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专题11 竖直面内的圆周运动模型
重力场中的竖直面内圆周运动的绳(或轨道内侧)模型 1
重力场中的竖直面内圆周运动的杆(或管)模型 6
电磁场中的竖直面内圆周运动模型 11
重力场中的竖直面内圆周运动的绳(或轨道内侧)模型
如图所示，长度均为l＝1m的两根轻绳，一端共同系住质量为m＝0.5kg的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为l，重力加速度g取10m/s2。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，每根绳的拉力恰好为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为（ ）
A．5N B．20N C．15N D．10N
【解答】解：小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，由牛顿第二定律得
mg＝m
当小球在最高点的速率为2v时，由牛顿第二定律得
mg+2Fcos30°＝m
解得每根绳的拉力大小为F＝5N，故A正确，BCD错误。
故选：A。
一长为l的轻绳的一端固定在水平转轴上，另一端系一质量为m的小球，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，a为圆周最高点、b为圆周最低点、c与圆心O等高，重力加速度大小为g，空气阻力不计，则小球运动过程中（ ）
A．在a点的角速度为
B．在b点的线速度为2
C．在c点的向心加速度为2g
D．在c点时绳上的拉力大小为mg
【解答】解：A、小球恰能经过最高点，由重力提供向心力可得：，解得：，所以在a点的角速度为：，故A正确；
B、小球从a到b的过程中，由动能定理可得：，解得：，故B错误；
C、小球从a到c的过程中，由动能定理可得：，解得：，则在c点的向心加速度为，故C错误；
D、在c点，由绳子的拉力提供向心力可得：T＝ma，解得：T＝ma＝m 3g＝3mg，故D错误。
故选：A。
如图所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球A（视为质点），另一端固定于O点，当绳竖直时小球静止。现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最高点，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
A．小球过最高点时，速度可能为零
B．小球过最高点时，绳的拉力不可能为零
C．小球过最高点时，速度大小为
D．开始运动时，绳的拉力为
【解答】解：ABC、小球刚好能过最高点，可知绳子的拉力恰好为零，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得小球过最高点时，速度大小为：，故AB错误，C正确；
D、开始运动时，根据牛顿第二定律得
解得：，故D错误。
故选：C。
如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．图线与横轴交点
B．图像函数表达式为
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小
D．增加轻绳的长度，图线与横轴交点b的位置不变
【解答】解：AB．小球在最高点时重力和拉力的合力提供向心力，即
可得
当F＝0时
v2＝gl＝b，故AB错误；
C．结合公式可知图像的斜率，绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小，故C正确；
D．因b＝gl，则增加轻绳的长度，图线与横轴交点b的位置变化，故D错误。
故选：C。
如图所示，公园里一个小孩在荡秋千，悬挂秋千的两根细线平行，小孩质量为m（小孩可视为质点），空气阻力和摩擦力可忽略，重力加速度为g，在最高点时细线与竖直方向夹角53°（cos53°＝0.6），则小孩运动到最低点时每根细线上的张力大小为（ ）
A．mg B．mg C．mg D．mg
【解答】解：小孩从最高点到最低点过程重力做功，根据动能定理得：
在对低点时竖直方向上受到重力和两个绳子的拉力，合力提供向心力，得：
解得，故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，在同一竖直平面内两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动。今在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来。当轨道距离x变化时，测得两点压力差ΔFN与距离x的关系图像如右图所示。不计空气阻力，g取10m/s2。则可判断（ ）
A．小球的质量为1kg
B．相同半圆光滑轨道的半径为0.2m
C．若小球在最低点B的速度为20m/s，小球沿光滑轨道恰能通过A点，则x为15m
D．若小球在最低点B的速度为20m/s且x为0，则小球运动到A点时的速度为15m/s
【解答】解：AB、设小球的质量为m，光滑圆轨道的半径为R。小球从最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律可得
mg（2R+x）
由牛顿第二定律可得
对B点，有FN1﹣mg＝m
对A点，有
结合牛顿第三定律解得A、B两点的压力差为
由题图可得，纵轴截距为b＝6mg＝6N
斜率为kN/m
解得：m＝0.1kg，R＝2m，故AB错误；
C、小球沿光滑轨道恰能通过A点的条件为：mg＝m，得vA＝2m/s
若小球在最低点B的速度为20m/s，代入表达式FN1﹣mg＝m，解得：FN1＝21N
