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专题24 电磁感应中双导体棒与线框运动模型
等间距不受外力双棒模型 1
等间距受外力双棒模型 5
不等间距不受外力双棒模型 10
不等间距受力双棒模型 14
线框模型的图像问题 17
线框模型的动力学和功能关系问题 23
等间距不受外力双棒模型
（多选）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度v0向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．M刚进入磁场时受到的安培力F的大小为
B．N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量
C．初始时刻N到ab的最小距离
D．从M进入磁场到N离开磁场，金属杆N产生的焦耳热
【解答】解：A．M刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得电路中的电流为：
则M刚进入磁场时受到的安培力F的大小为：，故A错误；
B．N在磁场内运动过程，取向右为正方向，根据动量定理有：
解得N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量为：，故B正确；
C．N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量为：
则初始时刻N到ab的最小距离为：，故C错误；
D．从M进入磁场到N离开磁场，取向右为正方向，对M根据动量定理可得：
解得：
根据能量守恒有：
金属杆N产生的焦耳热为：QQ总
联立解得：，故D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示，相距L的光滑金属导轨固定于水平地面上，由竖直放置的半径为R的圆弧部分和水平平直部分组成。MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。金属棒ab和cd（长度均为L）垂直导轨放置且接触良好，cd静止在磁场中；ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触；cd离开磁场时的速度是此时ab速度的一半。已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为2m、电阻为2r。金属导轨电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．cd在磁场中运动时闭合回路感应电流产生磁场与原磁场方向相反
B．cd在磁场中运动的速度不断变大，速度的变化率不断变小
C．cd在磁场中运动的过程中流过ab横截面的电荷量
D．从ab由静止释放至cd刚离开磁场时，cd上产生的焦耳热为
【解答】解：A、cd在磁场中运动时，abcd回路中磁通量减小，根据楞次定律可知，闭合回路感应电流产生磁场与原磁场方向相同，故A错误；
B、当ab进入磁场后回路中产生感应电流，则ab受到向左的安培力而做减速运动，cd受到向右的安培力而做加速运动，由于两者的速度差逐渐减小，可知感应电流逐渐减小，安培力逐渐减小，可知cd向右做加速度减小的加速运动，cd速度的变化率不断变小，故B正确；
C、ab从释放到刚进入磁场过程，由动能定理得
cd在磁场中运动的过程中，对ab和cd组成的系统，合外力为零，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得
mv0＝m 2vcd+2mvcd
解得
对cd，由动量定理得BL Δt＝2mvcd
其中q Δt，解得，故C正确；
D、从ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，至cd刚离开磁场时由能量关系得：
cd上产生的焦耳热，解得，故D错误。
故选：BC。
（多选）如图所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为B的匀强磁场。在t＝t1时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，在t＝t2时刻流经a棒的电流为0，b棒仍处于磁场区域内。已知金属棒a、b相同材料制成，长度均为L，电阻分别为2R和R，a、b棒的质量分别为2m和m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则（ ）
A．t1时刻a棒加速度大小为
B．t2时刻a棒的速度为
C．t1～t2时间内，通过a、b棒横截面的电荷量相等
D．t1～t2时间内，a棒产生的焦耳热为
【解答】解：A、根据右手定则，金属棒a、b进入磁场时产生的感应电流均为顺时针方向，则回路的电动势为a、b各自产生的电动势之和，即：E＝2BLv0
感应电流：
对a由牛顿第二定律得：BIL＝2ma
联立以上各式解得：，故A错误；
B、根据左手定则可知a棒受到的安培力向左，b棒受到的安培力向右，由于流过a、b的电流大小一直相等，故两棒受到的安培力大小相等，方向相反，则a与b组成的系统合外力为零，系统动量守恒。由题知，t2时刻流过a的电流为零时，说明a、b之间的磁通量不变，即a、b在t2时刻达到了共同速度，设为v，取向右为正方向，根据系统动量守恒有：2mv0﹣mv0＝（2m+m）v
整理解得：，故B正确；
C、在t1～t2时间内，根据q＝IΔt，因通过两棒的电流时刻相等，所用时间相同，所以通过两棒横截面的电荷量相等，故C正确；
D、在t1～t2时间内，对a、b组成的系统，根据能量守恒有：Q
解得回路中产生的总热量为：Q
因a、b流过的电流一直相等，所用时间相同，由焦耳定律Q＝I2Rt可得：Qa：Qb＝2：1
所以t1～t2时间内，a棒产生的焦耳热为：Qa，故D正确。
故选：BCD。
等间距受外力双棒模型
（多选）如图甲所示，间距为l、电阻不计的光滑金属导轨固定在倾角为θ的斜面上，在区域Ⅰ内有垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的磁场，其磁感应强度的大小随时间的变化如图乙所示，其中tx未知，t＝0时刻在导轨上端的金属棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时处于区域Ⅰ的另一金属棒cd也由静止释放，在t＝tx时，ab棒刚好到达区域Ⅱ。在ab棒运动至区域Ⅱ的下边界EF前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好。已知cd棒的质量为m，区域Ⅱ沿斜面的长度为l，从ab开始释放到运动至EF的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．cd棒中电流的大小始终等于
