4.3.1 课时1 等比数列的概念 学案（表格式，含答案） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
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| 名称 | 4.3.1 课时1 等比数列的概念 学案（表格式，含答案） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 210.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-23 17:23:05 | ||
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文档简介
等比数列的概念
学习目标 1.通过实例，理解并抽象出等比数列和等比中项的概念. 2.探索并归纳出等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单的问题.
学习活动
导入：说说什么是等差数列，其通项公式是什么？ 参考答案：1.等差数列定义：从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数的数列； 2.通项公式：，其中是首项，为公差. 目标一：通过实例，理解并抽象出等比数列和等比中项的概念. 任务1：阅读教材P27的四个数例，回答下列问题. 数列1…数列2…数列3…数列4…数列5…数列6
问题1：上述数例中的各数列有什么取值规律？由此你能发现它们有什么共性？ 参考答案：共性：从第2项起，后项与前项之比都等于相同常数. 问题2：类比等差数列的定义，说说什么是等比数列？ 【概念生成】 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示. 符号表示：. 注：（1）等比数列各项不能为0；（2）数列任意前后两项之比为定值. 练一练： 观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比；若不是，说明理由. 2, 4, 16, 64, … 不是，前后两项之比不同； (2) 5，-5，5，-5, … 是，； (3) 1，0，1，0，… 不是，不能等于0； (4) … 不是，当时，不满足. 问题3：在如下的两个数之间插入一个什么数后，得到的三个数会成为一个等比数列： （1）1，（ ）， 9； （2）-1，（ ），-4 参考答案：；. 问题4：类比等差中项的概念，说说什么是等比中项？ 【概念讲解】 等比中项：如果在与中间插入一个数G，使成等比数列，那么G叫做与的等比中项. 根据等比数列的定义，可以推出 思考: 任何两个非零实数都有等比中项吗？ 【归纳总结】 同号的两数的等比中项有两个,它们互为相反数；异号的两数没有等比中项.
目标二：探索并归纳出等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单的问题. 任务1：类比等差数列通项公式推导方法推导等比数列同学公式. 问题1：我们知道等比数列满足：，由此如何类比等差数列通项公式的推导推导等比数列通项公式？ 参考答案：法1：（不完全归纳法）设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得，所以 …… . 又，即当n=1时上式也成立．因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为 法2：（累乘法）设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得，则 将以上(n-1)个式子相乘，得 又，这就是说，当n=1时上式也成立．因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为 由此我们便得到了等比数列的通项公式： 【归纳总结】 等比数列通项公式：，其中首项为，公比为q. 任务2：利用等比数列通项公式求解有关等比数列问题. 例1：若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,求的第5项. 问题1：该题目已知条件有几个，如何利用等比数列通项公式求解？ 参考答案：两个，分别是已知等比数列的第4项和第6项的值.解：由，，得，②的两边分别除以①的两边，得.解得. 把代入①，得.此时，把代入①，得.此时 .因此，的第5项是24或-24. 思考：利用等比数列通项公式求解等比数列问题时，需要已知多少条件？ 【归纳总结】 只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项. 问题2：除了上述利用等比数列通项公式求解，还有没有其他办法？ 参考答案：解：因为是与的等比中项，所以.所以.因此，的第5项是24或-24. 例2：已知等比数列的公比为, 试用的第项表示. 参考答案：解：由题意，得，① . ②的两边分别除以①的两边，得= 所以 . 【归纳总结】 等比数列的任意一项，都可以有该数列的某一项和公比表示，即. 例3：数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列. 问题1.如何设这个数列未知项会使得列式比较简单？ 参考答案：因为已知条件是说前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，因此以第三项为基础，设等比数列的公比为q，等差数列的公差为d，所以数列的各项依次为 ,80,80, 80. 问题2.求该数列的各项. 参考答案：由问题1可列式：，解得 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48. 练一练： 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 参考答案：解：法1：设这四个数依次为, 于是得解方程组，得 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 法2：设这四个数依次为, 于是得解方程组，得 所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝3，时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
学习总结
任务：回答下列关问题，构建知识导图. “定义”、“通项公式”、“等比中项” 参考答案：
2
学习目标 1.通过实例，理解并抽象出等比数列和等比中项的概念. 2.探索并归纳出等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单的问题.