则A、B两点的压力差为ΔFN＝FN1＝21N
代入表达式ΔFN＝6mg，解得：x＝15m，故C正确；
D、若小球在最低点B的速度为20m/s且x为0，代入表达式ΔFN＝6mg，可得ΔFN＝6N
由ΔFN＝FN1﹣FN2，，解得：，故D错误。
故选：C。
重力场中的竖直面内圆周运动的杆(或管)模型
如图所示，质量为m的小球（可视为质点）在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动，重力加速度大小为g，连接O点与小球的为轻杆。对小球，下列说法正确的是（ ）
A．过圆周最高点的最小速度为
B．过圆周最高点的速度不能大于
C．在圆周最高点对轻杆的作用力大小可以为零
D．在圆周最高点对轻杆的作用力大小最小为mg
【解答】解：A、连接O点与小球的为轻杆，在最高点，轻杆可以支撑小球，给小球提供支持力，所以小球过圆周最高点的最小速度为零，故A错误；
BCD、小球在圆周最高点时轻杆的作用力可能为零，此时有mg＝m，得v
即在圆周最高点当小球的速度为时，轻杆对小球的作用力大小为零，由牛顿第三定律知此时小球对轻杆的作用力大小也为零，故BD错误，C正确。
故选：C。
如图1所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN﹣v2图像如图2所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．轻杆的长度为
C．若小球质量不变，换用更长的轻杆做实验，图2中a点的位置不变
D．v2＝3a时，在最高点杆对小球的弹力大小为2b
【解答】解：A．当v2为零时，杆的弹力b等于小球的重力，即b＝mg
解得：，故A错误；
B．由图2可得，当v2＝a时，杆的弹力为零，此时重力提供向心力，有
解得：，故B错误；
C．由图2可知，v2＝a时，杆的作用力大小为零，由 知，L变大，v2增大，a随着也变大，故C错误；
D．当v2＝3a时，根据牛顿第二定律可得
解得：FN＝2mg＝2b，故D正确。
故选：D。
如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F（竖直向上为正），用同一小球以不同的初速度重复实验，得到F与的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若小球经过N点时满足c，则经过M点时对轨道无压力
B．当小球经过N点时满足c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为
D．小球质量m
【解答】解：A、由乙图可知，当c时，小球经过M点时对管道作用力F＝0，故A正确；
B、由乙图可知，当c时，小球经过M点时对管道作用力F＞0，即F的方向竖直向上，小球对外管道壁有压力，故B错误；
C、设圆的半径为R，从最高点M到最低点N，由动能定理得：2mgR
当c时，代入上可得：c﹣4gR
此时小球经过M点时对管道作用力为：F＝0
则有：mg＝mm
解得：R，故C正确；
D、小球经过M点时，由向心力公式有：mg+F′＝m
由牛顿第三定律有：F′＝F
结合2mgR
当0时，F＝﹣b时，解得：m，故D正确。
本题选不正确的，故选：B。
如图所示，质量均为m的A、B两球固定在同一轻直杆两端，杆可以绕点O在竖直面内做圆周运动。若当A球通过最高点时，A球受到杆的作用力恰好为零，重力加速度大小为g，两球均视为质点，AO＝2OB，则此时B球受到杆的作用力大小为（ ）
A．2mg B． C． D．3mg
【解答】解：A、B两球为同轴转动，设角速度为ω，A球通过最高点时受到杆的作用力恰好为零，则mω2 AO＝mg
A球通过最高点时B球通过最低点，此时B球向心力大小为
设此时B球受到杆的作用力大小为F，对B球进行受力分析可得F﹣mg＝Fn
解得，故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图所示，半径R＝1.0m的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为L＝0.5m的水平面BC相切于B点，BC离地面高h＝0.45m，C点与一倾角为θ＝37°的光滑斜面连接，质量m＝1.0kg的小滑块从圆弧上某点由静止释放，到达圆弧B点时小滑块对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，当小滑块运动到C点时与一个质量M＝2.0kg的小球正碰，碰后返回恰好停在B点，已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2）求：
（1）小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
（2）小球第一落点到C点的距离。
【解答】解：（1）由题图可知B点为圆周运动的最低点，小滑块通过B点时，由牛顿第二定律有
由牛顿第三定律有，在该点支持力大小等于压力大小，所以有
FN＝2mg
解得：vBm/s
设滑块由距离地面H高处下滑，由动能定理有
解得：H＝0.95m
（2）设小滑块到达C点与小球碰撞前的速度为v1。
小滑块从B点运动到C点的过程，由动能定理有
在C点两滑块发生碰撞，设碰后小滑块速度变为v2，小球速度为v3，由于碰后小滑块速度方向反向，取向右为正方向，由动量守恒定律有
mv1＝﹣mv2+Mv3
对小滑块从C返回B的过程，由动能定理有
联立解得：v3＝2m/s
碰后小球做平抛运动，其水平方向做匀速直线运动，有
x＝v3t
竖直方向有
设小球落在水平地面上，则有
y＝h＝0.45m
解得：t＝0.3s
水平位移为：x＝0.6m
故落点与C的距离
sm＝0.75m
斜面的长为
lm＝0.75m
所以小球恰好落在斜面与水平面的交点上。
综上所述，落点与C的距离为0.75m。