B．ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离为l
C．ab棒从开始释放到运动至EF所用时间为
D．ab棒开始下滑至EF的过程中，回路中产生的总的热量为3mglsinθ
【解答】解：A、根据题图可知，0﹣tx时间内，区域Ⅱ内磁场均匀变化，回路中产生感应电流，由楞次定律和安培定则可知，流过cd棒的电流方向由d→c，因cd棒始终静止，由平衡条件可知cd棒所受安培力沿导轨向上，根据左手定则可知，区域Ⅰ内磁场垂直于斜面向上，且由平衡条件有
BIl＝mgsinθ
解得：，故A正确；
B、cd棒始终静止不动，说明ab棒到达区域Ⅱ前后回路中的感应电动势不变，则ab棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动。
设ab棒刚进入区域Ⅱ时的速度为vx，则有
即：
解得：l＝vxtx
ab棒在进入区域Ⅱ之前不受磁场力作用，做匀加速直线运动，则ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离为
sl，故B错误；
C、ab棒从开始释放到运动至EF所用时间为：
根据ab棒在区域Ⅱ之前做匀加速直线运动，可得：
联立解得：，故C正确；
D、ab棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动，ab棒与cd棒所受安培力大小相等，可得ab棒与cd棒的质量相等均为m。因为两阶段感应电动势不变，电路中的感应电流不变，则根据焦耳定律可知，ab棒进入磁场前和进入磁场后产生的热量相等，即产生的热量就是等于ab进入磁场后克服安培力做的功的2倍。根据动能定理可知，ab进入磁场后克服安培力做的功符合
mgl sinθ﹣W克＝ΔEk＝0
得W克＝mgl sinθ
故ab棒开始下滑至EF的过程中，回路中产生的总的热量为：Q＝2W克＝2mgl sinθ，故D错误。
故选：AC。
如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，其间距L＝2m。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2T。两根金属棒NQ和ab与导轨始终保持垂直且接触良好，NQ棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知ab棒的质量为2kg，NQ棒和ab棒接入电路的电阻均为2Ω，导轨电阻不计。将ab棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力FT，作出力FT随时间t的变化图像如图乙所示（力FT大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取10m/s2。求：
（1）t1＝1s时，金属棒ab的速度大小；
（2）t2＝3s时，外力F的大小；
（3）已知金属棒ab在0～3s的时间内产生的热量为4.5J，求这段时间外力F所做的功。
【解答】解：（1）设棒NQ的质量为M，当t＝0时，由平衡条件得：Mgsinθ＝FT＝2N
代入数据解得：M＝0.4kg
t1＝1s，棒NQ受到沿斜面向上的拉力F′T＝4N
对棒NQ分析，由平衡条件得：Mgsinθ+Fan＝F′T＝4N
代入数据解得：Fan＝2N
导体棒所受安培力为：Fan＝BIL
代入数据解得：I＝0.5
感应电动势为E＝I（2R）＝0.5×2×2Ω＝2V
导体棒切割磁感线产生的感应电动势有：E＝BLv1
代入数据解得：v1＝0.5m/s
（2）当t2＝3s时，棒NQ受到沿斜面向上的拉力F″T＝8N
对棒NQ受力分析，由平衡条件得：Mgsinθ+F′an＝F″T＝8N
代入数据解得：F′an＝6N
导体棒所受安培力为：Fan＝BIL
代入数据解得：I′＝1.5A
感应电动势为E′＝I′（2R）＝1.5×2×2Ω＝6V
导体棒切割磁感线产生的感应电动势有：E′＝BLv2
代入数据解得：v2＝1.5m/s
由以上可知，棒ab的速度可表示为
由于FT随时间均匀增大，所以ab在做匀加速直线运动，其加速度为
对棒ab受力分析，由牛顿第二定律得：mgsinθ﹣F′an﹣F＝ma
代入数据解得：F＝3N
（3）在0～3s的时间内金属棒的位移为
对金属棒ab，由动能定理得：
这段时间ab克服安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，因为电路里有两根电阻相等的棒，所以电路中产生的焦耳热为9J，所以外力F所做的功为：
答：（1）t1＝1s时，金属棒ab的速度大小为0.5m/s；
（2）t2＝3s时，外力F的大小为3N；
（3）这段时间外力F所做的功为﹣11.25J。
如图，两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，两平行倾斜绝缘轨道固定在斜面上，水平导轨与倾斜轨道在倾斜轨道的底部bc处平滑连接，轨道间距为L＝1m，倾斜轨道的倾角为θ＝37°。在水平导轨的右侧abcd区域内存在方向向上、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场。现有多根长度也为L＝1m的相同金属棒依次从倾斜轨道上高为的MN处由静止释放，前一根金属棒刚好离开磁场时释放后一根金属棒，发现第1根金属棒穿越磁场区域的时间为t＝1s。已知每根金属棒的质量为m＝2kg，电阻为R＝2Ω，ad∥bc∥MN且与轨道垂直，不计水平导轨的电阻，金属棒与水平导轨接触良好，金属棒与倾斜轨道的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）磁场区域的长度sab；
（2）第2根金属棒刚进入磁场时的加速度大小；
（3）第4根金属棒刚出磁场时，第2、3两根金属棒的速度大小之比；
（4）第n根金属棒在磁场中运动的过程，第1根金属棒上产生的热量。
【解答】解：（1）第一根金属棒在倾斜轨道上运动，根据动能定理有：
mgh﹣μmgcos37°
代入数据解得：v＝5m/s
第一根金属棒在磁场中做匀速直线运动，磁场区域的长度：sab＝vt
代入数据解得：sab＝5m；
（2）由题意可知每根金属棒进入磁场时的速度均为v＝5m/s，当第2根金属棒刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律有：E＝BLv
此时回路中电流：
第2根金属棒受到的安培力：F＝BIL
此时第2根金属棒的加速度：
联立解得：a＝2.5m/s2；
（3）金属棒出磁场后做匀速直线运动，第n根金属棒在磁场中运动时，以向左方向为正方向，根据动量定理有：
根据电流的定义有：
根据电荷量的经验公式：
联立代入数据解得：
可得第4根金属棒刚出磁场时，第2、3两根金属棒的速度大小分别为：
，
第4根金属棒刚出磁场时，第2、3两根金属棒的速度大小之比为：
v2：v3＝3：2
