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专题2 自由落体与竖直上抛运动模型
竖直上抛运动的基本规律 1
竖直上抛运动的对称性 4
竖直上抛运动的相遇问题 7
有关竖直上抛运动的图像 10
竖直上抛运动的基本规律
从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h．设上升和下降过程中空气阻力大小恒定为f．下列说法正确的是（ ）
A．小球上升的过程中动能减少了mgh
B．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了Fh
C．小球上升的过程中重力势能增加了mgh
D．小球上升和下降的整个过程中动能减少了Fh
【解答】解：A、小球上升的过程中，重力和阻力都做负功，其中克服重力做功等于mgh，故总功大于mgh；根据动能定理，总功等于动能的变化量；故动能的减小量大于mgh，故A错误；
B、除重力外其余力做的功等于机械能的变化量，除重力外，克服阻力做功2fh，故机械能减小2fh，故B错误；
C、小球上升h，故重力势能增加mgh，故C正确；
D、小球上升和下降的整个过程中，重力做功等于零，阻力做功等于﹣2fh，故根据动能定理，动能减小2fh，故D错误；
故选：C。
（多选）在2020东京奥运会女子跳水10m跳台比赛中，我国年仅14岁的小将全红婵，多次上演“水花消失术”，最终夺得冠军，假设全红婵在完成某次动作过程中，跳起的最大高度是0.8m，在离水面1m的时候她已经完成所有动作，开始调整姿态准备压水花，入水后减速的加速度大小是20m/s2，在粗略估算中，可以把运动员当作质点处理，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．起跳的竖直速度是4m/s
B．落水的速度约为18m/s
C．运动员在空中运动的时间约为1.4s
D．若要保证运动员安全，水池的深度至少要5.4m
【解答】解：A、运动员做竖直上抛运动，到达最高点时速度为0，由﹣2gh1＝0得，v0m/s＝4m/s，故A正确；
B、下落过程为自由落体运动，由2gh2＝v2得，vm/s＝14.7m/s，故B错误；
C、运动员在空中的时间为t1.97s，故C错误；
D、若要保证运动员安全，水池的深度至少为h3m＝5.4m，故D正确；
故选：AD。
颠球训练时，学生以6m/s的速度将排球竖直向上击出，忽略空气阻力，g取10m/s2，则（ ）
A．排球上升的最大高度为3.6m
B．排球在上升过程中处于失重状态
C．排球在最高点速度为0，处于平衡状态
D．排球上升和下降过程的加速度方向相反
【解答】解：A、根据运动学公式可知，，故A错误；
B、排球在上升过程中加速度竖直向下，大小为g，因此排球在上升过程中处于失重状态，故B正确；
C、排球在最高点速度为零，只受重力，则排球不处于平衡状态，故C错误；
D、在上升和下降的过程中，排球的加速度都等于重力加速度，方向竖直向下，故D错误；
故选：B。
如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H．上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t不计空气阻力，则满足（ ）
A．12 B．23
C．34 D．45
【解答】解：逆向分析可以看作是自由落体运动，根据初速度为零的匀加速直线运动中，连续相等的位移内时间之比等于1：：：：……：可得：
2，故34，故C正确、ABD错误。
故选：C。
有一喷泉，喷水管口的横截面积为S．流量（单位时间内流出的水的体积）为Q．已知水的密度为ρ，重力加速度为g。假设喷出的水做竖直上抛运动，不计水流之间的相互作用和空气阻力的影响，则空中水的质量为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设水喷出的初速度为v则有：Q＝Sv0
得：v0
喷出的水做竖直上抛运动，水在空中运动的总时间为：
t
空中水的质量为：
m＝ρQt
故选：B。
从地面以大小为v1的初速度竖直向上抛出一个皮球，经过时间t皮球落回地面，落地时皮球的速度的大小为v已知皮球在运动过程中受到空气阻力的大小与速度的大小成正比，重力加速度大小为g。下面给出时间t的四个表达式中只有一个是合理的。你可能不会求解t，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，你认为t的合理表达式应为（ ）
A．t B．t
C．t D．t
