福建省福州仓山区实验中学2023-2024学年九年级下学期月考 数学试题（含答案）

福州仓山区实验中学2023-2024学年第二学期3月份校本练习
九年级数学试题
（试卷总分：150分 完成时间：120分钟）
一.选择题（共10小题）
1.实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2.如图是由一个三棱柱和一个长方体组成的几何体，则此几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，中，，分别是，的平分线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
6.明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为根，用于制作笔套的短竹数为根，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.在2022年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
成绩（次） 12 11 10 9
人数（名） 1 3 4 2
关于这组数据的结论不正确的是（ ）
A.中位数是10.5 B.平均数是10.3
C.众数是10 D.方差是0.81
8.如图，正五边形和正方形的边重合，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9.图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点与之间的距离为（ ）
图1 图2
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中.将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A.当时，，
B.当时，，
C.当时，，
D.当时，，
二.填空题（共6小题）
11.分解因式：______.
12.中国高铁领跑世界，2023年5月10日人民日报公布中国高铁累计安全行驶9280000000公里，能够环绕地球约23.2万圈，数据9280000000用科学记数法表示为______.
13.已知矩形的面积为，点分别为的中点，则四边形的周长为______.
14.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值______.
15.当时，的值是______.
16.如图，在中，，于点，为边上的中点，连接交于，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接.上述结论中正确的有______.（填正确的序号）.
三.解答题（共9小题）
17.计算：.
18.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，.
求证：.
19.先化简，再求值：，其中.
20.某学校正在推进课堂信息化建设，希望通过采购一体机，提高学校硬件设备水平，更好的辅助教师教学.现有，两种型号64英寸的教学一体机.若购买2台型一体机，6台型一体机需要10万元；3台型一体机，5台型一体机需要9.8万元.
（1）请问每台，型一体机售价各是多少万元；
（2）现需要采购一体机共100台，并且按照学校现有的设备匹配发现购进型一体机不超过35台，请问怎么安排采购方案，能使得本次采购费用最少.
21.将数，，分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放回）.
（1）甲同学抽到的卡片上数字是的概率是______；
（2）请用列举法求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率.
22.如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意.
（1）在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知拱门高（优弧中点到的距离），，，，，求拱门的圆弧半径.
23.综合与实践
问题情境：在综合与实践课上同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，如图1，在矩形纸片中，，，点，分别为边，上的点，且.
图1 图2 图3
操作发现：（1）沿折叠纸片，点恰好与点重合，则______；______；______；
（2）如图2，延长交的延长线于点，请判断的形状，并说明理由.
深入思考：（3）把图2置于平面直角坐标系中，如图3，使点与原点重合，点在轴上，将沿翻折，使点落在点处，连接，求点的坐标.
24.已知抛物线，其中是实数.
（1）已知三个点，，，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与轴交于，两点（点在轴正半轴），与轴交于点，抛物线的顶点的记为，
①若点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合），连接交于点，连接.记，的面积分别为，，求的最大值；
②过点的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线：交于点，过点作的垂线，交抛物线于点，过的中点作于点.求证：.
25.阅读下面材料：天府新区某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在中，，点在边上，，，垂足为.小明经探究发现，过点作，垂足为，可得到，请你写出证明过程；
（2）变式探究：如图2，中，，，为的中点，为的中点，点在的延长线上，且，求的长；
（3）解决问题：如图3，中，，，点、分别在、边上，且（其中），，求的值（用含的式子表示）.
图1 图2 图3
福州仓山区实验中学2023-2024学年第二学期3月份校本练习
九年级数学答案
一.选择题（共10小题）
1-5 CDDBB 6-10 BAADA
9.【解答】解：如图，作直线，交双翼闸机于点、，则，，由题意可得，，在直角三角形中，，.
10.【解答】解：当时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线，，且；
当时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线，，且.
二.填空题（共6小题）
11. 12.
13.6
14.
15.
【解答】解：当时，，故的值是.
16.①②③
【解答】解：①∵将沿着翻折到，，，，，
，，，，，∴四边形是菱形，故①正确；
②，，又，，，
，，，，，，
，，，又，，，，为边上的中点，，，故②正确；
③，，，，，；故③正确；
④如图，过点作，交的延长线于，设，则，，，
，，∵四边形是菱形，∴，，，又，，，，，，，
故④错误，故答案为：①②③.
三.解答题（共9小题）
17.【解答】解：原式.
18.【解答】证明：，，，
，，
在和中，，，，
19.【解答】解：，
当时，原式.
20.【解答】解：（1）设每台型一体机售价是万元，每台型一体机售价是万元，
根据题意得：，解得，
答：每台型一体机售价是1.1万元，每台型一体机售价是1.3万元；
（2）设学校购进型一体机台，则购进型一体机台，采购费用为元，
根据题意得：，，，
当时，有最小值，最小值为123，此时型一体机（台），
购买35台型一体机，65台型一体机时采购费用最少.
21.【解答】解：（1）有3张卡片，其中只有一张卡片上的数字是，，
（2）画树状图如下：
一共有6种等可能的结果，其中甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数有2种可能，
.
22.【解答】解：（1）在圆弧上任取一点，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，与交于，如图：点即为所求；
（2）连接，设交于，交于，如图：
设拱门的圆弧半径为，根据已知得：，
在中，，
，解得
∴拱门的圆弧半径为.
23.【解答】解：（1）如图1，∵四边形是矩形，，，
，，，
点，分别为边，上的点，且，
，由折叠得，
，，，解得，
故答案为：3，2，.
（2）是等腰三角形，理由：如图2，四边形是矩形，
，，
由折叠得，，
，是等腰三角形.
（3）点与原点重合，点在轴上，，
∴点在轴上，轴，轴，
，由折叠得，，
∵点在的延长线上，
，∴点在的延长线上，
，，
，
，，，
，
，，，，，
轴，∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，
.
24.【解答】（1）解：的顶点坐标为，∴顶点在直线上，
当时，，当时，，∴顶点为，
∴抛物线为；
（2）①解：过点作于点，点作于点，如图1，
图1
的面积为，，的面积为，则
，
令，则，解得或，
，，
当时，，；
设直线的解析式为，
将，代入得：，解得，
直线的解析式为，设，
则直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，即，
整理得：，则
，故当时，有最大值为，
即的最大值是；
②方法一：证明：连接和，过点作与点，如图2：
图2
设直线的解析式为：，将代入求得：，
故直线的解析式为：；
直线与直线：交于点，将点的纵坐标
代入，得：，
解得：，，
点的横坐标，
，
直线与抛物线交于，两点，则，
整理得：，
，，，
即点的横坐标为，
，，，
，为的中点，
，即，
，
，
在中，，
在中，，
即，
又，，
，
即为直角三角形，
又为的中点，是斜边上的中线，
.
方法二：（用表示出的长度和的长度，找到关系也可）
25.【解答】证明：（1）如图2，作，，，
图2
在和中，，
，，
，，，
（2）如图3，连接，作于，于.
图3
在中，，点是中点，
，
点是中点，，，
是等腰直角三角形，，，
，，
，，
，，，
，，点为中点，
，，
，，，
，，
，，.
（3）如图4，过点作，设，
图4
在中，，，，
，，，
过点作，
在中，.，
，，，，
过作交延长线与，
，，，，
，，
，，
，，，
，
.