（4）第n根金属棒在磁场中运动的过程，根据能量守恒定律可得电路中产生总的热量为：
代入数据后得到：QJ
设第1根金属棒上产生的热量为Q′，当第一根金属棒中电流为I时，第n根金属棒中电流为（n﹣1）I，根据焦耳定律可知第n根金属棒上产生的热量为（n﹣1）2Q′
那么n根金属棒总的焦耳热：Q＝（n﹣1）Q′+（n﹣1）2Q′
解得第1根金属棒上产生的热量：Q′J
答：（1）磁场区域的长度sab为5m；
（2）第2根金属棒刚进入磁场时的加速度大小为2.5m/s2；
（3）第4根金属棒刚出磁场时，第2、3两根金属棒的速度大小之比为3：2；
（4）第n根金属棒在磁场中运动的过程，第1根金属棒上产生的热量为J。
不等间距不受外力双棒模型
（多选）如图所示，两宽度不等的光滑平行金属导轨水平固定放置，窄轨间距为L、宽轨间距为2L，导轨间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B，已知两导轨均足够长、电阻不计。导体棒ab、cd分别垂直放置在两导轨上，导体棒ab、cd的质量分别为m、2m，电阻均为R，某时刻两导体棒均获得大小为v0、平行于导轨水平向右的初速度，运动过程中两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，ab棒始终未滑离窄轨，在两导体棒运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab的最大速度为
B．导体棒ab产生的焦耳热最多为
C．通过导体棒ab的电荷量最多为
D．导体棒ab受到的最大安培力为
【解答】解：A、两导体棒均以大小为v0的初速度向右运动，回路中产生逆时针方向的感应电流，cd棒受到向左的安培力而减速，ab棒受到向右的安培力而加速，当两棒产生的感应电动势大小相等时，回路中没有感应电流，两棒不再受安培力，均做匀速运动，ab棒的速度达到最大，设此时ab棒的速度为v1，cd棒的速度为v2。取向右为正方向，根据动量定理得：
对ab棒，有：BL t＝mv1﹣mv0 ①
对cd棒，有：﹣B 2L t＝2mv2﹣2mv0 ②
稳定时，有：BLv1＝B 2Lv2 ③
联立①②③解得：v1，v2
则导体棒ab的最大速度为，故A错误；
B、回路产生总的焦耳热最多为：Q
解得：Q，
导体棒ab产生的焦耳热最多为：QabQ，故B正确；
C、通过导体棒ab的电荷量最多为q t，根据①可得BL t＝mv1﹣mv0
解得：q，故C错误；
D、开始时，回路感应电流最大，且为Imax，导体棒ab受到的最大安培力为FA＝BImaxL，故D正确。
故选：BD。
（多选）如图，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，左右两侧导轨的间距分别为l、2l，导轨间存在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，回路总电阻保持不变。a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持接触良好，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a棒的加速度大小始终等于b棒的加速度大小
B．a棒的加速度始终大于b棒的加速度
C．稳定时a棒的速度大小为
D．稳定时a棒的速度大小为2v0
【解答】解：AB、由于两个导体棒中的电流始终大小相等，根据牛顿第二定律，对导体棒a有：BIl＝maa
对导体棒b有：BI 2l＝2mab
由此可知：aa＝ab，故A正确，B错误；
CD、以向右为正方向，从开始到稳定速度，根据动量定理，对导体棒a有：Bl Δt＝mva﹣mv0
对导体棒b有：﹣B2l Δt＝2mvb﹣2m×2v0
当最终稳定时满足：B 2lvb＝Blva
联立解得：va＝2v0，vb＝v0，故C错误，D正确。
故选：AD。
（多选）如图所示，光滑的平行金属导轨固定在绝缘的水平面上，导轨处在垂直向下的匀强磁场中，左侧导轨间的距离为2L，右侧导轨间的距离为L，导体棒a、b垂直放置于导轨之间，且与导轨接触良好，导体棒a、b的电阻相等，ma＝4mb。第一次将导体棒b固定在右侧导轨上，使导体棒a以初速度v0开始向右运动，直至回路中的感应电流变为0；第二次导体棒b未被固定且静止在右侧导轨上，使导体棒a仍以初速度v0开始向右运动，直至回路中的感应电流也变为0。已知前后两次回路中的感应电流变为0时，导体棒a仍处在左侧导轨上，不计导轨的电阻。下列说法中正确的是（ ）
A．第二次导体棒a和导体棒b组成的系统动量守恒
B．第一次回路中产生的焦耳热是第二次的2倍
C．第一次通过回路的电荷量是第二次的2倍
D．第一次导体棒a动量的变化量是第二次的5倍
【解答】解：A．第二次对导体棒a有：Fa＝BI 2L，方向水平向左
对导体棒b有：Fb＝BIL，水平向右
则ab整体所受合外力不为0，动量不守恒，故A错误；
B、第二次，a的加速度为：
b的加速度为：
结合题设条件解得：2a1＝a2
当2va＝vb，时，电流为0，有2（v0﹣a1t）＝a2t
解得：vb＝v0
第一次产生的焦耳热为：
第二次产生的焦耳热为：，故B正确；
D、第一次导体棒a动量的变化量：Δpa＝|0﹣mav0|＝mav0
第二次导体棒a动量的变化量：，故D错误；
C、设向右为正，对a由动量定理可得第一次：﹣B2L Δt＝0﹣mav0
则电荷量：
第二次：﹣B2L Δt＝mava﹣mav0
联立得到：，故C正确。
故选：BC。
（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道间距为d。轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上。现给金属棒a一水平向右的初速度V0，经过一段时间两金属棒达到稳定状态。已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒b稳定时的速度大小为
B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为
C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为
D．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为
【解答】解：A、稳定时回路磁通量不变，需要b的速度v″是a的速度v′的2倍，v″＝2v′。
取向右为正方向，对a、b棒分别列动量定理方程：
﹣B 2dΔt＝2mv′﹣2mv0，BdΔt＝mv″﹣0，解得v′v0，v″v0，即b稳定时的速度为v0，故A错误；
B、对a，由动量定理：﹣B 2dΔt＝2mv′﹣2mv0，即：﹣Bq 2d＝2mv′﹣2mv0，解得整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为q，故B正确
