4.3.2 课时1 等比数列的前n项和公式 学案（表格式，含答案） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的前n项和公式
学习目标 1.理解错位相减法，并能利用错位相减法推导等比数列前n项和公式. 2.理解等比数列前n项和公式，并能利用前n项和公式求等比数列相关问题.
学习活动
导入：完成下列表格. 等差数列等比数列定义通项性质
参考答案： 等差数列等比数列定义通项性质
目标一：理解错位相减法，并能利用错位相减法推导等比数列前n项和公式. 任务：阅读材料，回答下列问题. 情境： 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，国王能实现他的诺言吗？ 问题1：发明者提出的要求构成一个什么样的数列，发明者提出的要求是一个什么样的数学问题？ 参考答案：（1）是一个首项是1，公比是2，项数为64的等比数列. （2）是一个求等比数列的前64项的和问题，即：=？ 问题2：如何求这个数列的和？ 提示1：观察的右边，它各项之间存在什么关系？ 提示2：如果在两边同时乘以2，观察两个式子，二者有什么联系？ 参考答案：①； ②；由②－①，可得 问题3：国王能实现他的诺言吗？ 参考答案：因为 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.因此不能实现. 思考：设等比数列的前n项和为，如何求？ 参考答案： ①，两边同时乘以q,可得②；由①－②可得：. 当q≠1时，有，根据等比数列通项公式，有； 当q＝1时，有. 【归纳总结】 等比数列前n项和公式：.
目标二：理解等比数列前n项和公式，并能利用前n项和公式求等比数列相关问题. 任务：利用等比数列前n项和公式解决相关数列问题. 例1.已知数列{是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n. 参考答案：解：（1）因为，，所以. （2）由，，可得，即. 又由，得 .所以 . （3）把，，代入，得 ，整理，得，解得n=5 思考：在利用等比数列前n项和公式求解问题时，至少需要已知几个量？ 【归纳总结】 对于等比数列的相关量，只要已知三个量，就可以确定其他量了，即知三求二. 例2.已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若，求公比q. 参考答案：解：若q=1，则，所以. 当时,由，得，即. 整理，得，即.所以. 思考：在利用等比数列前n项和公式求和时，要注意什么？ 参考答案：对于公比q=1和q≠1的讨论. 例3：已知等比数列{}的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 参考答案：证明:(方法1)当q=1时， ，所以，， ，，成等比数列，公比为1. 当.时，， ；； 所以.因为为常数，所以，，成等比数列，公比为. (方法2)由前n项和概念可知，，； ， 所以.因为为常数，所以，，成等比数列，公比为. 【归纳总结】 性质1.若等比数列的前n项和为且，则数列，，成等比数列，且公比为. 注：当时，该结论不成立. 练一练： 在等比数列中，若前10项的和 ，前 20 项的和，求前 30项的和. 参考答案：根据等比数列前n项和的性质，有，所以，解得.
学习总结
任务：回答下列关问题，构建知识导图. “错位相减”、“等比数列前n项和公式”、“等比数列前n项和公式应用”、“等比数列前n项和性质” 参考答案：
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