及方向。
一般曲线运动模型
如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一个电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度方向垂直纸面向外
B．电子的初速度v0小于
C．由P点至Q点的运动过程中，电子的速度增大
D．调整电子的初速度大小与方向可以使其做匀加速直线运动
如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为+q的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后，速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．两板间电场强度的大小为
B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动
C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为
D．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为
设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，已知一离子在电场力和洛伦兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽略重力，以下说法错误的是（ ）
A．这离子必带正电荷
B．A点和B点位于同一高度
C．离子在C点时速度最大
D．离子到达B点时，将沿原曲线返回A点
如图所示，在绝缘粗糙且足够长的水平面MN上方同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q且带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN运动，经过时间t1到达C点，且在C点离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为L，重力加速度为g，电场强度大小为，若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动时间t回到水平面上的P点（P点未画出），不计空气阻力，已知小滑块在D点时的速度大小为v，则（ ）
A．A小滑块从A运动到C的时间
B．小滑块从A运动到C的整个过程因摩擦产生的热量
C．小滑块刚到达P点的速度大小
D．D点与P点的高度差
在xOy竖直平面内存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，现让一个质量为m，电荷量为q的带正电小球从O点沿y轴正方向射入，已知电场强度大小为，磁感应强度大小为B，小球从O点射入的速度大小为，重力加速度为g，则小球的运动轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
磁控管在现代科技领域有广泛的应用。为使问题简化，我们将静态磁控管简化为一对长度足够的平行平板电极系统中的电子在正交稳恒电磁场中的运动。如图所示，在间距为d的两极板间加不计内阻、电动势为U的电源，两极板间存在方向垂直xOy平面向里、大小为B的匀强磁场，位于阴极表面附近的灯丝持续发射初速度可近似为零的电子，当U不变，改变B的大小时，电子在两极板间的运动轨迹将发生变化，如图2所示，其中轨迹Ⅲ最高点P恰好与阳极相切。电子电荷量为e，质量为m，不计电子的相互作用。
（1）求轨迹Ⅰ对应的磁感应强度大小BⅠ，并比较轨迹Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ所对应的磁感应强度BⅡ、BⅢ和BⅣ的大小关系；
（2）求轨迹Ⅲ对应的磁感应强度BⅢ以及轨迹在P处的曲率半径；
（3）若灯丝单位时间发射n个电子，画出电流I随磁感应强度B变化的图像。
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专题22 带电粒子在复合场中运动模型
限制类直线运动模型 1
圆周运动模型 5
一般曲线运动模型 10
限制类直线运动模型
（多选）如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为+q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．小球的加速度一直增大
B．小球的机械能和电势能的总和逐渐不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
【解答】解：A、当小球刚开始下滑速度较小时，所受电场力向左，重力向下，洛伦兹力向右，滑动摩擦力向上，一开始洛伦兹力小于电场力，故弹力向右，水平方向由平衡条件可得：qE＝FN+qvB
竖直方向上有：mg﹣Ff＝ma
又根据滑动摩擦力公式：Ff＝μFN
所以随着速度逐渐增大，洛伦兹力增大，弹力FN减小，摩擦力减小，加速度增大，当：qE＝qvB
加速度为重力加速度。
同理，随着速度增大，qE＜qvB，弹力FN反向增大，则摩擦力增大，加速度减小，故A错误；
