珠海市斗门一中 2023-2024 学年度第一学期第一阶段考试
高二数学试题
本试卷共 4 页，19小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只
有一项是符合题目要求的）
1．函数 f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是 （ ）
A．0 f 2 f 3 f 3 f 2 B．0 f 3 f 3 f 2 f 2
C．0 f 3 f 2 f 3 f 2 D．0 f 3 f 2 f 2 f 3
2．记等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a3 a7 6,a12 17，则 S16 （ ）
A．120 B．140 C．160 D．180
3 3 2．若函数 f x ax 3x x 1 恰好有三个单调区间，则实数 a的取值范围是 （ ）
A． ( 3,0) B． (0, )
C． ( , 3) (0, ) D． ( 3,0) (0, )
4．在数列 an 中，若 a1 60，且 an 1 an 3，则这个数列前 30项的绝对值之和为 （ ）
A．495 B．765 C．46 D．76
a
5 n 1 *．若数列 an 满足 a1 2,a2 3,a n a n 3且 n N ，则 a2024 的值为 （ ）n 2
A．3 B．2 C 1． 2 D
2
． 3
6．已知函数 f (x) x3 3ax2 bx a2，若 x= 1时， f (x)取极值 0，则 ab 的值为 （ ）
A．3 B．18 C．3或 18 D．不存在
lg x
7．函数 y 的图像大致是 （ ）
x
A． B． C． D．
答案第 1页，共 4页
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
8．已知函数 f x 的定义域为 0, ，且满足 f x x f x 0（ f x 是 f x 的导函数），则不等式
x 1 f x 2 1 f x 1 的解集为 （ ）
A．(-1,2) B． 1,2 C． 1, D． , 2
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有
多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的按选对个数得分，有选错的 0 分）
9．下列求导运算正确的是 （ ）
A．若 y x 1 ln x，则 y ln x 1 1 B． cos sin x
x 1 1
C x x． 2 2 ln 2 D． ln 2x
x 1 x 1 2 2x
10．下列不等式成立的是 （ ）
A． 2ln
3 3
ln 2 B．
2 2 2 ln 3 3 ln 2
C．5ln 2 2 ln5 D． π e ln π
11．已知等差数列 an 的首项为 a1，公差为d ，前n项和为 Sn，若 S10 S8 S9，则下列说法正确的是（ ）
A． a1 0 d B．使得 Sn 0成立的最大自然数 n 18
S
S
C．| 8 + 9|>|
10
10 + 11| D．
n 中最小项为
an a10
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分，满分 15 分）
f
12 1 x f 1 ．已知函数 y f x 是可导函数，且 f 1 2，则 lim .
x 0 2 x
13 n 1．已知 an 数列满足 a1 2， an 1 2an 2 ，则数列 an 的通项公式为
14．已知函数 f x 2sinx xcosx x， g x x2 2x a a R ，若对任意 x1 0, π ，均存在 x2 1,2 ，
使得 f x1 g x2 ，则实数 a的取值范围是 ．
答案第 2页，共 4页
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
四、解答题（本大题共 5小题，第 15 题满分 13分，第 16-17 题满分 15 分，第 18-19 题
满分 17分，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（13分）．在正项等比数列 an 中， a1 4，a4 a3 2a2．
(1)求 an 的通项公式；
(2)若bn log2 an，证明 bn 是等差数列，并求 bn 的前 n项和 Sn．
1
16 15 2
1 1
（ 分）．已知函数 f x x ．
2 x 2
(1)求 f x 的图像在点 2,f 2 处的切线方程；
1
(2)求 f x 在 , 2 上的值域． 2
17（15分）．某公司生产一种产品，第一年投入资金 1000万元，出售产品后收入 40万元，预计以后每年
的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多 80万元．同时，当预计投入资金低于 20万元
时，就按 20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
(1)设第 n年的投入资金和收入金额分别为 an 万元，bn 万元，请求出 an 、 bn 的通项公式；
(2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．
答案第 3页，共 4页
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
18（17 2分）．已知函数 f x lnx mx 1 2m x 1， m R .
