广东省广州市天河区广州市第一一三中学2023-2024学年九年级下学期月考 数学试题（含解析）

2023学年春季学期综合练习
初三年级 数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．神舟十五号载人飞船与神舟十四号乘组在距离地球约400000米的中国空间站胜利会师，将400000用科学记数法表示为，下列说法正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　

A．55° B．60° C．65° D．70°
5．若x1、x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )
A．1 B．5 C．-5 D．6
6．半径等于的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．40 B．50 C．70 D．80
8．如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
9．已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若与相似（点O是坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C．或2 D．或
10．设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若关于x的方程有一根是，则b的值是 .
12．计算： ．
13．已知二次函数，当 时，随的增大而减小．
14．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆的半径为3，则圆锥的母线 ．
15．一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）．
16．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

三、解答题
17．解方程：
18．如图，在中，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是多少？（结果用含的式子表示）．
19．如图，数学活动课上；为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为多少米？
20．为振兴乡村文化，某社区准备开展“乡村文化宣讲”活动，为了更好的开展活动，该社区随机抽取部分居民，调查他们对乡村文化的了解情况．根据调查结果，把居民对乡村文化的了解程度分为“．非常了解”“．比较了解”“．有点了解”“．不了解”四个层次，并依据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)这次共抽取了____位居民进行调查；扇形统计图中，“”层次所占圆心角的度数是_____．
(2)现拟从“非常了解”乡村文化的甲、乙、丙、丁四位居民中任选2位担任乡村文化推广使者，请用列举法求恰好选中甲、乙两位居民的概率．
21．如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．
（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．
23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．
(1)按要求尺规作图：作AD的垂直平分线(保留作图痕迹）；
(2)若AD的垂直平分线与AB相交于点O，以O为圆心作圆，使得圆O经过AD两点．
①求证：BC是⊙O的切线；②若，求⊙O的半径．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点B．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)若，求抛物线所对应的函数解析式；
(3)已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
25．在中，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点
(1)如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
(2)如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；
(3)如图3，连接，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
1．B
【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
2．B
【分析】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵将400000用科学记数法表示为，
∴，．
故选：B．
3．C
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【详解】
解：在中，，，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4．C
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选C．
【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
5．B
【分析】依据一元二次方程根与系数的关系表示出两根和即可．
【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2 5x＋6＝0的两个根，
∴x1＋x2＝5，
故选B．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
6．A
【分析】根据题意，利用勾股定理，先求出弦长的一半，进而求出弦长．
【详解】解：如图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，在求弦长时，往往通过构造直角三角形，利用勾股定理，先求出弦长的一半，再求得弦长．此类问题极易出错，要特别注意．
7．D
【分析】根据切线的性质，得∠CAB=90°，根据直角三角形的性质，得到∠B=40°，利用同弧上的圆心角与圆周角的关系求解即可．
【详解】∵是的直径，是的切线，为切点，
∴∠CAB=90°，
∵∠C=50°，
∴∠B=40°，
∴∠AOD=2∠B=80°，
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，圆心角与圆周角的关系定理，熟练掌握切线的性质，活用圆心角与圆周角的关系定理是解题的关键．
8．A
【分析】设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，
∵AB=m，AB边上的高是n．
∴S△ABC=mn=×2=1．
故选A．
【点睛】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
9．D
【分析】
本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，两直线相交的问题，难点是要分情况讨论．根据点、的坐标得，，再根据相似三角形对应边成比例分和、是对应边两种情况讨论求出的长，然后求出的值，即可得解．
【详解】
解：，，
，，
直线交轴的正半轴于点，交轴于点，
，
，
与相似，
或，
即或，
解得或，
当时，，代入得，解得：
当时，，代入得，解得：
所以，或．
故选：D
10．C
【分析】首先根据k与x的取值分析函数，的增减性，根据增减性确定最值，进而求解．
【详解】解：∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1 随x的增大而减小，y2 随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1 取最大值，最大值为=a①；
当x＝2时，y2 取最小值，最小值为 ＝a 4②；
由①②得a＝2，k＝4，
∴ak＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值．
11．
【分析】
根据题意，将代入方程求解即可．
【详解】解：将代入方程，得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
12．5
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
13．
【分析】
本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，找到对称轴；在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．
【详解】
解：在中，，
，
开口向上，
由于函数的对称轴为，
当时，的值随着的值增大而减小；
当时，的值随着的值增大而增大．
故答案为：
14．9
【分析】求出圆锥的底面圆的周长，根据弧长公式计算即可．