C、由qΔtΔt，ΔΦ＝BΔS，解得整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为ΔS，故C错误
D、根据能量守恒定律：22mv′2mv″2+Qa+Qb，Qa＝2Qb，解得整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为Qa，故D正确
故选：BD。
不等间距受力双棒模型
（多选）如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量分别为2m和m，其电阻大小分别为2R和R，a和b分别静止在MN和PQ上，垂直于导轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现对金属棒a施加水平向右的恒力F，两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动，b总在PQ上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒a与b均做匀速直线运动且距离逐渐减小
B．金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1：2
C．流过金属棒a的电流大小为
D．回路中的感应电动势保持不变大小为
【解答】解：AB、对a、b两棒整体分析，由于受恒定拉力作用，则经过足够长时间后最终达到稳定状态，此时回路中的感应电动势保持恒定，则回路中的电流恒定。设a、b两棒的加速度分别为aa、ab，则有E总＝B 2l（va+aaΔt）﹣Bl（vb+abΔt）
由于总电动势恒定，则对上式两边求变化率，有0＝2Blaa﹣Blab，则可得ab＝2aa，因此经过足够长时间后，金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1：2，故A错误，B正确；
C、根据受力分析，由牛顿第二定律得
对a棒有：F﹣F安a＝2maa
对B棒有：F安b＝mab
又F安b＝BIl，联立解得：。由于金属棒a，b串联，则流过a的电流大小也为，故C错误。
D、回路中的感应电动势保持不变大小为，故D正确。
故选：BD。
如图所示，足够长的““形光滑平行导轨MP、NQ固定在水平面上，宽轨间距为2l，窄轨间距为l，OO′左侧为金属导轨，右侧为绝缘轨道，一质量为m、阻值为r、三边长度均为l的“U”形金属框，左端紧靠OO′平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）。OO′左侧存在磁感应强度大小为B0，方向竖直向上的匀强磁场；右侧以O为原点，沿OP方向建立x轴，沿Ox方向存在分布规律为B＝B0+kx（k＞0）的竖直向上的磁场。两匀质金属棒a、b垂直于轨道放置在宽轨段，质量均为m、长度均为2l、阻值均为2r。初始时，将b锁定，a在水平向右、大小为F的恒力作用下，从静止开始运动，离开宽轨前已匀速，a滑上窄轨瞬间，撤去力F，同时释放b。当a运动至OO′时，棒a中已无电流（b始终在宽轨），此时撤去b，金属导轨电阻不计，a棒、b棒、金属框与导轨始终接触良好。求：
（1）a棒在宽轨上匀速运动时的速度及刚滑上窄轨时a两端电势差的大小；
（2）从撤去外力F到金属棒a运动至OO′的过程中，a棒产生的焦耳热；
（3）若a棒与金属框碰撞后连接在一起构成回路，求a棒静止时与OO′点的距离。
【解答】解：（1）当a匀速运动时，加速度为零，此时速度最大，a受力平衡，根据平衡条件可得：F＝F安＝B0I 2l
其中：I
解得：v0
a刚滑上窄轨时，此时回路中的等效电路如图所示：
根据电路连接情况可知，通过b的电流为：Ib
b两端电压为：Ub＝Ib 2r
a两端电势差的大小为：Ua
解得：Ua；
（2）撤去外力F到金属棒a运动至OO'的过程中，取向右为正方向，根据动量定理可得：
对a棒：﹣B0lt＝mv1﹣mv0
对b棒：B0 2lt＝mv2﹣0
回路无电流，则有：B0lv1＝B0 2lv2
解得：v1，v2
根据能量守恒定律可得回路中产生的热：Q
解得：Q
a棒产生的焦耳热为：QaQ；
（3）a棒与金属框相碰，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得：mv1＝（m+m）v3
解得：v3
碰撞结束后，a棒和金属框构成回路，金属框右边处的磁场总是比左边的磁场强，回路中的电流：
i
其中：B右﹣B左＝ΔB＝kl
所以i
取向右为正方向，根据动量定理可得：∑（m+m）Δv
即：2mv3
解得a棒静止时与OO′点的距离：x。
答：（1）a棒在宽轨上匀速运动时的速度为，刚滑上窄轨时a两端电势差的大小为；
（2）从撤去外力F到金属棒a运动至的过程中，a棒产生的焦耳热为；
（3）若a棒与金属框碰撞后连接在一起构成回路，则a棒静止时与OO′点的距离为。
线框模型的图像问题
如图所示，两个有界匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L。距磁场区域的左侧L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直。现用水平外力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点。规定：电流沿逆时针方向时电动势E为正，磁感线垂直纸面向里时磁通量 为正，水平外力F向右为正。则下列关于线框中的感应电动势E、所受外力F、消耗的电功率P和通过线框的磁通量 随时间变化的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、当线圈进入第一个磁场时，产生的感应电动势为E＝BLv，E保持不变，而线圈开始进入第二个磁场时，两端同时切割磁感线，电动势应为2BLv，故A错误；
B、因安培力总是与运动方向相反，故拉力应一直向右，外力一直是正的。
当线圈进入第一个磁场时，外力等于安培力，为F＝BIL＝BL
两边分别在两个磁场中时，感应电动势为E＝2BLv，外力等于安培力，为F＝2BIL＝2BL
当线圈离开第二个磁场时，外力等于安培力，为F＝BIL＝BL，故B正确；
C、拉力的功率P＝Fv，因速度不变，而在线框在第一个磁场时，电流为定值，拉力为定值，外力F的功率也为定值；
两边分别在两个磁场中时，感应电动势为 E＝2BLv，外力等于安培力，为F＝2BIL＝2BL，外力的功率为 P＝Fv，变为4倍；
此后从第二个磁场中离开时，安培力应等于线框在第一个磁场中的安培力，外力的功率也等于在第一个磁场中的功率，故C错误；
D、当线框运动L时开始进入磁场，磁通量开始增加，当全部进入时达最大；此后向外的磁通量增加，总磁通减小；当运动到2.5L时，磁通量最小为零，故D错误。
故选：B。
