5.1.1 课时2 变化率问题 学案（表格式，含答案） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课时2 变化率问题
学习目标 1.能通过极限思想理解抛物线切线与割线的斜率的关系，并能求曲线切线的斜率.
学习活动
导入：我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，那么对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 目标：能通过极限思想理解抛物线切线与割线的斜率，并能求曲线切线的斜率. 任务1：研究抛物线在点处的切线. 问题1：观察抛物线在点处的切线图象，说说你如何定义它的切线？ 问题2：在点附近任取一点，观察下面动图，说说曲线的割线与切线有怎样的关系？ 参考答案：当点时，割线切线PT，当P点与重合时，割线与切线PT重合. 问题3：记，则点P的坐标为，割线的斜率的表达式是什么？ 参考答案：. 问题4：观察下表，当，即时，割线的斜率变化趋势是怎样的？据此思考如何求出切线的斜率？ …………
参考答案：（1）割线的斜率逐渐趋近于2；（2）由问题（3）和问题（4）可知，当，即时，割线趋近于切线，因此. 思考：观察课时1中的函数的图象，平均速度以及瞬时速度分别有什么几何意义？ 参考答案：（1）平均速度的几何意义：过点，的割线的斜率.（2）瞬时速度的几何意义：表示函数在点处的切线斜率. 【归纳总结】 抛物线的割线及切线斜率： 1.割线斜率：； 2.切线斜率：. 任务2：求抛物线在某点处的切线的斜率及方程. 已知抛物线，求其在点（0,1）处的切线的斜率及方程. 参考答案：解：（1）设切线的斜率为k，则 . （2）切线过点（0,1），所以切线方程为，即. 【归纳总结】 曲线在某点处的切线的斜率：；切线方程：. 练一练： 已知抛物线，求其在点（﹣1,1）处的切线方程. 参考答案：解：设切线的斜率为k，则 . 又切线过点（﹣1,1），所以切线方程为，即.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “割线斜率”、“极限思想”、“切线斜率”、“切线方程”. 参考答案：
2