【详解】设圆锥的母线长为r，
圆锥的底面圆的周长=2π×3=6π，
则，
解得，r=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15．＞
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴点、是反比例函数上的两个点，
又∵，
∴，
故填：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解．
16．##
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，
∴，，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
17．，
【分析】
应用配方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：
两边加1，得，，
即，
两边开平方，得，
即．
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法正确解方程是解题的关键．运用配方法解一元二次方程时，要注意配方的方法：二次项系数为1时，等式两边同加一次项一半的平方．
18．
【分析】
本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点的运动轨迹．根据旋转的性质得到点的运动路径是圆弧的长度，根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：以为圆心作圆弧，如图所示，在中，，
，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，
，
是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，
点的运动路径长为
19．旗杆高度为8米．
【分析】
本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】
解：如图：
，，
，
，
，
，
即，
，
旗杆高度为8米．
20．(1)，
(2)
【分析】
（1）根据“”层次的人数除以占比得出样本的容量，根据“”层次的占比乘以即可求得“”层次所占圆心角的度数；
（2）根据列举法列举出所有可能结果，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：这次共抽取了（位），
扇形统计图中，“”层次所占圆心角的度数是
故答案为：，．
（2）解：是有可能的结果为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁）
（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁）；
（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），
（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），
共有12种等可能结果，符合题意的有2种，
∴恰好选中甲、乙两位居民的概率
【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图，由样本估计总体，列举法求概率，掌握相关知识并从统计图表中获取信息是解题的关键．
21．(1)
(2)不是菱形，证明见解析
【分析】（1）由函数的图象经过点，利用待定系数法可求解 再证明 设利用中点坐标公式可得A的坐标；
（2）利用中点坐标公式求解的坐标，证明 从而可得答案．
【详解】（1）解： 函数的图象经过点，
，
设
解得： 经检验符合题意；
（2）不是菱形，理由如下：
由（1）得： 设 而
解得：
不是菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，中点坐标公式的应用，菱形的判定，求解反比例函数的解析式，理解并应用中点坐标公式是解本题的关键．
22．（1）；（2）12米；（3）．
【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线即可求解；
（2）高度差为1米可得可得方程，由此即可求解；
（3）由抛物线可知坡顶坐标为 ，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出b的取值范围．
【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式；
（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为米，
∴，
解得：（不合题意，舍去）， ，
故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
（3）∵点A（0，4），
∴抛物线，
∵抛物线，
∴坡顶坐标为 ，
∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，
∴，
解得：．
【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4) 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．
23．(1)见解析；
(2)①证明见解析；②3
【分析】（1）根据垂直平分线的作法，即可画出图形；
（2）①连接OD，根据角平分线得出∠CAD=∠BAD，进而得出∠BAD=∠ODA，从而∠CAD=∠ODA，即OD∥AC，进而判断出OD⊥BC，即可得出结论；②过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质得出DH=CD=，再利用勾股定理得出AH=4,设⊙O半径为r，再在Rt△OHD中，,建立方程求解即可．
【详解】（1）
（2）①证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O半径，
∴BC是⊙O的切线．
②如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD为∠BAC的角平分线，,
∴DH=CD=,
在Rt△ADH中，
,
设⊙O半径为r，∴OA=OD=r，
∴OH=AH-OA=4-r，
在Rt△OHD中，,
∴
∴r=3，
即⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查了基本作图，切线的判定，勾股定理和角平分线定理，做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．(1)对称轴为直线
(2)抛物线所对应的函数解析式为或
(3)或
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
（1）根据抛物线对称轴公式即可得；
（2）根据题意求得，即可求得抛物线所对应的函数解析式；
（3）根据点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，即可求的取值范围．
【详解】（1）
抛物线，
抛物线的对称轴为直线；
（2）抛物线与轴交于点，，轴，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
，
当时，抛物线所对应的函数解析式为，
当时，抛物线所对应的函数解析式为，
抛物线所对应的函数解析式为或；
（3）
当时，抛物线过点时，则，解得，
，
此时，抛物线与线段有一个公共点．
当时，抛物线过点时，，解得，
此时，，抛物线与线段有一个公共点；
综上所述，当或时，抛物线与线段恰有一个公共点．
25．(1)16
(2)
(3)2
【分析】
（1）先求出，再在中，求出，从而可得；
（2）过作交于，过作于，先证明，再根据，求出，进而可得和及，由得相似，得出，即可得的长；
（3）过作交延长线于，连接，先证明，得，再证明得，是的中位线，，要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，即可得最小值为．
【详解】（1）
，，，
，
，绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上，
，，
中，，
；
（2）
过作交于，过作于，如图：
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
中，，，，，
，
中，，
同理，
，，
，
，
，
，
；
（3）
存在最小值2，理由如下：
过作交延长线于，连接，如图：
绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即是中点，
点为的中点，
是的中位线，
，
要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，
最小为．
【点睛】
本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、相似三角形的性质与判定、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．