B、由能量守恒可知机械能和电势能总量的减小量等于系统因摩擦产生的热量，所以机械能和电势能总和逐渐减少，故B错误；
CD、当洛伦兹力等于电场力时加速度最大为g，当加速度为。
若洛伦兹力较小时有：f＝qE﹣FN
根据牛顿第二定律有：mg﹣μFN＝ma
而洛伦兹力为：f＝qvB
联立可求得：
若洛伦兹力较大时有：f＝qE+FN
根据牛顿第二定律有：mg﹣μFN＝ma
联立以上可求得：，故CD正确。
故选：CD。
如图所示，某空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。一带电小球恰能以速度v0沿图中虚线所示轨迹做直线运动，其虚线恰好为固定放置的光滑绝缘管道的轴线，且轴线与水平方向成60°角，最终小球沿轴线穿过光滑绝缘管道（管道内径大于小球直径）。下列说法正确的是（ ）
A．小球一定带正电
B．电场强度和磁感应强度的大小关系为
C．小球一定从管道的P端运动到Q端
D．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球将在管道中做匀减速直线运动
【解答】解：AC、小球在叠加场中受重力、电场力和洛伦兹力做匀速直线运动，当带正电时，电场力水平向左，重力竖直向下，从Q端运动到P端时或者从P端运动到Q端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向左下或者右上，三力不能平衡，不能保证小球沿图中虚线运动；当小球带负电时，电场力水平向右，重力竖直向下，从Q端运动到P端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向左上，三力恰好平衡，能保证小球沿图中虚线运动，故AC错误；
B、由A项分析可知，电场力和洛伦兹力关系为
qv0Bsin60°＝qE，
整理得：
故B正确；
D、未撤磁场时，小球三力平衡，其中电场力和重力沿虚线方向的合力为零，当撤去磁场时，在管道中所受重力和电场力均没有变化，故沿虚线方向（管道方向）合力仍为零。而管道的支持力垂直于管道，即小球合力仍为零，做匀速直线运动，故D错误；
故选：B。
2020年12月2号22时，经过约19小时月面工作，嫦娥5号完成了月面自动采样封装，这其中要用到许多的压力传感器。有些压力传感器是通过霍尔元件将压力信号转化为电信号。如图，一块宽为a、长为c、厚为h的长方体半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向如图的电流时，电子的定向移动速度为v。若元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，在元件的前、后表面间出现电压U，以此感知压力的变化。则元件的（ ）
A．前表面的电势比后表面的低
B．前、后表面间的电压U与v成反比
C．自由电子受到的洛伦兹力大小为
D．工作稳定后，霍尔元件中的正电荷受到的洛伦兹力和电场力是等大反向的，所以正电荷不会像电子一样发生定向移动
【解答】解：A、电流方向向左，电子向右定向移动，根据左手定则判断可知，电子所受的洛伦兹力方向向外，则前表面积累了电子，前表面的电势比后表面的电势低，故A正确；
BC、由电子受力平衡可得：
解得：U＝Bva
所以前、后表面间的电压U与v成正比，自由电子受到的洛伦兹力大小为f＝evB，故BC 错误；
D、工作稳定后，霍尔元件中的正电荷受到的洛伦兹力和电场力是等大反向的，正电荷运动方向与电流方向相同，做定向移动，只是与电子运动的方向相反，故D错误。
故选：A。
如图甲所示，两块金属板M、N水平正对放置，板间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，竖直向下的电场强度大小为E，磁场方向垂直于纸面平面向里。一束带正电的粒子以一定的初速度v0从两板的左端中央，沿极板方向射入，带电粒子恰好做匀速直线运动。已知板长为L，板间距为d。粒子质量m、电荷量q，不计粒子所受重力，忽略边缘效应。
（1）求磁感应强度B；
（2）若仅撤去磁场，在MN间只保留如图乙所示的电场，粒子能从右端离开电场，求粒子离开电场时的侧移量y和粒子电势能的变化；
（3）若仅撤去电场，在MN间保留如图丙所示磁场，调整磁场强度大小后使粒子能从磁场右边界某一位置射出，且射出时速度与水平方向的夹角为45°，求粒子穿过磁场的时间t，两极板间距离d的最小值。
【解答】解：（1）对于带电粒子，由平衡条件可得：Eq＝qv0B
解得：；
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动的规律可得：，
根据牛顿第二定律可得：
联立解得：
电势能的变化为：；
即电势能减少；
（3）带电粒子在磁场中运动情况如图所示：
根据图中几何关系可得轨迹半径：
根据洛伦兹力提供向心力可得：
所以：
粒子在磁场中运动时间为：
其中：
所以：
板间距最小值为带电粒子从极板的右上角边缘飞出，由几何关系可得：
解得：。
答：（1）磁感应强度为；
（2）若仅撤去磁场，在MN间只保留如图乙所示的电场，粒子能从右端离开电场，则粒子离开电场时的侧移量为，粒子电势能减少；
（3）若仅撤去电场，粒子穿过磁场的时间为，两极板间距离d的最小值为。
圆周运动模型
