函数的单调性
学习目标 1.理解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间.
学习活动
导入：函数的单调性定义是什么？如何利用单调性定义判断函数的单调性？ 参考答案：单调性定义：一般地，设函数的定义域为，区间． 如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增；如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减． 定义法判断函数的单调性：（1）设，，；（2）作差：；（3）判号. 目标一：理解函数的单调性与导数的关系. 任务1：探究高台跳水问题中的导数问题. 图1（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图1（2）是跳水运动员的速度v随时间l变化的函数的图象．这里，，b是函数h（t）的零点． 问题1：分析运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态. 参考答案：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，速度逐渐减小直到0； (2)从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小，速度逐渐由0逐渐增大. 问题2：观察h-t，v-t图象，从单调性和导数的角度分析图象特点？ 参考答案：（1）运动员从起点到最高点，h-t图象上升，v-t图象大于0，即；(2)从最高点到入水，h-t图象下降，v-t图象小于0，即. 思考：根据上述函数单调性与导数符号，由此说说函数单调性与导数符号有什么关系？ 参考答案：（1）单调递增，；单调递减，. 任务2：观察图象，探究函数单调性与导数正负的关系. 问题1.判断上述四种函数的单调性. 参考答案：（1）函数在R上单调递增；函数在上单调递减，在上单调递增；函数在R上单调递增；函数在和上单调递减. 问题2.分别画出四种函数在x轴两侧图像上的一条切线，说说函数的单调性与导数的正负的有什么关系？ 参考答案： 【归纳总结】 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递增； 在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递减． 思考：在某个区间内，有，那么此时函数有什么特点？ 参考答案：如果在某个区间内恒有，那么函数为常数函数，但是在某个区间内，若仅在某些点处所对应的导数值为0，则不能判定函数为常数函数.
目标二：能利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间. 任务1：利用导数判断函数的单调性. 利用导数判断下列函数的单调性： （1）；（2），；（3）. 参考答案：解：（1）因为，所以. 所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示. （2）因为，，所以. 所以，函数在上单调递减，如图（2）所示. （3）因为，，所以. 【新知讲解】 利用导数判断函数单调性思路. 求函数的导数. （1）若在内，，则函数在上单调递增； （2）若在内，，则函数在上单调递减； （3）若在内，，则函数是常数函数，不具有单调性. 注：（1）定义域优先原则；（2）注意“临界点”和“间断点”；（3）单调性区间不能用并集符号“∪”连接. 练一练： 判断函数f(x)＝x－ex(x>0)的单调性． 参考答案：解：因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减． 任务2：利用导数正负与单调性的关系，绘制函数简图. 已知导函数的下列信息：当时，； 当，或时，；当，或时，. 试画出函数图象的大致形状. 参考答案：解：当时，，可知在区间上单调递增；当，或时，，可知在区间和上都单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点” 综上，函数图象的大致形状如图所示. 【归纳总结】 导数图象问题： 在导数图象中，x轴上方的图象所对应的区间对应原函数的单调递增区间，即“正则增”，反之，若原函数单调递增，则导函数图象在x轴上方，即“增则正” 在导数图象中，x轴下方的图象所对应的区间对应原函数的单调递减区间，即“负则减”，反之，若原函数单调递增递减，则导函数图象在x轴下方，即“减则负”. 练一练： 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ） A．B． C．D． 参考答案：解：由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；当时，,函数单调递减；当时，,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选C. 思考：在区间内，任取，两点，则函数的平均变化率为，其几何意义与的正负有什么关系？ 参考答案：解：平均变化率的几何意义为直线AB的斜率.若在区间内单调递增，则,；若在区间内单调递减，则,.
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “导数与单调性” 参考答案：
2函数的单调性
学习目标 1.理解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间.
学习活动
导入：函数的单调性定义是什么？如何利用单调性定义判断函数的单调性？ 目标一：理解函数的单调性与导数的关系. 任务1：探究高台跳水问题中的导数问题. 图1（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图1（2）是跳水运动员的速度v随时间l变化的函数的图象．这里，，b是函数h（t）的零点． 问题1：分析运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态. 问题2：观察h-t，v-t图象，从单调性和导数的角度分析图象特点？ 参考答案：（1）运动员从起点到最高点，h-t图象上升，v-t图象大于0，即；(2)从最高点到入水，h-t图象下降，v-t图象小于0，即. 思考：根据上述函数单调性与导数符号，由此说说函数单调性与导数符号有什么关系？ 任务2：观察图象，探究函数单调性与导数正负的关系. 问题1.判断上述四种函数的单调性. 问题2.分别画出四种函数在x轴两侧图像上的一条切线，说说函数的单调性与导数的正负的有什么关系？ 【归纳总结】 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递增； 在某个区间（a，b）内，如果，那么函数在区间（a，b）内单调递减． 思考：在某个区间内，有，那么此时函数有什么特点？
目标二：能利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间. 任务1：利用导数判断函数的单调性. 利用导数判断下列函数的单调性： （1）；（2），；（3）. 【新知讲解】 利用导数判断函数单调性思路. 求函数的导数. （1）若在内，，则函数在上单调递增； （2）若在内，，则函数在上单调递减； （3）若在内，，则函数是常数函数，不具有单调性. 注：（1）定义域优先原则；（2）注意“临界点”和“间断点”；（3）单调性区间不能用并集符号“∪”连接. 练一练： 判断函数f(x)＝x－ex(x>0)的单调性． 任务2：利用导数正负与单调性的关系，绘制函数简图. 已知导函数的下列信息：当时，； 当，或时，；当，或时，. 试画出函数图象的大致形状. 【归纳总结】 导数图象问题： 在导数图象中，x轴上方的图象所对应的区间对应原函数的单调递增区间，即“正则增”，反之，若原函数单调递增，则导函数图象在x轴上方，即“增则正” 在导数图象中，x轴下方的图象所对应的区间对应原函数的单调递减区间，即“负则减”，反之，若原函数单调递增递减，则导函数图象在x轴下方，即“减则负”. 练一练： 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ） A．B． C．D． 思考：在区间内，任取，两点，则函数的平均变化率为，其几何意义与的正负有什么关系？
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图. “导数与单调性”
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