【解答】解：A、B、D：下降过程物体做加速运动，若忽略次要因素（空气阻力）时间约为，而上升阶段做匀减速运动，同理忽略次要因素，时间约为，故总时间约为，故A正确，B错误，D错误；
C：时间的单位为s，而C答案单位为m，故C错误
故选：A。
竖直上抛运动的对称性
为了测量运动员跃起的高度，可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录运动员运动过程中对弹性网的压力，并由计算机作出压力一时间（F﹣t）图象，如图所示．运动员在空中运动时可视为质点，不计空气阻力，则可求得运动员在0～6.9s时间内跃起的最大高度为（g＝10m/s2）（ ）
A．1.5m B．1.8m C．5.0m D．7.2m
【解答】解：由图可知运动员在空中的最长时间为：t＝4.3s﹣2.3s＝2s
运动员做竖直上抛运动，所以跃起最大高度为：，
将t＝2s代入得：h5m，故ABD错误，C正确。
故选：C。
在空中某足够高处，以25m/s的初速度竖直上抛一物体，不计空气阻力，g取10m/s第3s内物体通过的位移为（ ）
A．0 m B．30 m C．60 m D．120 m
【解答】解：设初速度方向为正方形，根据位移—时间关系可得3s内的位移为：h1＝v0t125×330m，
前2s内的位移为h2＝v0t225×230m，
故第3s内的位移为h＝h2﹣h1＝0m，故A正确、BCD错误；
故选：A。
将质量为1kg的物体从地面竖直向上抛出，一段时间后物体又落回抛出点。在此过程中物体所受空气阻力大小不变，其动能Ek随距离地面高度h的变化关系如图所示。取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物体能上升的最大高度为3m
B．物体受到的空气阻力大小为2N
C．上升过程中物体加速度大小为10m/s2
D．下落过程中物体克服阻力做功为24J
【解答】解：A、由图可知，物体上升过程中经过3m处的动能不为零。竖直上抛运动，物体到达最高点的速度为零，所以还有一个向上运动的减速过程。即最高点距离地面大于3m。故A错误。
B、由图可知，物体上升运动，经过3m时动能为36J．动能减少量为72J﹣36J＝36J．但是上升3m的过程中，重力势能增加mgh＝30J．由能量守恒可知阻力在这个过程中做功6J．由W＝F S可知，F，代入W＝6J，S＝3m可得阻力F＝2N．故B正确。
C、由a可知，当物体上升的过程中只受重力时，a＝10m/s物体上升过程中所受合力为重力加阻力大于重力。所以加速度大于10m/s故C错误。
D、物体上升下落整个过程损失的机械能为24J．所以下落过程克服阻力做功为12J．故D错误。
故选：B。
地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光的波长为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点竖直向上抛出小球，小球又落至原处O点的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：小球从O点上升到最大高度过程中：
h1g （）2 ①
小球从P点上升的最大高度：
h2g（ ）2 ②
依据题意：h1﹣h2＝H ③
联立①②③解得：g
故选：D。
如图所示，一个小球从地面竖直上抛。已知小球两次经过一个较低点A的时间间隔为TA，两次经过较高点B的时间间隔为TB，重力加速度为g，则A、B两点间的距离（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为是上抛运动可以利用对称来解，可以得到物体从顶点到a的时间为，顶点到B点的时间为，从最高点到A点的高度为：h1g，从最高点到B点的高度为h2g，故高度差为：g，
故选：D。
竖直上抛运动的相遇问题
如图所示，小球甲从距离地面高度为h1＝15m处以速度v0＝10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为h2＝20m处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球乙落地前，两小球的速度差逐渐变大
B．落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为5：6
C．至小球乙落地时，甲、乙两球的位移大小之比为3：4
D．小球甲、乙运动的第1s内位移相同
【解答】解：A.取竖直向上为正方向，甲球跟乙球的速度差为Δv＝v0﹣gt﹣（﹣gt）＝v0，故A错误；
B.由hgt2
得乙球落地用时间为
t2＝2s
对甲球：由v0t115
解得
t1＝3s