(1)若 f 1 1，求 m 的值及函数 f x 的极值；
(2)讨论函数 f x 的单调性：
(3)若对定义域内的任意 x，都有 f x 0恒成立，求整数 m 的最小值.
19 * 2 *（17分）．已知数列 an 满足： 2an 1 an an 2 n N ，正项数列 bn 满足：bn 1 bn bn 2 n N ，
且2a1 b1 2， a4 b2，b5 4b3．
(1)求 an ， bn 的通项公式；
a2n 1bn 1，n为奇数
2n 1
(2)已知 cn 3an 2 bn 2 ，求： ck ；
，n为偶数 b k 1 n 1 bn 2 1
1 1 1 1 1
(3)求证： 16 3a1 1
2 3a2 1
2 3a n 1
2 3 ．
答案第 4页，共 4页
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高二数学参考答案
1．B【详解】由函数 f x 的图象可知：当 x 0时， f x 单调递增，
f
3 f 2
且增速变缓慢， f 3 f 2 ，表示 AB直线的斜率，根
3 2
据导数的几何意义可知，0 f 3 f 3 f 2 f 2 ，故选：B
2．C【详解】因为 a3 a7 2a5 6，所以 a5 3，所以 a5 a12 3 17 20，
a a 16
所以 S16
1 16 8 a5 a12 160，2
2 a 03．D【详解】依题意知， f x 3ax 6x 1 有两个不相等的零点，故
Δ
，
36 12a 0
解得a 3且 a 0 .
4．B【详解】由题意，可知 an 1 an 3，即 an 1 an 3，即数列 an 为公差为 3的等差数
a 60 a 3n 63 S n( 60 3n 63) n(3n 123)列，又由 1 ，所以 n ， n ，可得当2 2
1 n 20,n N 时，an 0，当 n 21,n N 时，an 0，所以数列前30项的绝对值之和为：
a1 a2 a30 (a1 a2 a20 ) (a21 a22 a30 )
S (S S 30 (3 30 123) 20 (3 20 123) 20 30 20 ) S30 2S20 2 765，2 2
a
5．A【详解】因为 a1 2,a 3,a n 1 *2 n n 3且 n Na ，n 2
a2 3 a3 1 a4 1 a5 2 a6 a7
所以 a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7 2,a8 3a1 2 a2 2 a3 3 a4 3 a5 a
，
6
所以数列 an 具有周期性，且T 6，所以 a2024 a337 6 2 a2 3 .
6．B【详解】由 f x x3 3ax2 bx a2，得 f x 3x2 6ax b， x= 1时， f x 取得极
f 1 1 3a b a2 0 a 1 a 2 a 1
值 0，所以 ，解得 或 ，当 时， f 1 3 6a b 0
b 3 b 9 b 3
2 2 a 2f x 3x 6x 3 3 x 1 0，此时函数在 f x 在 x 1处取不到极值；经检验 时，
b 9
a 2
函数 f x 在 x 1处取得极值 0，满足题意；所以 ，所以 ab 18 .
b 9
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
lg x
7．C【详解】令 f x ， x , 0 0, lg x lg x，因为 f x f x ，
x x x
所以 f x lg x是奇函数，排除 B，又当 x 1时，f x 0恒成立，排除 A，当 x 0时，f x ，
x
x 1 lgx ln e lgx
f x x ln10 ln10 lg e lg x ， 0 x e， f
(x) > 0，函数 f x 单调递
x2 x2 x2
增，当 x e时， f x 0，即函数 f x 单调递减，故 D不正确.
