山西省运城市景胜中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

景胜中学2023-2024学年高二下学期3月月考
数学试题
一、单选题（每题5分，共计40分）
1．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
2．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是（ ）
A．60 B．160 C．180 D．240
4．某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）、5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
7．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）
A．24 B．48 C．96 D．120
8．设是常数，对于，都有，则（ ）
A．2019 B．2020 C．2019! D．2020!
二、多选题（每题6分，共计18分）
9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球。表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．为对立事件 B．
C． D．
10．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项 D．展开式中含的项的系数为35
11．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图．下列正确的是（ ）
A．男生成绩样本数据的平均数为75
B．估计有的男生数学成绩在84分以内
C．在和内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为
D．若男生成绩样本数据的方差为187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差为148
三、填空题（每题5分，共计15分）
12．的展开式的常数项是_________（用数字作答）
13．4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有_________种。
14．在一个给定的正边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为_________。
四、解答题（77分）
15．（13分）设．
（1）求的展开式中系数最大的项；
（2）时，化简；
（3）求证：．
16．（15分）已知的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含的项．
17．（15分）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和0.02．
（1）每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；
（2）从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少
18．（17分）某市12月的天气情况有晴天，下雨，阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关．若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为．已知该市12月第1天的天气情况为下雨．
（1）求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；
（2）记分别为该市12月第天的天气情况为晴天、下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出．
19．（17分）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
高二数学参考答案
1．A 2．C 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．AB 10．BC 11．BCD
12．240 13．36 14．
15．（1）；（2）；（3）证明见解析
【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大；
（2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可；
（3）根据，将左边利用倒序相加法求和．
【详解】解：（1），通项为：，故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为；
（2）
（3）证明：令①，
则，
所以②，
①+②得：．
【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法．同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养，属于中档题．
16．（1）1；（2）．
【分析】（1）由条件求出，然后令即得展开式中各项系数的和
（2）写出通项公式，然后令的次数为-1，即可得出答案
【详解】解：第四项系数为，
第二项的系数为，
则，
化简得，即
解得，或（舍去）．
（1）在二项式中令，
即得展开式各项系数的和为．
（2）由通式公式得，
令，得．
故展开式中含的项为．
【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，属于基本题型．
17．（1）（2）0.0315
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算得解；
（2）设表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解．
【详解】（1）这两件产品来自同一流水线的概率为．
（2）设表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，
由题，，且，
从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是：
．
18．（1）．（2）证明见解析，．
【分析】（1）设“该市12月第天的天气情况为晴天，下雨，阴天”分别为事件，通过列举得到，然后利用全概率公式计算概率即可；
（2）记，先根据全概率公式求出之间的递推关系，然后利用递推关系求通项公式．
【详解】（1）设“该市12月第天的天气情况为晴天”为事件，“该市12月第天的天气情况为下雨”为事件，“该市12月第天的天气情况为阴天"为事件，且．
由图可得，，
由全概率公式可得，
故该市12月第3天的天气情况为晴天的概率为
（2）记．
由（1）可得，
由全概率公式可得．
即①，
同理可得②，③，
②+③得④，
由①得，则，
代入④得，即，
故，即．
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以当时，，
累加得．
又，所以．
又当时，也满足上式，
所以．
【点睛】方法点睛：对于数列和概率相结合的题目，一般是先根据条件得到递推公式，然后再根据递推公式求通项公式．
19．（1）；（2）．
【解析】（1）根据已知条件，令，求得，令，即可求得的值；
（2）由二项式定理可得，求得，由，进而求得，即可求得答案．
【详解】（1）—①．
在①中，令，得．
在①中，令，得，
（2）．
由二项式定理可得．