甲球经过的路程为25m，乙球经过的路程为20m，那么落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为5：6，故B正确；
C.乙球落地时，甲球的位移为0，即恰好回到抛出点，则至小球乙落地时，甲、乙两球的位移大小之比为0，故C错误；
D.对甲球，第1s内位移x'm＝5m，对乙球，第1s内位移x'm＝5m，两位移方向不同，故D错误。
故选：B。
如图所示，A，B两棒的长度相同，A的下端和B的上端相距s＝40m。若A，B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运动且初速度v0＝20m/s（g取10m/s2），则A，B相遇时A的速度大小为（ ）
A．40m/s B．10m/s C．30m/s D．20m/s
【解答】解：根据位移—时间公式，可得A棒自由落体运动位移为：x1gt2
B棒做竖直上抛运动位移为：x2＝v0tgt2
二者的位移关系：x1+x2＝s
联立并代入数据解得A，B两棒相遇的时间为：t＝2s
根据速度﹣时间公式，可得A，B相遇时A的速度大小为：
vA＝gt＝10×2m/s＝20m/s，故D正确，ABC错误。
故选：D。
甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为（ ）
A． B．）
C．） D．
【解答】解：根据图象可知，两小球同时在同一水平线上时，乙上升的时间为：t乙
甲从达到最高点到在同一条水平线上经过的时间为：t甲t乙
设抛出的速度大小为v0，则：v0＝g
根据位移计算公式可得：h
联立解得：h，故D正确、ABC错误。
故选：D。
从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔时间Δt后再以初速度v0从同一地点竖直上抛物体B，不计空气阻力。以下说法正确的是（ ）
A．物体A、B可能在物体A上升过程中相遇
B．物体A、B只能在物体A下降过程中相遇
C．要使物体A、B相遇需要满足条件Δt
D．要使物体A、B相遇需要满足条件Δt
【解答】解：A、A物体上升时，A的初速度大于B的初速度，且A先抛出，所以A的位移大于B的位移，不可能在A上升的过程中相遇。故A错误。
B、物体A、B相遇有两种可能：①A、B均在下降，A追上B；②A在下降，B在上升，即只能在物体A下降过程中相遇。故B正确。
CD、A在空中的总时间为 t1＝2；
B在空中的总时间为 t2
要使A、B能在空中相遇，t1﹣t2＜Δt＜t1
即得：Δt．故CD错误。
故选：B。
在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速度v0从同一地点竖直上抛另一物体B。若要使两物体能在B上升过程中相遇，则两物体抛出的时间间隔Δt必须满足的条件是（不计空气阻力，重力加速度大小为g）（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设B经过时间t，AB在空中相遇，有：
上升过程中相遇：
解得：。
故C正确，ABD错误。
故选：C。
有关竖直上抛运动的图像
排球是人们最喜爱的运动之一。如图所示，运动员在原地向上做抛接球训练，排球在空中受到空气的阻力大小可视为不变，下列能反映排球上升和下落运动过程的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：AB．受力分析，上升阶段，排球在空中受到空气的阻力与重力方向相同，合力较大，下落阶段，排球在空中受到空气的阻力与重力方向相反，合力较小，根据牛顿第二定律可知，上升阶段的加速度比下落阶段的要大，方向相同，故A错误，B正确；
CD．由，上升所需的时间短，下落所需的时间稍长，且上升和下落运动方向相反，落回抛球点时，速度比抛出时稍小，故C、D错误。
故选：B。
将两个相同的小球A、B从水平地面以不同初速度竖直向上先后抛出，已知A球的初速度为40m/s，B球的初速度为20m/s，B球比A球迟1s抛出，忽略空气阻力的作用，重力加速度g＝10m/s2。设向上为正方向，从抛出A球开始计时，到B球刚要落地的过程中，下列关于A、B两小球的速度差vA﹣vB随时间t变化的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A球上升的时间为tAs＝4s，B球上升的时间为tBs＝2s
因B球比A球迟1s抛出，则在0﹣1s内只A球向上做匀减速运动，B球没有运动，速度为零，则A的速度为vA＝vA0﹣gt＝40﹣10t
则A、B两小球的速度差vA﹣vB＝40﹣10t