8．C【详解】由 f x x f x 0得： xf x 0令 g x xf x ，则 g x 在 0, 上
x2 1 0
单调递减，由 f x 定义域为 0, 可得： ，解得：
x 1 0
x 1 x 1 f x 2 1 f x 1 x2 1 f x2 1 x 1 f x 1
即： g x2 1 g x 1 x2 1 x 1，解得： x 1综上所述： x 1,
9．AC【详解】对于 A，若 y x 1 ln x，则 y ln x x 1 ln x 1 1，故 A正确；对于
x x
B， cos 1
x 2x x x 0 ，故 B错误；对于 C， 2 ln 2
1
2x ln 2，
x 1 x 1 x 1 2
2 1
故 C正确；对于 D， ln 2x ，故 D错误．
2x x
10．AD【详解】设 f x ln x f x 1 ln x ，则 2 ，当 x 0,e 时， f x 0，当 x e, x x
时， f x 0，故 f x 3在 0,e 上为增函数，在 e, 上为减函数，因 0 2 e，故
2
ln 3
2 ln 2 3 3
3 ，即 2ln ln 2
ln 2 ln 3
，故 A正确；因 0 2 3 e，故 ，即
2 2 2 2 ln 3 3 ln 2
，
2 3
2
ln 4 ln 5 ln 2 ln 5
故 B错误；因 e 4 5，故 ，即 即5ln 2 2ln5，故 C错误；因 e π，
4 5 2 5
ln π ln e
故 即 π eln π，故 D正确；故选：AD.
π e
S8 S9 S9 S8 a 0 a a 8d 011．AD , 9 9 1【详解】根据题意： S S
, ,
10 9 S10 S9 a
即 两式相加，
10 0
a10 a1 9d 0
a1 0
解得： ，故 A正确.由 S10 S8 ，可得到a9 a10 0 a9，所以a8 a11 0
d
，
0
a10 a11 a8 a9 4d 0，a10 a11 a8 a9 0，所以 a8 a9 a10 a11 ，故 C错误；由以
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
上可得： a a a a 0 a a
17 a
， S 1
a17
1 2 3 9 10 11 17 17a9 0，而2
18
S a a 18 1 18 9 a9 a10 0，当 n 17时，Sn 0；当 n 18时，Sn 0；要使得 Sn 02
S S
成立的最大自然数 n 17，故 B错误.当 n 9 n，或 n 18时， 0a ；当9 n 18
n
时， 0a ；n n
S S
由0 a10 a11 a17，S10 S11 S S n
10
12 17 0 ,所以 中最小项为 a ，故 D正确. an 10
12．1【详解】解：因为函数 y f x 是可导函数，且 f 1 2，所以，根据导数的定义，
f 1 x f 1 f 1 x f 1
lim 1 lim 1 f 1 1
x 0 2 x 2 x 0 x 2
n n 1 an 1 an a13． an n 2 【详解】由 an 1 2a
n
n 2 得 2n 1
n 1， n 为等差数列，公差为 1，首项2 2
a n
为 1， nn 1 n 1 n， an n 2 .2
14． ,1 【详解】由题意知 f (x)min g(x)min，由题意 f x cosx xsinx 1，且
g x x2 2x a a R 的对称轴为直线 x 1，所以当1 x 2时，g(x)min g 1 a 1．设
h x f x ，则 h x cosx xsinx 1，所以h x xcosx，当 x 0,
π
时，h x 0；当
2
x π π ,π
时，h x 0
，所以 h x 在区间 0, 上单调递增，在区间 , 上单调递减.
2 2 2
又 h 0 0,h π π 1 0,h π 2，所以 f x 在区间 0, π 上只有一个零点，设为 x0，
2 2
且当 x 0, x0 时， f x 0；当 x x0 , π 时， f x 0，所以 f x 在区间 0, x0 上单调
递增，在区间 x0 , π 上单调递减，又 f 0 0, f π 0，所以当 x 0, π 时， f (x)min 0，
所以0 a 1，即 a＜1．因此，实数 a的取值范围是 ,1 ．
2
15 (1) a 2n 1． n (2)
n 3n
证明见解析， Sn 2
【详解】（1）设 an 的公比为q（ q 0），由 a4 a3 2a ，得 q22 q 2 0，解得 q= 2或 q 1
a 4 a a qn 1 4 2n 1 2n 1（舍去），因为 1 ，所以 n 1 ．
（2）由（1 n 1）可知，bn log2 an log2 2 n 1，则bn 1 bn n 2 n 1 1．因为b1 2，
2
所以 bn
n n 1 d
是以 2为首项，1为公差的等差数列，故 Sn nb1 2n
n(n 1) n 3n
．
2 2 2
16．(1) 7x 4y 2 0； (2) 2,3 ．
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
f x 1 x2 1 1 f x 1 7【详解】（1）因为 ，所以 x 2 ，所以 f 2 3， f 2 ，故2 x 2 x 4
7
所求切线方程为 y 3 x 2 ，即7x 4y 2 0．
4
2
x3 1 x 1 x x 1 1（2）由（1）知 f x ， x , 2 ．令 f (x2 2 ) > 0，得1 x 2；x x 2
令 f x 0 1，得 x 1．所以 f x 1 在
2
,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增，所以 2
f x fmin 1 2 f
1 21 1
．又 ， f 2 3，因为 f 2 f2 8 ，所以 2 f x 3， 2
即 f x 1在 , 2
上的值域为 2,3 ． 2
n 1 1 80n 40,1 n 6
17．(1)a
1000 ,1 n 6 *
n 2 ,n N ，bn , n N
* (2)该公司从
440,n 7
20,n 7
第 8年开始盈利
1 n 1 n 11 a 1000 1 【详解】（ ）由题知： ，当1000 20 ， n N*n ，解得1 n 6，
2 2
1 n 1
a 1000 ,1 n 6
80n 40,1 n 6
所以 n 2 ,n
N* .bn
*
, n N .