如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知电场的电场强度为E，方向竖直向下；磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．液滴带正电
B．液滴受到重力、电场力、洛伦兹力、向心力作用
C．液滴所受合外力为零
D．液滴比荷
【解答】解：A、液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场组成的复合场中做匀速圆周运动，由合力提供向心力，则液滴受到的重力和电场力是一对平衡力，则知液滴受到的电场力方向竖直向上，与电场方向相反，因此液滴带负电，故A错误；
BC、液滴受到重力、电场力、洛伦兹力三个力作用，由洛伦兹力充当向心力，液滴所受合外力不为零，故BC错误；
D、液滴做匀速圆周运动，即mg＝qE，联立解得液滴比荷，故D正确。
故选：D。
如图所示的区域内，存在方向互相垂直的匀强电场和匀强磁场，其中电场方向竖直向下，磁场方向是水平的（垂直纸面向里）。一个质量为m的带电液滴，在与匀强磁场垂直的竖直面内做匀速圆周运动。下列关于这个带电液滴的电性和转动方向说法正确的是（ ）
A．一定带正电，沿逆时针方向转动
B．一定带负电，沿顺时针方向转动
C．一定带负电，但转动方向不能确定
D．电性和转动方向都不能确定
【解答】解：根据题意，带电液滴在与匀强磁场垂直的竖直面内做匀速圆周运动，所以电场力与重力抵消。则电场力向上，而匀强电场方向竖直向下，所以粒子一定带负电。
根据左手定则可知，液滴沿顺时针方向转动。
故选：B。
（多选）如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度B和电场强度E的大小随时间周期性变化，B、E的变化周期分别为4t0、2t0，如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A（图中未标出），坐标为（，0）。若规定垂直纸面向里为B的正方向，y轴正方向为E的正方向，v0、t0、B0为已知量，B与E的大小满足：，粒子的比荷满足：，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．在t＝t0时，粒子的位置坐标为（，0）
B．运动过程中粒子的最大速度为3v0
C．粒子偏离x轴的最大距离为1.5v0t0
D．粒子运动至A点的时间为t＝13t0
【解答】解：A、由题意判断可知，在t＝t0时间内，粒子在第一象限内做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得：qv0B＝mmr1，解得：r1，T2t0，则粒子在t0时间内转过的圆心角为α＝π，所以此时粒子的位置坐标为（2r1，0），即（，0），故A正确；
B、在t0～2t0时间内，粒子将向y轴负方向做匀加速直线运动，设粒子经电场加速后的速度为v，根据运动学公式有：v＝v0t0，结合，，解得：v＝2v0
在2t0～3t0时间内粒子又做匀速圆周运动，运动轨迹为半个圆周，接着3t0～4t0时间内，粒子将向y轴正方向做匀减速直线运动，根据对称性可知，粒子在4t0时到达x轴，且速度大小为v0，至此粒子完成一个周期内的运动，周而复始，可画出粒子的运动轨迹如图所示
所以，在整个过程中粒子的最大速度为2v0，故B错误；
C、由选项B分析可知，粒子偏离x轴的最大距离为：ymax＝y1+r2，其中y1 t0，r2，可得ymax＝1.5v0t0，故C正确；
D、由选项AB分析可知，粒子在xOy平面内做周期性运动的周期为4t0，故粒子在一个周期内向右运动的距离为d＝2r1+2r2，解得：d
由于AO的距离为33d+2r1，因此粒子运动至A点的时间为t＝3×4t0+t0＝13t0，故D正确。
故选：ACD。
水平实线下方有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，匀强电场场强未知，O点是实线上一点，在其正上方有一点P，已知PO＝h，OD＝d，如图所示，整个图形处于竖直平面内，一个质量为m，电荷量为q的带正电小球从P点可以朝纸面内任意方向抛出。小球进入实线下方的复合场区后，可以做匀速圆周运动，求：
（1）求电场强度的大小及方向；
（2）自P点以与水平方向成α角斜向上抛出小球，抛出速度为vP，小球刚好经过D点，然后历经复合场区一次，在斜上抛的下落阶段再回到P点，求α和vP（已知：E＝12N/C，h＝4.8m，d＝2.4m，B＝5T，q＝10C，m＝12kg，g＝10m/s2）
（3）若从P点以速度v0水平抛出小球，要使小球能经过D点，求速度v0的大小及方向。
【解答】解：（1）小球进入复合场区域做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，洛伦兹力提供向心力，则qE＝mg，解得，电场强度的大小E，电场力竖直向上，小球带正电，电场强度方向竖直向上
（2）小球以与水平方向成α角斜向上抛出小球，抛出速度为vP，小球刚好经过D点，然后历经复合场区一次，在斜上抛的下落阶段再回到P点，小球的运动轨迹如图所示
小球经过D点过程，水平方向：d＝vPcosα×t
竖直方向：h＝﹣vPsinα×t
小球在复合场中做匀速圆周运动，由几何关系可知：Rsinβ＝d