答：（1）小滑块应从圆弧上离地面0.95m高处释放；
（2）小球第一落点到C点的距离为0.75m。
电磁场中的竖直面内圆周运动模型
如图所示，细绳拉着一带正电小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，该区域内存在水平向右的匀强电场。A点为运动轨迹的最高点，B点为运动轨迹的最低点，CD为水平直径。在小球做圆周运动的过程中（ ）
A．在A点小球的速度最小
B．在B点绳子的拉力最大
C．在C点和D点绳子的拉力大小相等
D．在C点小球的机械能最小
【解答】解：A、把重力和电场力合成为等效重力，可知小球在等效最高点时速度最小，等效最高点在AC之间，故A错误；
B、在等效最低点速度最大，且绳子的拉力最大，该位置在BD之间，故B错误；
C、从C到D，重力做功为零，电场力做正功，由动能定理可知，小球在D点速度大于C点的速度，根据牛顿第二定律知在D点绳子的拉力较大，故C错误；
D、根据能量守恒，在C点时小球的电势能最大，则机械能最小，故D正确。
故选：D。
如图，在竖直平面内，位于同一水平线上的M、N两点，固定两个电荷量均为Q（Q＞0）的点电荷。A、B为MN中垂线上的两点，O为MN的中点，且OA＝OB，AB＝AM＝R。将一质量为m，电荷量为﹣q（q＞0）的带电小球从A点静止释放。已知重力加速度为g，静电力常量为k，不计空气阻力。
（1）求小球到达B点时的速度大小vB；
（2）若在空间再加一竖直向下的匀强电场，并从A点将小球以大小为v，方向垂直纸面向里的速度抛出，小球恰好能绕O点做匀速圆周运动。求所加匀强电场的场强大小E和小球做圆周运动的速度大小v。
【解答】解：（1）由于A、B两处的点电荷的电荷量相等，而且都是正电荷，根据等量同种点电荷电场的对称性可知，A与B处的电势是相等的，则带电小球在A处的电势能等于B处的电势能，所以小球从A到B的过程中电场力做的功为零。
则小球运动到D点时的动能等于从A到B重力势能的减少，根据动能定理有：mgR
所以：vB
（2）小球绕O点做匀速圆周运动，即向心力的大小是一定的，此时小球重力应所加匀强电场的电场力等大反向，向心力由位于M、N两点电荷与小球之间的库仑力的合力提供。
根据在竖直方向有：mg＝qE
得到外加匀强电场的场强：E
根据向心力由两库仑力的合力提供，所以有：2
变形解得：v
答：（1）小球到达B点时的速度大小vB为；
（2）所加匀强电场的场强大小E为，小球做圆周运动的速度大小v为。
如图所示，竖直平面内有一水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝1×102V/m，其中有一个半径为R＝2m的竖直光滑圆环，现有一质量为m＝0.08kg、电荷量为q＝6×10﹣3C的带正电小球（可视为质点）在最低点A点，给小球一个初动能，让其恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化。（已知cos37°＝0.8，g取10m/s2）求：
（1）小球所受电场力与重力的合力F；
（2）小球在A点的初动能Ek。
【解答】解：（1）小球受到的合力若与竖直方向成α，则tanα，则：α＝37°。
其合力大小为：F
解得：Fmg0.08×10N＝1.0N
即小球所受重力与电场力的合力大小F＝1.0N，方向与竖直方向成α＝37°斜向右下
（2）根据以上结论可得到小球做圆周运动时的“等效最高点”为B点，它与圆心的连线与竖直方向成α＝37°
且在B点时有：F
解得：vB＝5m/s
小球从A点至等效最高点B过程中，由动能定理得：﹣F （R+Rcos37°）EkA
联立解得：EkA＝4.6J
答：（1）小球所受电场力与重力的合力F大小为1.0N，方向与竖直方向夹角为37°；
（2）小球在A点的初动能Ek为4.6J。
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专题11 竖直面内的圆周运动模型
重力场中的竖直面内圆周运动的绳(或轨道内侧)模型 1
重力场中的竖直面内圆周运动的杆(或管)模型 4
电磁场中的竖直面内圆周运动模型 6
重力场中的竖直面内圆周运动的绳(或轨道内侧)模型
如图所示，长度均为l＝1m的两根轻绳，一端共同系住质量为m＝0.5kg的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为l，重力加速度g取10m/s2。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，每根绳的拉力恰好为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为（ ）
A．5N B．20N C．15N D．10N
一长为l的轻绳的一端固定在水平转轴上，另一端系一质量为m的小球，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，a为圆周最高点、b为圆周最低点、c与圆心O等高，重力加速度大小为g，空气阻力不计，则小球运动过程中（ ）
A．在a点的角速度为
B．在b点的线速度为2
C．在c点的向心加速度为2g
D．在c点时绳上的拉力大小为mg
如图所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球A（视为质点），另一端固定于O点，当绳竖直时小球静止。现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最高点，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
A．小球过最高点时，速度可能为零
B．小球过最高点时，绳的拉力不可能为零
C．小球过最高点时，速度大小为
D．开始运动时，绳的拉力为