学习活动
导入：说说什么是等差数列，其通项公式是什么？ 参考答案：1.等差数列定义：从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数的数列； 2.通项公式：，其中是首项，为公差. 目标一：通过实例，理解并抽象出等比数列和等比中项的概念. 任务1：阅读教材P27的四个数例，回答下列问题. 数列1…数列2…数列3…数列4…数列5…数列6
问题1：上述数例中的各数列有什么取值规律？由此你能发现它们有什么共性？ 参考答案：共性：从第2项起，后项与前项之比都等于相同常数. 问题2：类比等差数列的定义，说说什么是等比数列？ 【概念生成】 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示. 符号表示：. 注：（1）等比数列各项不能为0；（2）数列任意前后两项之比为定值. 练一练： 观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比；若不是，说明理由. 2, 4, 16, 64, … 不是，前后两项之比不同； (2) 5，-5，5，-5, … 是，； (3) 1，0，1，0，… 不是，不能等于0； (4) … 不是，当时，不满足. 问题3：在如下的两个数之间插入一个什么数后，得到的三个数会成为一个等比数列： （1）1，（ ）， 9； （2）-1，（ ），-4 参考答案：；. 问题4：类比等差中项的概念，说说什么是等比中项？ 【概念讲解】 等比中项：如果在与中间插入一个数G，使成等比数列，那么G叫做与的等比中项. 根据等比数列的定义，可以推出 思考: 任何两个非零实数都有等比中项吗？ 【归纳总结】 同号的两数的等比中项有两个,它们互为相反数；异号的两数没有等比中项.
目标二：探索并归纳出等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单的问题. 任务1：类比等差数列通项公式推导方法推导等比数列同学公式. 问题1：我们知道等比数列满足：，由此如何类比等差数列通项公式的推导推导等比数列通项公式？ 参考答案：法1：（不完全归纳法）设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得，所以 …… . 又，即当n=1时上式也成立．因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为 法2：（累乘法）设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得，则 将以上(n-1)个式子相乘，得 又，这就是说，当n=1时上式也成立．因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为 由此我们便得到了等比数列的通项公式： 【归纳总结】 等比数列通项公式：，其中首项为，公比为q. 任务2：利用等比数列通项公式求解有关等比数列问题. 例1：若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,求的第5项. 问题1：该题目已知条件有几个，如何利用等比数列通项公式求解？ 参考答案：两个，分别是已知等比数列的第4项和第6项的值.解：由，，得，②的两边分别除以①的两边，得.解得. 把代入①，得.此时，把代入①，得.此时 .因此，的第5项是24或-24. 思考：利用等比数列通项公式求解等比数列问题时，需要已知多少条件？ 【归纳总结】 只要给定两个独立的条件，就能确定等比数列，从而求出数列的某一项. 问题2：除了上述利用等比数列通项公式求解，还有没有其他办法？ 参考答案：解：因为是与的等比中项，所以.所以.因此，的第5项是24或-24. 例2：已知等比数列的公比为, 试用的第项表示. 参考答案：解：由题意，得，① . ②的两边分别除以①的两边，得= 所以 . 【归纳总结】 等比数列的任意一项，都可以有该数列的某一项和公比表示，即. 例3：数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列. 问题1.如何设这个数列未知项会使得列式比较简单？ 参考答案：因为已知条件是说前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，因此以第三项为基础，设等比数列的公比为q，等差数列的公差为d，所以数列的各项依次为 ,80,80, 80. 问题2.求该数列的各项. 参考答案：由问题1可列式：，解得 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48. 练一练： 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 参考答案：解：法1：设这四个数依次为, 于是得解方程组，得 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 法2：设这四个数依次为, 于是得解方程组，得 所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝3，时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
学习总结
任务：回答下列关问题，构建知识导图. “定义”、“通项公式”、“等比中项” 参考答案：
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