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvDB＝m
且vDy＝vDsinβ＝﹣vPsinα+gt
代入数据解得，小球从P到D的运动时间t＝1.2s，vP＝2m/s，α＝45°
（3）若从P点以速度v0水平抛出小球，要使小球能经过D点，小球运动轨迹如图所示
当小球从D1、D2、D3、…………位置经过时，则：h，x0＝v0t
当小球从D1′、D2′、D3′…………位置经过时，则：h，x0＝v0t
则：d＝x0﹣2Rsinβ，d＝3x0﹣4Rsinβ，d＝5x0﹣6Rsinβ …………
以此类推，可知小球从D点飞出需要满足：d＝（2n﹣1）x0﹣n×2Rsinβ （n＝1、2、3……）
解得：v0 （n＝1、2、3……） 方向水平向右
答：（1）电场强度的大小是，方向竖直向上；
（2）α是45°，vP是2m/s；
（3）速度v0的大小是 （n＝1、2、3……） 方向水平向右。
一般曲线运动模型
如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一个电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度方向垂直纸面向外
B．电子的初速度v0小于
C．由P点至Q点的运动过程中，电子的速度增大
D．调整电子的初速度大小与方向可以使其做匀加速直线运动
【解答】解：A．电子从O点开始轨迹向下弯曲，电子受到的电场力向上，则伦兹力向下，根据左手定则，则磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误；
B．电子从O运动到P，合外力指向轨迹凹侧，有qv0B＞qE
则
故B错误；
C．由P点至Q点的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，根据动能定理可知电子的速度逐渐增大，故C正确；
D．电子受力平衡，可以做匀速直线运动，初速度方向与磁场平行，电子做类平抛运动，所以电子不可能做匀加速直线运动，故D错误。
故选：C。
如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为+q的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后，速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．两板间电场强度的大小为
B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动
C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为
D．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为
【解答】解：A、由题意，速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则有：qvB＝Eq
可得两板间电场强度的大小为：E＝vB，故A错误；
B、由题意，速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，根据左手定则判断知，粒子受到的洛伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心，可知乙粒子在水平方向上的合力一直水平向右，所以粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故B错误；
C、由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有：
整理得到：，故C正确；
D、由题意，乙粒子的运动轨迹在A处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达最大为：vA
洛伦兹力与电场力的合力提供向心力：qvAB﹣qE
所以对应圆周的半径为：，故D错误。
故选：C。
设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，已知一离子在电场力和洛伦兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽略重力，以下说法错误的是（ ）
A．这离子必带正电荷
B．A点和B点位于同一高度
C．离子在C点时速度最大
D．离子到达B点时，将沿原曲线返回A点
【解答】解：A.离子从静止开始运动的方向向下，电场强度方向也向下，所以离子必带正电荷，故A正确；
B.因为洛伦兹力不做功，只有电场力做功，A、B两点速度都为0，根据动能定理可知，离子从A到B运动过程中，电场力不做功，故A、B位于同一高度，故B正确；
C.C点是最低点，从A到C运动过程中电场力做正功最大，根据动能定理可知离子在C点时速度最大，故C正确；
D.到达B点时速度为零，将重复刚才ACB的运动，不会沿原曲线返回A点，故D错误。
本题选错误的，
故选：D。