440,n 7
20,n 7
1
n
1000 1
（2）当1 n 6时，总利润 n 40 80n 40
2 n
S
n 1 2000
1
40n
2 2000 .
2 1 2
2
S S 1
n x
因为 n n 1 2000
80n 40, n 2 ， f x 2000
1
80x 40, x 2 为增函
2 2
3 4
数，且 f 3 2000 1 240 40 0
1
，f 4 2000
2
320 40 0，所以当 2 n 3
2
时， Sn Sn 1，当 4 n 6时， S S S 2000
1
n n 1，因为 1 40 2000 0，2
6
S6 2000
1
40 36 2000 528.75 0 ，
2
所以1 n 6时， Sn 0，即前 6年未盈利.当 n 7时， Sn 528.75 440 20 n 6 ，令
Sn 0，解得n 8，所以该公司从第 8年开始盈利.
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
f 1 118．(1)m 1，极大值为 ln 2，无极小值 (2)答案见解析 (3)1
2 4
【详解】（1） f x 的定义域为 0, ，因为 f x ln x mx2 1 2m x 1， f 1 1，
则 f 1 3m 2 1，解得m 1.当m 1时， f x ln x x2 x 1，
1 x 1 2x 1 1
1
f x 2x 1 .当0 x 时， f (x 0 ) > ，则 f x 在
x x 2
0, 上单调递增；
2
x 1 f x 0 f x 1 , 1当 时， ，则 在 上单调递减；所以 f x 在 x 时取得极大值且2 2 2
1 1
极大值为 f ln 2，无极小值．
2 4
1 2mx
2 2m 1 x 1 2mx 1 x 1
（2）因为 f x 2mx 1 2m x 0 ，当m 0
x x x
时，f x 0在 0, 上恒成立，此时 f x 在 0, 1上单调递增；当m 0时，当0 x
2m
1
时，f x 0，则 f x 0, 1 1 在 上单调递增；当 x 时，f x 0，则 f x 在
2m 2m
,
2m
1
上单调递减；综上：当m 0时， f x 在 0, 上单调递增；当m 0时， f x 在 0, 2m
1
上单调递增，在 , 上单调递减，
2m
（3 2）解法一：若对定义域内的任意 x，都有 f x 0恒成立，所以 ln x mx 1 2m x 1 0，
即 ln x x 1 m x2 2x 在 0, ln x x 1上恒成立，即m 2 在 0, 上恒成立，设x 2x
F x ln x x 1
x 1
F x x 2ln x ，则 2 2 2 .设 x x 2ln x ，则x 2x x 2x
x 1 2 0所以 x 在 0, 上单调递减，
x
因为 1 1 0 1 1 1 1 1， 2ln 2ln 2 0
，所以 x
2 2 2 2 0
,12
，使得 x0 0，
即 x0 2ln x0 0 .
