全等三角形中的
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全等三角形中的“开放性”试题例析
在近几年的中考试题中，各省市经常以此考点出开放性试题，这类试题有些还有点难度，要求大家学会处理这类试题的思路，为此本文精选几题供大家赏析：
一、补充条件型
例1 (广东省深圳市)如图1，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是_ ．
【分析】要使△ABC≌△DCB，题中已具备两个条件AC＝BD（已知），BC＝CB（公共边），所以从全等三角形的判定上考虑增加边与夹角．
解：根据三角形全等的判定方法SAS可填∠ACB＝∠DBC，根据SSS可填AB＝DC．
评析：①本题探求使结论成立的条件不止一个，解答时要注意将添加的条件和题目中已知条件一起推导出结论成立；②但此题部分同学易填∠A＝∠D，这是错误的，没有这个“两边和一边的对角对应相等的两个三角形全等”的判定．
二、判断或写出结论型
例2 (广州市)如图2，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，请写出正确结论的序号 ．（注：将你认为正确的结论序号都填上）
【分析】本题成立的结论不止一个，必须一个一个进行筛选．
解：∵ CB为△AEC的中线，
∴ AE＝2AB，∵ AB＝AC，∴AE＝2AC，故①正确；
延长CD到F，使DF＝CD,∵ CD为△ABC的中线，
∴ AD＝BD，∵ ∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD （SAS）
∴ AC＝BF，∠A＝∠ABF；∵ AC＝AB＝BE，
∴ BF＝BE，∠ACB＝∠ABC，
∵ ∠CBE＝∠A＋∠ACB＝∠ABF＋∠ABC，∴ ∠CBE＝∠CBF，∵ BC＝BC，
∴ △BCF≌△BCE，∴ CE＝CF＝2CD，∠ECB＝∠FCB，即CB平分∠DCE．故②④也正确．所以填①②④．
评析：本题属于结论开放题，这对学生的能力要求也较高，必须将正确的结论找对、找全．另外在解与三角形的中线有关问题时，如果不能直接求解（证），则常将中线延长一倍，借助全等三角形等知识来求解（证），这也是一种常作的辅助线．
三、条件、结论组合型
例3 （漳州市）如图3，给出五个等量关系：①AD＝BC，②AC＝BD，③CE＝DE，④∠D＝∠C，⑤∠DAB＝∠CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题(只需写出一种情况)，并加以证明．
【分析】本题应从三角形全等方面来考虑，要证三角形全等，应有三角形全等的三个条件，而题目要求只能用所给等量关系中的两个，因此就要找出图形隐含的等量关系．（AB可作公共边；∠DEA＝∠CDB， 是对顶角）．
解：以AB为公共边来考虑以下几种有：
（1）①AD＝BC，⑤∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得②，③，④的结论．
（2）①AD＝BC，②AC＝BD，AB＝BA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得③，④，⑤的结论．
（3）②AC＝BD，AB＝BA，⑤∠DAB＝∠CBA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得①，③，④的结论．
以∠DEA＝∠CDB，是对顶角来考虑有：
（1）③CE＝DE，④∠D＝∠C，∠DEA＝∠CDB，可证得△DAE≌△CBE；从而证得①，②，⑤的结论．
（2）①AD＝BC，④∠D＝∠C，∠DEA＝∠CDB，可证得△DAE≌△CBE；从而证得②，③，⑤的结论．
评析：本题集开放性和设计于一体，其设计背景是利用三角形的全等变换，结合所给出的制约条件，编制真命题．这类问题灵活性高，思路开阔，充分体现同中求异的思维，也是近几年各类考试中常出现的新题型．
练习：
1、(长沙市)如图4，AB＝AC ，要使，应添加的条件是____________ (添加一个条件即可)
2、（长沙市）如图5，已知MB＝ND，∠MBA＝NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN．（ ）
Ａ．∠M＝∠N； Ｂ. AB＝CD， Ｃ. AM＝CN； Ｄ. AM∥CN．
3、（海南省）如图6，△ABC≌AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
Ａ．1个；Ｂ． 2个；Ｃ． 3个；Ｄ． 4个．
4、（扬州市）如图7，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
1 AB＝DE，②AC ＝ DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF．
已知：
求证：
证明：
【参考答案】：
1、 AD＝AE或∠B＝∠C或∠ADC＝∠AEB，
2、Ｃ
3、Ｃ
4、命题一：
在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上， AB＝DE，AC ＝ DF，∠ABC＝∠DEF．求证：BE＝CF．
命题二：
在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF．求证：∠ABC＝∠DEF．
命题三：
在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF．求证：AC＝DF．
命题四：
在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AC＝DF，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF．求证：AB＝DE．
下面证明命题二：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，
BE＝CF．
求证：∠ABC＝∠DEF．
证明：在△ABC和△DEF中，
因为BE＝CF，
所以BC＝EF；
又因为AB＝DE，AC＝DF ，
