用一元二次方程解决问题（2）
学习目标：
1、能够掌握巧设未知数，解题过程化繁为简。；
2、能够理解与增长或减低的百分率有关问题的数量关系，并列出方程解；
3、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，增强数学应用意识。
4、进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
学习重点：列方程解应用的关键——找出等量关系。
学习难点：检验所得结果是否符合实际意义。
学习过程：
一、情境和探究：
情境1、某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
分析：若一次降价百分率为x， ( http: / / www.21cnjy.com )则一次降价后零售价为原来的(1－x)倍，即56(1－x)元；第二次降价百分率仍为x，则第二次降价后的零售价为56(1－x)的(1－x)倍．
解 设平均降价百分率为x，根据题意，得
56(1－x)2＝31.5．
解这个方程，得
x1=0.25，x2=1.75．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意，符合本题要求的是x=0.25=25%．
答：每次降价百分率为25%．
情境2、甲型H1N1流感病 ( http: / / www.21cnjy.com )毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
二、实践和探讨：
1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？
2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上 ( http: / / www.21cnjy.com )各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．
3、某商店2月份营业额为50万元，春节过后3 ( http: / / www.21cnjy.com )月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48.3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？
三、拓展和提高：
某商场于第一年初投入50万元进行商品经营， ( http: / / www.21cnjy.com )以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元 （用代数式来表示）（注：年获利率=×100%）
（2）如果第二年的年获利率多 ( http: / / www.21cnjy.com )10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
解:（1）∵年获利率=×100%,
∴第一年年终的总资金是(50+50p)万元，即50 (1+p)万元.
（2）则依题意得：50 (1+p) (1+p+10%)=66
把(1+p)看成一个整体，整理得：(1+p)2+0.1(1+p)1.32=0，
解得：1+p=1.2或1+p=1.1，
∴p1=0.2， p1=2.1 (不合题意舍去).
∴p=0.2=20%.
∴第一年的年获利率是20%.
四、归纳和小结：
1、这堂课你学到了什么？
2、通过这堂课你有什么体会？
五、布置作业：
课后作业：课课练P75-77；
家庭作业：半张讲义。
六、教后反思：用一元二次方程解决问题（1）
学习目标：
1、掌握列方程解应用题的主要步骤；
2、能够理解与数字、面积有关问题的数量关系，并列出方程解；
3、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，增强数学应用意识。
4、进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
学习重点：列方程解应用的关键——找出等量关系。
学习难点：检验所得结果是否符合实际意义。
学习过程：
一、情境和探究：
情境1、（1）已知两个数的和等于17，积等于60，求这两个数。
（2）两个连续奇数的积为323，求这两个数。
（3）一个两位数，个位数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数。
情境2、学校生物小组有一块长32m，宽2 ( http: / / www.21cnjy.com )0m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540 m2，小道的宽应是多少？
图23.2.1 图23.2.2
分析 ：问题中没有明确小道在试验田中的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关．设道路宽为xm，则两条小道的面积分别为32x m2和20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得
32×20－32x－20x＋x2=540．
如果设想把道路平移到两边，如图所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？
情境3、如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm2的无盖长方体容器，求这个铁皮的长和宽。
分析和解答：课本P95。
二、实践和探讨：
1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和 ( http: / / www.21cnjy.com )宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽．
2．学校课外生物小组的试验 ( http: / / www.21cnjy.com )园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．
（第7题）
三、自主练习：
1、①两个连续奇数的乘积等于323，求这两个数。
②一个三位数，个位上数字刚好是百位上数字的平方，十位上数字比百位数字大1，该数的前两位成的数比后两位构成的数小15，求这个两位数。
2、课本P96练习1、2
四、归纳和小结：
1、列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤：
（1）审题，（2）设出未知数，（3）找 ( http: / / www.21cnjy.com )等量关系列出方程，（4）用适当方法解方程，（5）检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去，（6）答。
2、要注意各个环节的准确性。
3、数字问题中，若已知条件中涉及数位上数字，则设未知数时通常将某个数位上的数字设为未知数，若未涉及则将通常整个数设成未知数。
五、布置作业：
课后作业：课课练P73-75；
家庭作业：半张讲义。
六、教后反思：用一元二次方程解决问题（4）课后作业 班级 姓名
1．商场某种商品平均每天可销售3 ( http: / / www.21cnjy.com )0件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元。据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
△2．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )元。
（1）填表（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
3．某公司投资新建了一商场,共有商 ( http: / / www.21cnjy.com )铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出。每间的年租金每增加5 000元，少租出商铺1间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
4．小丽为校合唱队购买某种服装时，商 ( http: / / www.21cnjy.com )店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
☆5．某汽车销售公司6月份销售某厂 ( http: / / www.21cnjy.com )家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元。
① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；
② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）用一元二次方程解决问题（1）课后作业 班级 姓名
1．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A． x(x1)=10 B． =10 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) C． x(x+1)=10 D． =10 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
△2．某校九年级学生毕业时，每 ( http: / / www.21cnjy.com )个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． x(x1)=2070 B． x(x+1)=2070 C． 2x(x+1)=2070 D． =2070 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．下图是某月的日历表，在此日历表上可 ( http: / / www.21cnjy.com )以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）．
A．32 B．126 C．135 D．144
5．长方形的周长为12cm，长是宽的2倍，则长为 cm．
6．右图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为x ( http: / / www. )cm，则可列出关于x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的方程为 ．
7．如图，在一块长为22m、宽为17m的矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形一边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2．若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为 ．
7．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数
△8．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对换后，所得的新数与原来的两位数的积为736，求原来的两位数。
9．如图，是上海世博园内的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图内阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么花园各角处的正方形观光休息亭的周长为多少米？
△10．我市某单位准备将院内一块长30 ( http: / / www.21cnjy.com )m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）用一元二次方程解决问题（3）
学习目标：
1、能够理解与铁丝围矩形有关问题的数量关系，并列出方程解；
2、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，增强数学应用意识。
3、进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
学习重点：列方程解应用的关键——找出等量关系。
学习难点：检验所得结果是否符合实际意义。
学习过程：
一、情境和探究：
情境1、一根长为22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32cm2的矩形？并说明理由。
分析和解答：参考课本P97。
探索：1、如何找出这个问题的等量关系？
2、猜一猜，这根铁丝围成的矩形中，面积最大的是多少？
情境2、如图，在矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=6cm，BC=3cm，点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤3)，那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？
二、实践与探讨：
1、为了改善小区环境，某小区决定要 ( http: / / www.21cnjy.com )在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为45m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym .
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积为225 m ？
2、如图，正方形ABCD的边 ( http: / / www.21cnjy.com )长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上，
（1）若BE=a，求DH的长；
（2）当点E在BC边上的什么位置时，△DHE的面积=3.5 a2？
三、自主练习：
课本P97思考与探索和P98练习
四、归纳和小结：
1、这堂课你学到了什么？
2、通过这堂课你有什么体会？
五、布置作业：
课后作业：课课练P77-79；
家庭作业：半张讲义。
六、教后反思：
A
B
C
D
P
Q
D
C
B
A
25m
A
B
D
C
E
F
H
G用一元二次方程解决问题（3）课后作业 班级 姓名
△1．如图，将矩形沿图中虚线(其中x＞y)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y=2，则x的值等于（ ）
A．3 B．2－1 C．1＋ D．1＋
2．要建造一个面积为130平方米的巨型仓库， ( http: / / www.21cnjy.com )仓库的一面靠墙（墙长16米），现有能围成33米长的木条，求垂直于墙的一边长为多少？（变形若条件都不变的情形下，想围一个面积为600平方米的仓库，这种想法能实现吗？
3．如图，在Rt△ACB中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
4．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一 ( http: / / www.21cnjy.com )边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，求AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．
( http: / / www.21cnjy.com )
△5．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2．”他的说法对吗？请说明理由．
☆6．“？”的思考：下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”结果为何正确呢？
请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
B
C
A
Q
P
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得x 2x=288．
解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）
答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．
？用一元二次方程解决问题（4）
学习目标：
1、能够理解降价多销有关问题的数量关系，并列出方程解；
2、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，增强数学应用意识。
3、进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
学习重点：列方程解应用的关键——找出等量关系。
学习难点：检验所得结果是否符合实际意义。
学习过程：
一、情境和探究：
情境1、某百货商店服装柜在销售中发 ( http: / / www.21cnjy.com )现：“宝乐”牌童装平均每天可出售20件，每件盈利40元，为了迎接儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
二、实践与探讨：
1、某商店准备进一批季节性小 ( http: / / www.21cnjy.com )家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应至少进货多少个？定价为多少？
2、某高科技发展公司投资500万 ( http: / / www.21cnjy.com )元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资）z万元。
①试写出y与x之间的函数关系式；（不必写出x的取值范围）
②试写出z与x之间的函数关系式；（不必写出x的取值范围）
③计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
三、拓展和提高：
某商场今年5月份销售一种新产品，其进 ( http: / / www.21cnjy.com )价是每件80元，售价是每件120元，当月销售600件，6月份，经市场调查知：该产品的售价每降低1元，每月销售量将增加60件，但每件的最低售价不能低于106元，为增加理论，减少库存，商场决定适当降低该产品的售价，
（1）写出6月份降低该产品的售价后，商场所获得利润y与每件降低x元（x为整数）之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）每件产品降价多少元时，商场销售该产品所获利润比上月增加50%。
四、自主练习：
课本P98思考与探索和P99练习
五、归纳和小结：
1、这堂课你学到了什么？
2、通过这堂课你有什么体会？
六、布置作业：
课后作业：课课练P79-81；
家庭作业：半张讲义。
七、教后反思：用一元二次方程解决问题（2）课后作业 班级 姓名
1．青山村种的水稻2011年平均每公顷产8 000 kg，2013年平均每公顷产9 680 kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．
解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
（Ⅰ）用含x ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的代数式表示：
① 2012年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
② 2013年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
（Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ；
（Ⅲ）解这个方程，得 ；
（Ⅳ）检验： ；
（Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %．
2．随着人们节能意识的增强，节能产 ( http: / / www.21cnjy.com )品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2011年为5万只，预计2013年将达到7.2万只．求该商场2011年到2013年高效节能灯年销售量的平均增长率．
△3．某商场今年2月份的 ( http: / / www.21cnjy.com )营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．
4．某中心城市有一楼盘，开发商准备 ( http: / / www.21cnjy.com )以每平方米7000元的价格出售。由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售。
（1）求平均每次下调的百分比；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力。请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
5．为落实素质教育要求，促进学生 ( http: / / www.21cnjy.com )全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；
（2）从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？
6．随着人们经济收入的不断提高及汽 ( http: / / www.21cnjy.com )车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
☆（2）为保护城市环境，缓 ( http: / / www.21cnjy.com )解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆？