当 x 0, x0 时， x 0，当 x x0 , 时， x 0 .所以 F x 在 0, x0 上单调递增，
在 x0 , 上单调递减，所以
F x F x ln x0 x0 1 2ln x 2x 2 x 0 0 0 2 1 1 max 0 x 2 2x 2 x 2 2x 2x x 2 2x .因为 x0 ,1 ，0 0 0 0 0 0 0 2
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
1 1
所以 2x
,1
2 故整数 m 的最小值为 10
解法二：若对定义域内的任意 x，都有 f x 0恒成立，由（2）可知，当m 0时， f x 在
0, 上单调递增，因为 f 1 3m 2 0，显然不符合对定义域内的任意 x，都有 f x 0
1 1
恒成立；由（2）可知，当m 0 时， f x 在 0, 上单调递增，在 , 上单调递减， 2m 2m
1 1 1 1 2m 1 1
所以 f x 有最大 f ln 1 ln m 0 .若对定义域内的任意
2m 2m 4m 2m 2m 4m
1
x，都有 f x 0 f 0 1 1恒成立，只需要 即可.设 g m ln ，显然
2m 2m 4m
g m ln 1 1 1 1 1 1 在 0, 上单调递减，因为 g 0 g 1 ln 02 2 ， ，2m 4m 2 4
1
g 2 ln 1 1 0 ，所以要使 f 0，只需要整数m 1，故整数 m 的最小值为 1.4 8 2m
2n 1 (12n 1)4n 1 2n 2 83
19．(1)a nn n，bn 2 (2) ck n 1 (3)证明见详解
k 1 9 4 1 45
【详解】（1）因为 2an 1 a a
*
n n 2 n N ，所以数列 an 为等差数列，设公差为d ，
2
因为bn 1 bn bn 2 n N* ，所以数列 bn 为等比数列，设公比为q，且q 0，
因为2a1 b1 2， a4 b2，b5 4b3，
a1 3d b1q 1 3d 2q q 2
n 1 n所以 b q4 4b q2 ，即 4 2 ，解得 ，所以
an 1 n 1 1 n，bn 2 2 2 .
1 1 q 4q d 1
(2n 1)2 n 1,n为奇数
(2n 1)2
n 1,n为奇数
n
（2）由（1）可知，由 cn (3n 2)2 2
,n为偶数
n n 2 ，
2n 1 2n 2 1
,n为偶数
2n 1 2n 2 1
记 An 1 c1 c3 c5 c c 1 20 5 222n 1 2n 1 9 24 (4 n 3) 22 n 2 (4 n 1) 22 n
1 40 5 41 9 42 (4 n 3) 4 n 1 (4 n 1) 4 n
4An 1 1 4
1 5 42 (4n 3) 4n (4n 1) 4n 1
作差, 得:
n 2 n 1
3A 2 3 n 1 n 1 16 4 n 1 13 (1 12 n)4n 1 1 4 4 4 (4n 1) 4 1 (4n 1) 4 1 4 3 3
, A 13 (12n 1)4
n 1
所以 n 1 9 9
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
令Bn c2 c4 c6 c2n
2 4 4 6 6 8 2n 2n 2 2 4 4 6
2 1 2 1 2 1 2 1 26 1 28 1 22n 1 22n 2 1
2 2n 2
5 4n 1 1
2n 1
c A B 13 (12n 1)4
n 1 2 2n 2 (12n 1)4n 1 2n 2 83
∴ k n 1 n n 1 n 1 .
k 1 9 9 5 4 1 9 4 1 45
（3）令 d
1
n 2 ，因为 dn 0n ，且d
1
3 1 1 ，16
1 1 1 1
所以 3 1 2 3 2 1 2
3n 1 2 16成立；
1 1 1 1 1
因为 2
3n 1 3n 2 3n 1 3 3n 2 3n 1 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1所以
，3 2 1 3 2 1 2 3n 1 2 3 4 4 7 3n 2 3n 1 3 3n 1
1 1 1 1
因为 n N* ，所以 0，故 1 ，综上，所以3n 1 3 3n 1 3
1 1 1 1 1
2 2 16 3a1 1 3a
2 3 .
2 1 3a n 1
{#{QQABIQYQggigAJJAARhCAQEgCgMQkACAAKoGgEAMIAIAiAFABAA=}#}