在2﹣3s内A、B球都向上做匀减速运动，则两者速度为vA＝vA0﹣gt＝40﹣10t，vB＝vB0﹣g（t﹣1）＝20﹣10×（t﹣10）＝30﹣10t
则A、B两小球的速度差vA﹣vB＝（40﹣10t）﹣（30﹣10t）＝10（m/s）
即两者速度差保持不变；3s后B向下做自由落体运动，经2s落地，则在3﹣4s内A向上做匀减速运动，B向下做自由落体运动，A经3s后的速度为
v'A＝40m/s﹣10×3m/s＝10m/s
则3﹣4s内A的速度为vA＝v'A﹣gt＝10﹣10t
B的速度为vB＝gt＝10t
则A、B两小球的速度差vA﹣vB＝10m/s
即两者速度差保持不变；在4﹣5s内A向下开始做自由落体运动，此时B的速度为v'B＝10×1m/s＝10m/s，则4﹣5s内A的速度为vA＝gt＝10t
B的速度为vB＝v'B+gt＝10+10t
则A、B两小球的速度差vA﹣vB＝10m/s，即两者速度差保持不变，故A正确，BCD错误。
故选：A。
从地面上以初速度v0竖直上抛一个小球，已知小球在运动过程中所受空气阻力与速度大小成正比，则小球从抛出到落回地面的过程中，以下其速度与时间关系的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：上升阶段：由小球受到的空气阻力与速率成正比，由可知在上升过程中空气阻力减小，故合力减小，由牛顿第二定律可知加速度减小，v﹣t图象的斜率逐渐减小；下降过程：小球的速率增大，空气阻力增大，故合力逐渐减小，由牛顿第二定律可知加速度逐渐减小，v﹣t图象的斜率逐渐减小，且由于有机械能的损耗，小球落回地面时的速度要比抛出去的初速度要小，故D正确，ABC错误。
故选：D。
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专题2 自由落体与竖直上抛运动模型
竖直上抛运动的基本规律 1
竖直上抛运动的对称性 3
竖直上抛运动的相遇问题 5
有关竖直上抛运动的图像 6
竖直上抛运动的基本规律
从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h．设上升和下降过程中空气阻力大小恒定为f．下列说法正确的是（ ）
A．小球上升的过程中动能减少了mgh
B．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了Fh
C．小球上升的过程中重力势能增加了mgh
D．小球上升和下降的整个过程中动能减少了Fh
（多选）在2020东京奥运会女子跳水10m跳台比赛中，我国年仅14岁的小将全红婵，多次上演“水花消失术”，最终夺得冠军，假设全红婵在完成某次动作过程中，跳起的最大高度是0.8m，在离水面1m的时候她已经完成所有动作，开始调整姿态准备压水花，入水后减速的加速度大小是20m/s2，在粗略估算中，可以把运动员当作质点处理，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．起跳的竖直速度是4m/s
B．落水的速度约为18m/s
C．运动员在空中运动的时间约为1.4s
D．若要保证运动员安全，水池的深度至少要5.4m
颠球训练时，学生以6m/s的速度将排球竖直向上击出，忽略空气阻力，g取10m/s2，则（ ）
A．排球上升的最大高度为3.6m
B．排球在上升过程中处于失重状态
C．排球在最高点速度为0，处于平衡状态
D．排球上升和下降过程的加速度方向相反
如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H．上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t不计空气阻力，则满足（ ）
A．12 B．23
C．34 D．45
有一喷泉，喷水管口的横截面积为S．流量（单位时间内流出的水的体积）为Q．已知水的密度为ρ，重力加速度为g。假设喷出的水做竖直上抛运动，不计水流之间的相互作用和空气阻力的影响，则空中水的质量为（ ）
A． B． C． D．
从地面以大小为v1的初速度竖直向上抛出一个皮球，经过时间t皮球落回地面，落地时皮球的速度的大小为v已知皮球在运动过程中受到空气阻力的大小与速度的大小成正比，重力加速度大小为g。下面给出时间t的四个表达式中只有一个是合理的。你可能不会求解t，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。根据你的判断，你认为t的合理表达式应为（ ）
A．t B．t
C．t D．t
竖直上抛运动的对称性