如图所示，水平面内存在两个磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于水平面的有界匀强磁场，磁场宽度均为a、在水平面内有一边长也为a的等边三角形金属框MNH，在外力作用下沿水平向右方向匀速通过这两个磁场区域。已知运动过程中金属框的MN边始终与磁场边界线垂直，若规定逆时针方向为电流的正方向，则从图示位置开始，线框中的感应电流i随线框移动距离x变化的图像中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：在0≤x时，根据楞次定律可知流过线圈的感应电流为逆时针方向，即正方向，再根据法拉第电磁感应定律有：E＝Bxv
则
x时，
在x≤a时，根据楞次定律可知流过线圈的感应电流为逆时针方向，即正方向，再根据法拉第电磁感应定律有：
E＝B（a﹣x）v
则
x时，；
x＝a时Imin＝0
在a≤x时，根据楞次定律可知流过线圈的感应电流为顺时针方向，即负方向，再根据法拉第电磁感应定律有：
E＝2B（x﹣a）v
则
时，x＝a时，Imin＝0
在x≤2a时，根据楞次定律可知流过线圈的感应电流为顺时针方向，即负方向，再根据法拉第电磁感应定律有：
E＝2B（2a﹣x）v，则
x时，x＝2a时，Imin＝0
在2a≤x时，根据楞次定律可知流过线圈的感应电流为逆时针方向，即正方向，再根据法拉第电磁感应定律有：
E＝B（x﹣2a）v，则，时
x＝2a时Imin＝0
在x≤3a时，根据楞次定律可知流过线圈的感应电流为逆时针方向，即正方向，再根据法拉第电磁感应定律有：
E＝B（3a﹣x）v，则
时，x＝3a时Imin＝0
综上分析故ABD错误、C正确。
故选：C。
（多选）在水平光滑绝缘桌面上有一边长为L的正方形金属线框abcd，被限制在沿cd方向的水平长直轨道自由滑动。da边右侧有一直角三角形匀强磁场区域efg，直角边ef等于L，边ge稍小于L，ef边与cd边在同一直线上，磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示。线框在水平拉力F作用下向右匀速穿过磁场区域，若图示位置为t＝0时刻，设逆时针方向为电流的正方向，水平向右的拉力为正，磁场穿过线框向里时磁通量为正。则感应电流i、外力F、bc间的电势差Ubc、穿过线框的磁通量Φ随位移x变化的图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、ad边的位置坐标x在0﹣L的过程，根据楞次定律判断可知线框中感应电流方向沿a→b→c→d→a，为正值。
线框bc边有效切线长度为L＝L﹣vt，感应电动势为E＝B（L﹣vt） v，电动势均匀减小，感应电流I，即知感应电流均匀减小。
同理，x在L﹣2L过程，根据楞次定律判断出来感应电流方向沿a→d→c→b→a，为负值，感应电流均匀减小。故A正确。
B、在水平拉力F作用下向右匀速穿过磁场区，因此拉力F等于安培力，而安培力的表达式 F安＝BIl，而l＝L﹣vt，I，则有：F，x＝vt，可知F与x非线性关系。故B错误；
C、正方形金属线框abcd进入磁场时，ad边为电源，若电源最大电动势E＝4U0，则UbCU0，线框进入磁场过程中电动势均匀减小，
金属线框abcd穿出磁场时感应电动势最大，然后均匀减小，此时bc为电源，
设电源最大电动势E＝4U0，则UbC3U0，故C正确；
D、进入磁场过程中穿过线框的磁通量Φ＝B，可见Φ与x不是线性关系，故D错误。
故选：AC。
（多选）如图，匀强磁场水平边界ef、gh平行且间距为H，边长为L（L＜H）的正方形闭合线框abcd可从磁场上方不同高度由静止释放，线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场边界平行，线框平面与磁场方向垂直。不计空气阻力，t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻，则线框从静止开始下落至ab边到达磁场下边界过程中，线框的加速度a、速度v与时间t关系图像，动能Ek、重力势能Ep与下落高度h的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：AB、设线框静止释放位置到磁场上边界距离为h0，线框进入磁场前做自由落体运动，加速度为重力加速度，设刚要进入磁场时的速度为v0，则有：
线框刚进入磁场时，有E＝BLv0，，F安＝BIL。联立可得：
①若满足，则线框进入磁场过程做匀速直线运动；线框完全进入磁场后，只受重力作用，继续做加速度为g的匀加速直线运动；
②若满足，则线框进入磁场过程做加速运动，随着速度的增加，安培力增大，线框的加速度逐渐减小；线框完全进入磁场后，只受重力作用，继续做加速度为g的匀加速直线运动；
③若满足，则线框进入磁场过程做减速运动，随着速度的减少，安培力减小，线框的加速度逐渐减小；线框完全进入磁场后，只受重力作用，继续做加速度为g的匀加速直线运动。
通过以上分析，结合图象及斜率可以确定，故A错误，B正确；
D、根据ΔEp＝﹣WG＝﹣mgh，可知线框的重力势能随下落高度线性变化，故D正确；
C、根据动能定理可知，Ek﹣h图像的切线斜率表示合力，线圈进入磁场前，合力为重力；线圈进入磁场过程，可能做加速度逐渐减小的加速运动，则合力逐渐减小；线圈完全进入磁场后，合力为重力，故C错误。
故选：BD。
线框模型的动力学和功能关系问题
（多选）如图甲所示，在MN、OP间存在一匀强磁场，t＝0时，一粗细均匀的正方形金属线框abcd在水平向右的外力F作用下紧贴MN从静止开始做匀加速运动，外力F随时间t变化的图线如图乙所示，已知磁场磁感应强度B＝1T，线框质量m＝0.5kg，线框与水平面间的滑动摩擦系数为μ＝0.2，重力加速度取g＝10m/s2，以下说法正确的有（ ）
A．F＝4N时，电势差Udc＝0.5V
B．线框加速度a＝2m/s2
C．线框穿过磁场的时间
D．MN、PQ间距离d＝5m
【解答】解：B、线框完全进入磁场时，力F的大小为2N，根据牛顿你第二定律：F﹣μmg＝ma，解得线框的加速度：，故B正确；
A、F＝4N时，时间为1s，此时线框完全进入磁场，线框中的电流为零，当ab边和dc边都在磁场中切割磁感线，此时线框的速度为v1＝at1＝2m/s
线框的边长为：Lm＝1m。dc边产生的电动势为：E＝BLv＝1×1×2V＝2V，根据右手定则可知，c点电势大于d点电势，则电势差：Udc＝﹣E＝﹣2V，故A错误；
D、从进入磁场到开始离开磁场运动的时间为2s，磁场的宽度：dm＝4m，故D错误；
C、根据匀变速直线运动的位移—时间公式，所以解得线框穿过磁场的时间：，故C正确。
故选：BC。
