用二次函数解决问题（利润最大）
班级 姓名
一、学习目标
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型 ( http: / / www.21cnjy.com )．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
二、问题情境
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 ( http: / / www.21cnjy.com )件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）设每件衬衫每降价x元, 每天盈利y元，写出y与x的函数关系式；
（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（3）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
三、生生互动
（1）分析讨论，找出关系为：
（2）正确写出函数关系式为：
（3）质疑问难，达成共识
问题1：将进货为30元的某种商品按40元一 ( http: / / www.21cnjy.com )个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少10个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
四、师生互动：
问题2：某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
x 3 5
y 18 14
（1）已知y是x的一次函数
求销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：
试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
五、 当堂检测
1.某果园有100棵橙子树 ( http: / / www.21cnjy.com ),每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量y个与增种橙子树的棵数x之间的关系.
⑵利用函数图象描述增种橙子树的棵数x为多少时，总产量最大？
2．某商场将进价40元一个的某种商品按 ( http: / / www.21cnjy.com )50元一个售出时，能卖出500个.商场想采用提高售价的方法来增加利润。已知这种商品每个涨价1元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少元？
二次函数的应用（1）（利润最大） 姓名________ 家长签名______
1．函数是抛物线，则＝ .
2．抛物线与轴交点为 ，与轴交点为 .
3．二次函数的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ，当 时，随的增大而增大.
4．抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到.
5．在同一坐标系中，作、、的图象，它们共同特点是 ( )
A.都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线开口向下
D.都是关于原点对称，顶点都是原点 D．都是关于轴对称，顶点都是原点
6．抛物线的图象过原点，则为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
7．把二次函数配方成顶点式为（ ）
A． B． C． D．
8．已知原点是抛物线的最高点，则的范围是( )
A． B． C． D．
9．抛物线在轴上截得的线段长度是 ．
10．某种粮大户去年种植优质水稻3 ( http: / / www.21cnjy.com )60亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元，试问，该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益y最大？
11．某商店购进一批单价为20元的 ( http: / / www.21cnjy.com )日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如果售价为x元，总利润为y元。
（1）写出y与x的函数关系式
（2）当售价x为多少元时，总利润为y最大，最大值是多少元？
12.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 ( http: / / www.21cnjy.com )7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．
（2）写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
初三数学(下)
教学案
课后作业用二次函数解决问题（面积最大）
班级 姓名
一、学习目标
用三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
二、问题情境
1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
三、生生互动
1、某建筑物窗户如图所示，它的上半部是 ( http: / / www.21cnjy.com )半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
四、师生互动：
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3c ( http: / / www.21cnjy.com )m，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE ( http: / / www.21cnjy.com )边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
五、 当堂检测
如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？
二次函数的应用（2）（面积最大） 姓名_________ 家长签名________
1. 二次函数y=x2-3x-4的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标是 , 对称轴是直线 ，与x轴的交点是 ，当x= 时，y有最 ，是 .
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.
当x 时， y<0，
3．周长为16cm的矩形的最大面积为 ，
实际上此时矩形是 ．
4．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是 ．
5．如果一条抛物线与抛物线y=－x2＋2的形状、开口方向相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是 ．
6．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为 ．
7．抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A．y=3（x＋2）2＋1 B．y=3（x－2）2－1
C．y=3（x＋2）2－5 D．y=3（x－2）2－2
8．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（ ）
A．（－1，1） B．（1，－1） C．（－1，－1） D．（1，1）
9．如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
10．在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN．其中DE在AB上，AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
11．某公司生产的A种产品，它的成 ( http: / / www.21cnjy.com )本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x（10万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；
（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
初三数学（下）教学案
课后作业
