福建省莆田市涵江区锦江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

锦江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题（5*8=40分）
1．在空间直角坐标系中， 已知点关于平面的对称点为，关于原点的对称点为，则与的距离为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
2．在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ）
A． B． C． D．
3．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（ ）
日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨
出现 25 5
未出现 25 45
参考公式：
临界值参照表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．出现“日落云里走”， 据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨
4．已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（ ）
A．20 B．60 C．40 D．80
6．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（5*4=20分）
9．以下说法正确的是（ ）
A．袋子中有个大小相同的小球，其中个白球、个黑球.每次从袋子中随机摸出 个球，若已知第一次摸出的是白球，则第二次摸到白球的概率为
B．对分类变量与来说，越大，“与有关系”的把握程度越大
C．由一组观测数据，，，求得的经验回归方程为，其中表示父亲身高，表示儿子身高.如果一位父亲的身高为，他儿子长大成人后的身高一定是
D．已知随机变量，若，则
10．某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差服从正态分布，把质量差在内的产品称为优等品，在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，其余的产品作为废品处理．根据大量的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均数作为的近似值，将样本标准差作为的估计值，已知质量差，则下列说法中正确的是（ ）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
A．样本数据的中位数为
B．若产品质量差为mg，则该产品为优等品
C．该企业生产的产品为正品的概率是
D．从该企业生产的正品中随机抽取件，约有件优等品
11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B．若空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，，则在上的投影向量为
12．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ）

A．满足平面的点的轨迹长度为
B．满足的点的轨迹长度为
C．存在唯一的点满足
D．存在点满足
三、填空题（5*4=20分）
13．某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度的部分数据如下表：
温度 4 8 10 18
微生物数量（个） 30 22 18 14
由表中数据算得回归方程为，预测当温度为时，微生物数量为 个.
14．人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化，现假设人们经分析估计利率下调的概率为0.75，利率不变的概率为0.25．根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为0.8，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为0.3，则该支股票价格将上涨的概率为 ．
15．随机变量的概率分布列如下：
－1 0 1
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ．
16．三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ．
四、解答题（14*5=70分）
17．某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作，并对某图书定价x(元)与当天销量y(本/天)之间的关系进行调查，得到了一组数据，发现变量大致呈线性关系，数据如下表所示
定价x（元） 6 8 10 12
销量y（本/天） 14 11 8 7
参考数据：，
参考公式：回归方程中斜率的最小二乘估计值公式为
(1)根据以上数据，求出y关于x的回归直线方程；
(2)根据回归直线方程，预测当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是多少元？
18．如图，在长方体中，，，点在线段上.

(1)求证：；
(2)当是的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.
19．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
20．某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．
(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；
(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
21．如图，在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，且四棱锥的体积为2.
(1)求三棱柱的高；
(2)若，平面平面为锐角，求平面与平面的夹角的余弦值.
参考答案：
1．B
【详解】解：在空间直角坐标系中，
点关于平面的对称点为，
点关于原点的对称点为，
所以点与的距离为，
2．D
【详解】由F为BE 的中点，得
又
所以，由
得
即所以

3．D
【详解】由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为，A正确；
未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确；
，因此据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确，D错误．
4．D
【详解】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量为.
故选：D
5．B
【详解】因为(单位)服从正态分布，且，
所以，
若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，
则质量在的单果的个数，
所以.
6．B
【详解】
设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，
则，
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.
7．D
【详解】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是，
则，
故随机变量的概率分布列为
0 1 2 3
则数学期望为，
方差为.
②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，
则，故，，
故.
8．A
【详解】因，则，即，
而，则共面，点M在平面内，
又，即，于是得点N在直线上，
棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，
，而，，
所以.
9．ABD
【详解】对于A：在第一次摸出白球后，样本空间缩小为袋子中共有个小球，
其中白球有个，所以第二次摸出白球的概率为，故A正确.
对于B：由独立性检验可知，的值越大，零假设成立的可能性越小，
即“与有关系”的把握程度越大，所以B正确.
对于C：由经验回归方程，可得当时，.，
可以作出推测，当父亲的身高为时，儿子身高一般在左右，所以C错误.
对于D：因为随机变量且，
由正态分布的性质可得，
所以，所以D正确.
10．BCD
【详解】对于A：的频率为，的频率为，
的频率为，且，
设样本数据的中位数为，所以，则，解得，故A错误；
对于B：由题意知，，
优等品质量差在即内，而，故B正确；
对于C：一等品质量差在即内，则正品质量差在和内，即在内，
所以产品为正品的概率为
，故C正确；
对于D：优等品质量差在内，所以产品为优等品的概率为0.6827，
从正品中随机抽取件，有件优等品，故D正确．
11．AD
【详解】对于A：由，即，故，对；
对于B：在中，故P，A，B，C四点不共面，错；
对于C：当，反向共线时也成立，但与夹角不为钝角，错；
对于D：在上的投影向量为，对.
12．ABC
【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，
由正方体的性质知，平面，平面
所以平面，同理平面，，平面，
所以平面平面，又平面，平面，
故点的轨迹为线段，故A正确；

以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，设且，，
，，，

对于B，，即，
又，，则点的轨迹为线段，
，且，故B正确；
对于C，，
显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；
对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，
故，故不存在点满足，故D错误．
13．9
【详解】由表格数据可知，，，
因为点在直线上，所以，
即，故当时，，
即预测当温度为时，微生物数量为9个.
14．/
【详解】记“利率下调”为事件A，“价格上涨”为事件C，则“利率不变”为事件，
由题意知，，，，，
所以．
故答案为：
15．
【详解】因为，，成等差数列，则，又由分布列的性质，则，
所以得，
又因为随机变量的均值且,
故解得，，
所以.
16．
【详解】因为两两垂直，且，所以由勾股定理可知，
所以三棱锥为正三棱锥，记在底面内的投影为，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，
取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系：
设，，，
所以，所以，
设直线与直线的所成角为.所以
17．【详解】（1）由表格可知，
则，
所以，
则，故；
（2）由（1）知，当时，，
即当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是元.
18．【详解】（1）在长方体中，连接，则，
由平面，平面，得，
而平面，因此平面，
又平面，所以.
（2）如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．【详解】（1）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，则，
.
（2）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则.
20．【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率
所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为
记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为，
则
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
（2）依题意，，即，
则有，当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列，则，
时，，
所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
21．【详解】（1）因为四棱锥的体积为2，所以三棱锥的体积为
因为是边长为2的正三角形，所以的面积.
设三棱柱的高为，
则，
解得.
（2）作，垂足为，连接.
因为平面平面，且平面平面，所以平面，
即为三棱柱的高，由（1）可知.
因为，所以，所以.
因为为锐角，所以为的中点，则.
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
所以三线两两垂直，故以为坐标原点，分别以，
的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.
由题中数据可得，
，则.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面的夹角为，
则.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
答案第1页，共2页