（多选）磁悬浮列车是快速交通方式之一。2016年时速600km/h的磁悬浮列车在青岛下线。磁悬浮列车的部分可以简化为线圈通过磁场。如图甲所示，在竖直方向上有四条间距相等的水平虚线L1、L2、L3、L4，在L1与L2之间、L3与L4之间存在匀强磁场，磁感应强度大小均为1T，方向垂直于虚线所在平面向里。现有一矩形线圈abcd，宽度cd＝L＝0.5m，质量为0.1kg，电阻为2Ω，将其从图示位置静止释放（cd边与L1重合），速度随时间的变化关系如图乙所示，t1时刻cd边与L2重合，t2时刻ab边与L3重合，t3时刻ab边与L4重合，t2～t3之间图线为与t轴平行的直线，t1～t2之间和t3之后的图线均为倾斜直线，已知的时间间隔为0.6s，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向（重力加速度g取10m/s2）。则（ ）
A．在0～t1时间内，通过线圈的电荷量为0.5C
B．线圈匀速运动的速度大小为8m/s
C．线圈的长度为2m
D．0～t3时间内，线圈产生的热量为4.2J
【解答】解：B、t2～t3这段时间内v﹣t图线为与t轴平行的直线，表明线框做匀速直线运动，则线框所受安培力与重力平衡，有BIL＝mg
又E＝BLv2，，可得线圈匀速运动的速度大小：v2m/s＝8m/s，故B正确；
C、设磁场宽度为d，由题意分析可知线圈的长度为2d，则在t1～t2时间内，有v2＝v1+g Δt
3d Δt
解得v1＝2m/s，d＝1m
则线圈的长度为2m，故C正确；
A、在0～t1时间内，通过线圈的电荷量为q Δt，又ΔΦ＝BLd，则，故A错误；
D、0～t3时间内，根据能量守恒定律有，解得线圈产生的热量：Q＝1.8J，故D错误。
故选：BC。
（多选）如图甲所示，为保证游乐园中过山车的进站安全，过山车安装了磁力刹车装置，磁性很强的钕磁铁安装在轨道上，正方形金属线框安装在过山车底部．过山车返回站台前的运动情况可简化为图乙所示的模型．初速度为v0的线框abcd沿斜面加速下滑s后，bc边进入匀强磁场区域，此时线框开始减速，bc边出磁场区域时，线框恰好做匀速直线运动．已知线框边长为l、匝数为n、总电阻为r，斜面与水平面的夹角为θ．过山车的总质量为m，所受摩擦阻力大小恒为f，磁场区域上下边界间的距离为l，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g．则下列说法正确的是（ ）
A．线框刚进入磁场时，从线框上方俯视，感应电流的方向为顺时针方向
B．线框刚进入磁场时，感应电流的大小为
C．线框穿过磁场的过程中，通过其横截面的电荷量为零
D．线框穿过磁场过程中产生的焦耳热为（mgsinθ﹣f）（s+2l）m
【解答】解：A、线框刚进入磁场上时，穿过线框的磁通量向上增加，根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针方向（从斜面上方俯视线框），故A正确；
B、设线框刚进入磁场时的速度大小为v1，线框自由下滑过程中，根据动能定理可得：（mgsinθ﹣f）s；
线框刚进入磁场时，产生的感应电动势为E＝nBlv0，根据闭合电路的欧姆定律可得：I
联立解得：I，故B正确；
C、线框穿过磁场的过程中，通过其横截面的电荷量为q Δtn，因为线框穿过磁场的过程中，ΔΦ＝0，则通过线框横截面的电荷量为q＝0，故C正确；
D、线框离开磁场时的速度大小为v2，根据平衡条件可得：nBI′l＝mgsinθ﹣f
又I′
根据功能关系可得线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为：Q＝（mgsinθ﹣f）（s+2l）
联立解得：Q＝（mgsinθ﹣f）（2s+2l）m，故D错误。
故选：ABC。
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专题24 电磁感应中双导体棒与线框运动模型
等间距不受外力双棒模型 1
等间距受外力双棒模型 3
不等间距不受外力双棒模型 4
不等间距受力双棒模型 6
线框模型的图像问题 7
线框模型的动力学和功能关系问题 10
等间距不受外力双棒模型
（多选）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度v0向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．M刚进入磁场时受到的安培力F的大小为
B．N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量
C．初始时刻N到ab的最小距离
D．从M进入磁场到N离开磁场，金属杆N产生的焦耳热
（多选）如图所示，相距L的光滑金属导轨固定于水平地面上，由竖直放置的半径为R的圆弧部分和水平平直部分组成。MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。金属棒ab和cd（长度均为L）垂直导轨放置且接触良好，cd静止在磁场中；ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触；cd离开磁场时的速度是此时ab速度的一半。已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为2m、电阻为2r。金属导轨电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．cd在磁场中运动时闭合回路感应电流产生磁场与原磁场方向相反
B．cd在磁场中运动的速度不断变大，速度的变化率不断变小
C．cd在磁场中运动的过程中流过ab横截面的电荷量
D．从ab由静止释放至cd刚离开磁场时，cd上产生的焦耳热为
（多选）如图所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为B的匀强磁场。在t＝t1时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，在t＝t2时刻流经a棒的电流为0，b棒仍处于磁场区域内。已知金属棒a、b相同材料制成，长度均为L，电阻分别为2R和R，a、b棒的质量分别为2m和m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则（ ）
A．t1时刻a棒加速度大小为
B．t2时刻a棒的速度为
C．t1～t2时间内，通过a、b棒横截面的电荷量相等
D．t1～t2时间内，a棒产生的焦耳热为
等间距受外力双棒模型
（多选）如图甲所示，间距为l、电阻不计的光滑金属导轨固定在倾角为θ的斜面上，在区域Ⅰ内有垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的磁场，其磁感应强度的大小随时间的变化如图乙所示，其中tx未知，t＝0时刻在导轨上端的金属棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时处于区域Ⅰ的另一金属棒cd也由静止释放，在t＝tx时，ab棒刚好到达区域Ⅱ。在ab棒运动至区域Ⅱ的下边界EF前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好。已知cd棒的质量为m，区域Ⅱ沿斜面的长度为l，从ab开始释放到运动至EF的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．cd棒中电流的大小始终等于