如图所示，在绝缘粗糙且足够长的水平面MN上方同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q且带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN运动，经过时间t1到达C点，且在C点离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为L，重力加速度为g，电场强度大小为，若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动时间t回到水平面上的P点（P点未画出），不计空气阻力，已知小滑块在D点时的速度大小为v，则（ ）
A．A小滑块从A运动到C的时间
B．小滑块从A运动到C的整个过程因摩擦产生的热量
C．小滑块刚到达P点的速度大小
D．D点与P点的高度差
【解答】解：A、根据题意可知，小滑块在C点时洛伦兹力恰好等于重力，设小滑块在C点的速度为vC，则有
BqvC＝mg，解得：
若滑块做初速度为零的匀加速直线运动，则有
，解得：
但滑块做的并非初速度为零的匀加速直线运动，若粗糙水平面的动摩擦因数为μ，则根据牛顿第二定律有
Eq﹣μ（mg﹣Bqv）＝ma
随着速度的增大，洛伦兹力增大，摩擦力减小，加速度增大，可知从A到C物块做的是加速度增大的加速运动，故A错误；
B、设从A到C点滑块克服摩擦力做功为W，根据动能定理有：
解得：
小滑块从A运动到C的整个过程因摩擦产生的热量等于克服摩擦力所做的功，即
，故B错误；
C、D为小滑块在电场力、洛伦兹力以及重力作用下运动过程中速度最大的位置，说明此时滑块受到的洛伦兹力方向与电场力和重力的合力方向正好相反，因qE＝mg，故速度v的方向与水平方向夹角为45°斜向右上方。撤去磁场后滑块在水平方向和竖直方向均做匀变速直线运动。
沿水平方向有：
沿竖直方向有：
可得滑块到P点的速度大小为：，故C正确；
D、滑块到达D点后，竖直方向做竖直上抛运动，以向下为正方向，则有：
，故D错误。
故选：C。
在xOy竖直平面内存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，现让一个质量为m，电荷量为q的带正电小球从O点沿y轴正方向射入，已知电场强度大小为，磁感应强度大小为B，小球从O点射入的速度大小为，重力加速度为g，则小球的运动轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：小球射入时将初速度v0进行分解，其中分速度v1可使得小球受到的电场力、洛伦兹力与重力三力平衡，即：qE＝mg+qv1B，解得：v1
根据左手定则可知v1沿x轴正方向，由题意知初速度v0沿y轴正方向，小球从O点射入的速度大小为v0，根据平行四边形法则可得分速度v2与y轴的夹角为45°，如下图所示
分速度v2的大小为v2v0
小球以分速度v2做匀速圆周运动，以分速度v1沿x轴正方向做匀速直线运动，两者的合运动轨迹即为小球的运动轨迹，小球在y轴方向上的位移只与匀速圆周运动有关，圆周运动轨迹如下图
圆周运动的轨迹与x轴正方向匀速直线运动合成后的轨迹即为小球实际运动轨迹，如下图所示
故C正确，ABD错误。
故选：C。
磁控管在现代科技领域有广泛的应用。为使问题简化，我们将静态磁控管简化为一对长度足够的平行平板电极系统中的电子在正交稳恒电磁场中的运动。如图所示，在间距为d的两极板间加不计内阻、电动势为U的电源，两极板间存在方向垂直xOy平面向里、大小为B的匀强磁场，位于阴极表面附近的灯丝持续发射初速度可近似为零的电子，当U不变，改变B的大小时，电子在两极板间的运动轨迹将发生变化，如图2所示，其中轨迹Ⅲ最高点P恰好与阳极相切。电子电荷量为e，质量为m，不计电子的相互作用。
（1）求轨迹Ⅰ对应的磁感应强度大小BⅠ，并比较轨迹Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ所对应的磁感应强度BⅡ、BⅢ和BⅣ的大小关系；
（2）求轨迹Ⅲ对应的磁感应强度BⅢ以及轨迹在P处的曲率半径；
（3）若灯丝单位时间发射n个电子，画出电流I随磁感应强度B变化的图像。
【解答】解：（1）轨迹Ⅰ的电子做直线运动，则BⅠ＝0
电子在电场中加速的同时，受到的洛伦兹力使其偏转，洛伦兹力越大、偏转情况越明显，所以BⅡ＜BⅢ＜BⅣ
（2）动能定理，有：eU
解得：vP
在任意位置，将电子运动速度分解为vx和vy，则电子在水平方向受到的洛伦兹力为：Fx＝eBⅢvy
从开始到P点，取向右为正方向，水平方向根据动量定理，有：FxΔt＝mvP
即eBⅢd＝mvP
联立解得：BⅢ
在P点根据牛顿第二定律可得：evPBⅢ﹣e m
解得轨迹在P处的曲率半径：r＝2d
（3）饱和电流：Im＝ne
截止和饱和临界磁感应强度为：B＝BⅢ
电流I随磁感应强度B变化的图像如图所示：
答：（1）轨迹Ⅰ对应的磁感应强度大小为0，轨迹Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ所对应的磁感应强度BⅡ、BⅢ和BⅣ的大小关系为BⅡ＜BⅢ＜BⅣ；
（2）轨迹Ⅲ对应的磁感应强度，轨迹在P处的曲率半径为2d；
（3）若灯丝单位时间发射n个电子，电流I随磁感应强度B变化的图像见解析。
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