所以△ABC≌△DEF（SSS）．
所以∠ABC＝∠DCB．
A
D
B
C
图5
图3
图4
E
图7
图2
图1
图5
图6
在近几年的中考试题中，各省市经常以此考点出开放性试题，这类试题有些还有点难度，要求大家学会处理这类试题的思路，为此本文精选几题供大家赏析：
一、补充条件型
例1 (广东省深圳市)如图1，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是_ ．
【分析】要使△ABC≌△DCB，题中已具备两个条件AC＝BD（已知），BC＝CB（公共边），所以从全等三角形的判定上考虑增加边与夹角．
解：根据三角形全等的判定方法SAS可填∠ACB＝∠DBC，根据SSS可填AB＝DC．
评析：①本题探求使结论成立的条件不止一个，解答时要注意将添加的条件和题目中已知条件一起推导出结论成立；②但此题部分同学易填∠A＝∠D，这是错误的，没有这个“两边和一边的对角对应相等的两个三角形全等”的判定．
二、判断或写出结论型
例2 (广州市)如图2，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，请写出正确结论的序号 ．（注：将你认为正确的结论序号都填上）
【分析】本题成立的结论不止一个，必须一个一个进行筛选．
解：∵ CB为△AEC的中线，
∴ AE＝2AB，∵ AB＝AC，∴AE＝2AC，故①正确；
延长CD到F，使DF＝CD,∵ CD为△ABC的中线，
∴ AD＝BD，∵ ∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD （SAS）
∴ AC＝BF，∠A＝∠ABF；∵ AC＝AB＝BE，
∴ BF＝BE，∠ACB＝∠ABC，
∵ ∠CBE＝∠A＋∠ACB＝∠ABF＋∠ABC，∴ ∠CBE＝∠CBF，∵ BC＝BC，
∴ △BCF≌△BCE，∴ CE＝CF＝2CD，∠ECB＝∠FCB，即CB平分∠DCE．故②④也正确．所以填①②④．
评析：本题属于结论开放题，这对学生的能力要求也较高，必须将正确的结论找对、找全．另外在解与三角形的中线有关问题时，如果不能直接求解（证），则常将中线延长一倍，借助全等三角形等知识来求解（证），这也是一种常作的辅助线．
三、条件、结论组合型
例3 （漳州市）如图3，给出五个等量关系：①AD＝BC，②AC＝BD，③CE＝DE，④∠D＝∠C，⑤∠DAB＝∠CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题(只需写出一种情况)，并加以证明．
【分析】本题应从三角形全等方面来考虑，要证三角形全等，应有三角形全等的三个条件，而题目要求只能用所给等量关系中的两个，因此就要找出图形隐含的等量关系．（AB可作公共边；∠DEA＝∠CDB， 是对顶角）．
解：以AB为公共边来考虑以下几种有：
（1）①AD＝BC，⑤∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得②，③，④的结论．
（2）①AD＝BC，②AC＝BD，AB＝BA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得③，④，⑤的结论．
（3）②AC＝BD，AB＝BA，⑤∠DAB＝∠CBA，可证得△DAB≌△CBA；从而证得①，③，④的结论．
以∠DEA＝∠CDB，是对顶角来考虑有：
（1）③CE＝DE，④∠D＝∠C，∠DEA＝∠CDB，可证得△DAE≌△CBE；从而证得①，②，⑤的结论．
（2）①AD＝BC，④∠D＝∠C，∠DEA＝∠CDB，可证得△DAE≌△CBE；从而证得②，③，⑤的结论．
评析：本题集开放性和设计于一体，其设计背景是利用三角形的全等变换，结合所给出的制约条件，编制真命题．这类问题灵活性高，思路开阔，充分体现同中求异的思维，也是近几年各类考试中常出现的新题型．
练习：
1、(长沙市)如图4，AB＝AC ，要使，应添加的条件是____________ (添加一个条件即可)
2、（长沙市）如图5，已知MB＝ND，∠MBA＝NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN．（ ）
Ａ．∠M＝∠N； Ｂ. AB＝CD， Ｃ. AM＝CN； Ｄ. AM∥CN．
3、（海南省）如图6，△ABC≌AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
Ａ．1个；Ｂ． 2个；Ｃ． 3个；Ｄ． 4个．
4、（扬州市）如图7，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
1 AB＝DE，②AC ＝ DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF．
已知：
求证：
证明：
【参考答案】：
1、 AD＝AE或∠B＝∠C或∠ADC＝∠AEB，
2、Ｃ
3、Ｃ
4、命题一：
在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上， AB＝DE，AC ＝ DF，∠ABC＝∠DEF．求证：BE＝CF．
命题二：
在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF．求证：∠ABC＝∠DEF．
命题三：
在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF．求证：AC＝DF．
命题四：
在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AC＝DF，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF．求证：AB＝DE．
下面证明命题二：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，
BE＝CF．
求证：∠ABC＝∠DEF．
证明：在△ABC和△DEF中，
因为BE＝CF，
所以BC＝EF；
又因为AB＝DE，AC＝DF ，
所以△ABC≌△DEF（SSS）．
所以∠ABC＝∠DCB．
A
D
B
C
图5
图3
图4
E
图7
图2
图1
图5
图6