B．ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离为l
C．ab棒从开始释放到运动至EF所用时间为
D．ab棒开始下滑至EF的过程中，回路中产生的总的热量为3mglsinθ
如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，其间距L＝2m。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2T。两根金属棒NQ和ab与导轨始终保持垂直且接触良好，NQ棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知ab棒的质量为2kg，NQ棒和ab棒接入电路的电阻均为2Ω，导轨电阻不计。将ab棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力FT，作出力FT随时间t的变化图像如图乙所示（力FT大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取10m/s2。求：
（1）t1＝1s时，金属棒ab的速度大小；
（2）t2＝3s时，外力F的大小；
（3）已知金属棒ab在0～3s的时间内产生的热量为4.5J，求这段时间外力F所做的功。
如图，两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，两平行倾斜绝缘轨道固定在斜面上，水平导轨与倾斜轨道在倾斜轨道的底部bc处平滑连接，轨道间距为L＝1m，倾斜轨道的倾角为θ＝37°。在水平导轨的右侧abcd区域内存在方向向上、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场。现有多根长度也为L＝1m的相同金属棒依次从倾斜轨道上高为的MN处由静止释放，前一根金属棒刚好离开磁场时释放后一根金属棒，发现第1根金属棒穿越磁场区域的时间为t＝1s。已知每根金属棒的质量为m＝2kg，电阻为R＝2Ω，ad∥bc∥MN且与轨道垂直，不计水平导轨的电阻，金属棒与水平导轨接触良好，金属棒与倾斜轨道的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）磁场区域的长度sab；
（2）第2根金属棒刚进入磁场时的加速度大小；
（3）第4根金属棒刚出磁场时，第2、3两根金属棒的速度大小之比；
（4）第n根金属棒在磁场中运动的过程，第1根金属棒上产生的热量。
不等间距不受外力双棒模型
（多选）如图所示，两宽度不等的光滑平行金属导轨水平固定放置，窄轨间距为L、宽轨间距为2L，导轨间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B，已知两导轨均足够长、电阻不计。导体棒ab、cd分别垂直放置在两导轨上，导体棒ab、cd的质量分别为m、2m，电阻均为R，某时刻两导体棒均获得大小为v0、平行于导轨水平向右的初速度，运动过程中两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，ab棒始终未滑离窄轨，在两导体棒运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab的最大速度为
B．导体棒ab产生的焦耳热最多为
C．通过导体棒ab的电荷量最多为
D．导体棒ab受到的最大安培力为
（多选）如图，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，左右两侧导轨的间距分别为l、2l，导轨间存在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，回路总电阻保持不变。a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持接触良好，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a棒的加速度大小始终等于b棒的加速度大小
B．a棒的加速度始终大于b棒的加速度
C．稳定时a棒的速度大小为
D．稳定时a棒的速度大小为2v0
（多选）如图所示，光滑的平行金属导轨固定在绝缘的水平面上，导轨处在垂直向下的匀强磁场中，左侧导轨间的距离为2L，右侧导轨间的距离为L，导体棒a、b垂直放置于导轨之间，且与导轨接触良好，导体棒a、b的电阻相等，ma＝4mb。第一次将导体棒b固定在右侧导轨上，使导体棒a以初速度v0开始向右运动，直至回路中的感应电流变为0；第二次导体棒b未被固定且静止在右侧导轨上，使导体棒a仍以初速度v0开始向右运动，直至回路中的感应电流也变为0。已知前后两次回路中的感应电流变为0时，导体棒a仍处在左侧导轨上，不计导轨的电阻。下列说法中正确的是（ ）
A．第二次导体棒a和导体棒b组成的系统动量守恒
B．第一次回路中产生的焦耳热是第二次的2倍
C．第一次通过回路的电荷量是第二次的2倍
D．第一次导体棒a动量的变化量是第二次的5倍
（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道间距为d。轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上。现给金属棒a一水平向右的初速度V0，经过一段时间两金属棒达到稳定状态。已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒b稳定时的速度大小为
B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为
C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为
D．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为
不等间距受力双棒模型
（多选）如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，MN部分的宽度为2l，PQ部分的宽度为l，金属棒a和b的质量分别为2m和m，其电阻大小分别为2R和R，a和b分别静止在MN和PQ上，垂直于导轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现对金属棒a施加水平向右的恒力F，两棒运动时始终保持平行且a总在MN上运动，b总在PQ上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒a与b均做匀速直线运动且距离逐渐减小
B．金属棒a与b均做匀变速运动且加速度之比为1：2