如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．图线与横轴交点
B．图像函数表达式为
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小
D．增加轻绳的长度，图线与横轴交点b的位置不变
如图所示，公园里一个小孩在荡秋千，悬挂秋千的两根细线平行，小孩质量为m（小孩可视为质点），空气阻力和摩擦力可忽略，重力加速度为g，在最高点时细线与竖直方向夹角53°（cos53°＝0.6），则小孩运动到最低点时每根细线上的张力大小为（ ）
A．mg B．mg C．mg D．mg
如图所示，在同一竖直平面内两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动。今在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来。当轨道距离x变化时，测得两点压力差ΔFN与距离x的关系图像如右图所示。不计空气阻力，g取10m/s2。则可判断（ ）
A．小球的质量为1kg
B．相同半圆光滑轨道的半径为0.2m
C．若小球在最低点B的速度为20m/s，小球沿光滑轨道恰能通过A点，则x为15m
D．若小球在最低点B的速度为20m/s且x为0，则小球运动到A点时的速度为15m/s
重力场中的竖直面内圆周运动的杆(或管)模型
如图所示，质量为m的小球（可视为质点）在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动，重力加速度大小为g，连接O点与小球的为轻杆。对小球，下列说法正确的是（ ）
A．过圆周最高点的最小速度为
B．过圆周最高点的速度不能大于
C．在圆周最高点对轻杆的作用力大小可以为零
D．在圆周最高点对轻杆的作用力大小最小为mg
如图1所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN﹣v2图像如图2所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．轻杆的长度为
C．若小球质量不变，换用更长的轻杆做实验，图2中a点的位置不变
D．v2＝3a时，在最高点杆对小球的弹力大小为2b
如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F（竖直向上为正），用同一小球以不同的初速度重复实验，得到F与的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若小球经过N点时满足c，则经过M点时对轨道无压力
B．当小球经过N点时满足c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为
D．小球质量m
如图所示，质量均为m的A、B两球固定在同一轻直杆两端，杆可以绕点O在竖直面内做圆周运动。若当A球通过最高点时，A球受到杆的作用力恰好为零，重力加速度大小为g，两球均视为质点，AO＝2OB，则此时B球受到杆的作用力大小为（ ）
A．2mg B． C． D．3mg
如图所示，半径R＝1.0m的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为L＝0.5m的水平面BC相切于B点，BC离地面高h＝0.45m，C点与一倾角为θ＝37°的光滑斜面连接，质量m＝1.0kg的小滑块从圆弧上某点由静止释放，到达圆弧B点时小滑块对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，当小滑块运动到C点时与一个质量M＝2.0kg的小球正碰，碰后返回恰好停在B点，已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2）求：
（1）小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
（2）小球第一落点到C点的距离。
电磁场中的竖直面内圆周运动模型
如图所示，细绳拉着一带正电小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，该区域内存在水平向右的匀强电场。A点为运动轨迹的最高点，B点为运动轨迹的最低点，CD为水平直径。在小球做圆周运动的过程中（ ）
A．在A点小球的速度最小
B．在B点绳子的拉力最大
C．在C点和D点绳子的拉力大小相等
D．在C点小球的机械能最小
如图，在竖直平面内，位于同一水平线上的M、N两点，固定两个电荷量均为Q（Q＞0）的点电荷。A、B为MN中垂线上的两点，O为MN的中点，且OA＝OB，AB＝AM＝R。将一质量为m，电荷量为﹣q（q＞0）的带电小球从A点静止释放。已知重力加速度为g，静电力常量为k，不计空气阻力。
（1）求小球到达B点时的速度大小vB；
（2）若在空间再加一竖直向下的匀强电场，并从A点将小球以大小为v，方向垂直纸面向里的速度抛出，小球恰好能绕O点做匀速圆周运动。求所加匀强电场的场强大小E和小球做圆周运动的速度大小v。
如图所示，竖直平面内有一水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝1×102V/m，其中有一个半径为R＝2m的竖直光滑圆环，现有一质量为m＝0.08kg、电荷量为q＝6×10﹣3C的带正电小球（可视为质点）在最低点A点，给小球一个初动能，让其恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化。（已知cos37°＝0.8，g取10m/s2）求：
（1）小球所受电场力与重力的合力F；
（2）小球在A点的初动能Ek。
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