为了测量运动员跃起的高度，可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录运动员运动过程中对弹性网的压力，并由计算机作出压力一时间（F﹣t）图象，如图所示．运动员在空中运动时可视为质点，不计空气阻力，则可求得运动员在0～6.9s时间内跃起的最大高度为（g＝10m/s2）（ ）
A．1.5m B．1.8m C．5.0m D．7.2m
在空中某足够高处，以25m/s的初速度竖直上抛一物体，不计空气阻力，g取10m/s第3s内物体通过的位移为（ ）
A．0 m B．30 m C．60 m D．120 m
将质量为1kg的物体从地面竖直向上抛出，一段时间后物体又落回抛出点。在此过程中物体所受空气阻力大小不变，其动能Ek随距离地面高度h的变化关系如图所示。取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物体能上升的最大高度为3m
B．物体受到的空气阻力大小为2N
C．上升过程中物体加速度大小为10m/s2
D．下落过程中物体克服阻力做功为24J
地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光的波长为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点竖直向上抛出小球，小球又落至原处O点的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，一个小球从地面竖直上抛。已知小球两次经过一个较低点A的时间间隔为TA，两次经过较高点B的时间间隔为TB，重力加速度为g，则A、B两点间的距离（ ）
A． B．
C． D．
竖直上抛运动的相遇问题
如图所示，小球甲从距离地面高度为h1＝15m处以速度v0＝10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为h2＝20m处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球乙落地前，两小球的速度差逐渐变大
B．落地前的运动过程中小球甲、乙的平均速率之比为5：6
C．至小球乙落地时，甲、乙两球的位移大小之比为3：4
D．小球甲、乙运动的第1s内位移相同
如图所示，A，B两棒的长度相同，A的下端和B的上端相距s＝40m。若A，B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运动且初速度v0＝20m/s（g取10m/s2），则A，B相遇时A的速度大小为（ ）
A．40m/s B．10m/s C．30m/s D．20m/s
甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为（ ）
A． B．）
C．） D．
从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔时间Δt后再以初速度v0从同一地点竖直上抛物体B，不计空气阻力。以下说法正确的是（ ）
A．物体A、B可能在物体A上升过程中相遇
B．物体A、B只能在物体A下降过程中相遇
C．要使物体A、B相遇需要满足条件Δt
D．要使物体A、B相遇需要满足条件Δt
在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速度v0从同一地点竖直上抛另一物体B。若要使两物体能在B上升过程中相遇，则两物体抛出的时间间隔Δt必须满足的条件是（不计空气阻力，重力加速度大小为g）（ ）
A． B．
C． D．
有关竖直上抛运动的图像
排球是人们最喜爱的运动之一。如图所示，运动员在原地向上做抛接球训练，排球在空中受到空气的阻力大小可视为不变，下列能反映排球上升和下落运动过程的图像是（ ）
A． B．
C． D．
将两个相同的小球A、B从水平地面以不同初速度竖直向上先后抛出，已知A球的初速度为40m/s，B球的初速度为20m/s，B球比A球迟1s抛出，忽略空气阻力的作用，重力加速度g＝10m/s2。设向上为正方向，从抛出A球开始计时，到B球刚要落地的过程中，下列关于A、B两小球的速度差vA﹣vB随时间t变化的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
从地面上以初速度v0竖直上抛一个小球，已知小球在运动过程中所受空气阻力与速度大小成正比，则小球从抛出到落回地面的过程中，以下其速度与时间关系的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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