C．流过金属棒a的电流大小为
D．回路中的感应电动势保持不变大小为
如图所示，足够长的““形光滑平行导轨MP、NQ固定在水平面上，宽轨间距为2l，窄轨间距为l，OO′左侧为金属导轨，右侧为绝缘轨道，一质量为m、阻值为r、三边长度均为l的“U”形金属框，左端紧靠OO′平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）。OO′左侧存在磁感应强度大小为B0，方向竖直向上的匀强磁场；右侧以O为原点，沿OP方向建立x轴，沿Ox方向存在分布规律为B＝B0+kx（k＞0）的竖直向上的磁场。两匀质金属棒a、b垂直于轨道放置在宽轨段，质量均为m、长度均为2l、阻值均为2r。初始时，将b锁定，a在水平向右、大小为F的恒力作用下，从静止开始运动，离开宽轨前已匀速，a滑上窄轨瞬间，撤去力F，同时释放b。当a运动至OO′时，棒a中已无电流（b始终在宽轨），此时撤去b，金属导轨电阻不计，a棒、b棒、金属框与导轨始终接触良好。求：
（1）a棒在宽轨上匀速运动时的速度及刚滑上窄轨时a两端电势差的大小；
（2）从撤去外力F到金属棒a运动至OO′的过程中，a棒产生的焦耳热；
（3）若a棒与金属框碰撞后连接在一起构成回路，求a棒静止时与OO′点的距离。
线框模型的图像问题
如图所示，两个有界匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L。距磁场区域的左侧L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直。现用水平外力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点。规定：电流沿逆时针方向时电动势E为正，磁感线垂直纸面向里时磁通量 为正，水平外力F向右为正。则下列关于线框中的感应电动势E、所受外力F、消耗的电功率P和通过线框的磁通量 随时间变化的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，水平面内存在两个磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于水平面的有界匀强磁场，磁场宽度均为a、在水平面内有一边长也为a的等边三角形金属框MNH，在外力作用下沿水平向右方向匀速通过这两个磁场区域。已知运动过程中金属框的MN边始终与磁场边界线垂直，若规定逆时针方向为电流的正方向，则从图示位置开始，线框中的感应电流i随线框移动距离x变化的图像中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）在水平光滑绝缘桌面上有一边长为L的正方形金属线框abcd，被限制在沿cd方向的水平长直轨道自由滑动。da边右侧有一直角三角形匀强磁场区域efg，直角边ef等于L，边ge稍小于L，ef边与cd边在同一直线上，磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示。线框在水平拉力F作用下向右匀速穿过磁场区域，若图示位置为t＝0时刻，设逆时针方向为电流的正方向，水平向右的拉力为正，磁场穿过线框向里时磁通量为正。则感应电流i、外力F、bc间的电势差Ubc、穿过线框的磁通量Φ随位移x变化的图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）如图，匀强磁场水平边界ef、gh平行且间距为H，边长为L（L＜H）的正方形闭合线框abcd可从磁场上方不同高度由静止释放，线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场边界平行，线框平面与磁场方向垂直。不计空气阻力，t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻，则线框从静止开始下落至ab边到达磁场下边界过程中，线框的加速度a、速度v与时间t关系图像，动能Ek、重力势能Ep与下落高度h的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
线框模型的动力学和功能关系问题
（多选）如图甲所示，在MN、OP间存在一匀强磁场，t＝0时，一粗细均匀的正方形金属线框abcd在水平向右的外力F作用下紧贴MN从静止开始做匀加速运动，外力F随时间t变化的图线如图乙所示，已知磁场磁感应强度B＝1T，线框质量m＝0.5kg，线框与水平面间的滑动摩擦系数为μ＝0.2，重力加速度取g＝10m/s2，以下说法正确的有（ ）
A．F＝4N时，电势差Udc＝0.5V
B．线框加速度a＝2m/s2
C．线框穿过磁场的时间
D．MN、PQ间距离d＝5m
（多选）磁悬浮列车是快速交通方式之一。2016年时速600km/h的磁悬浮列车在青岛下线。磁悬浮列车的部分可以简化为线圈通过磁场。如图甲所示，在竖直方向上有四条间距相等的水平虚线L1、L2、L3、L4，在L1与L2之间、L3与L4之间存在匀强磁场，磁感应强度大小均为1T，方向垂直于虚线所在平面向里。现有一矩形线圈abcd，宽度cd＝L＝0.5m，质量为0.1kg，电阻为2Ω，将其从图示位置静止释放（cd边与L1重合），速度随时间的变化关系如图乙所示，t1时刻cd边与L2重合，t2时刻ab边与L3重合，t3时刻ab边与L4重合，t2～t3之间图线为与t轴平行的直线，t1～t2之间和t3之后的图线均为倾斜直线，已知的时间间隔为0.6s，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向（重力加速度g取10m/s2）。则（ ）
A．在0～t1时间内，通过线圈的电荷量为0.5C
B．线圈匀速运动的速度大小为8m/s
C．线圈的长度为2m
D．0～t3时间内，线圈产生的热量为4.2J
（多选）如图甲所示，为保证游乐园中过山车的进站安全，过山车安装了磁力刹车装置，磁性很强的钕磁铁安装在轨道上，正方形金属线框安装在过山车底部．过山车返回站台前的运动情况可简化为图乙所示的模型．初速度为v0的线框abcd沿斜面加速下滑s后，bc边进入匀强磁场区域，此时线框开始减速，bc边出磁场区域时，线框恰好做匀速直线运动．已知线框边长为l、匝数为n、总电阻为r，斜面与水平面的夹角为θ．过山车的总质量为m，所受摩擦阻力大小恒为f，磁场区域上下边界间的距离为l，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g．则下列说法正确的是（ ）
A．线框刚进入磁场时，从线框上方俯视，感应电流的方向为顺时针方向
B．线框刚进入磁场时，感应电流的大小为
C．线框穿过磁场的过程中，通过其横截面的电荷量为零
D．线框穿过磁场过程中产生的焦耳热为（mgsinθ﹣f）（s+2l）m
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