天津市第七中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

天津市第七中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则复数的模为（ ）
A. B.3 C.1 D.10
2.在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
4.在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.海上有，两个小岛相距海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成75°的视角，则岛与岛间的距离为（ ）
A.海里 B.海里
C.海里 D.海里
7.在中，，，，若，，则点在（ ）
A.平分线所在的直线上 B.线段垂直平分线上
C.边所在直线上 D.边的中线上
8.中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9.在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知复数满足，则__________.
11.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则__________.
12.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________.
13.平面内给定三个向量，，，若，则实数等于__________.
14.的角，，所对的边分别为，，，已知，，则__________.
15.图1是一个正六边形蜂窝状置物架，它设计简约、美化空间，深受大众喜爱，图2是从置物架图中抽象出来的几何图形的示意图.如图2，若，则的值为__________；若正六边形的边长均为2，是折线上的动点（含端点），则的取值范围为__________.
图1 图2
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题14分）
已知复数，根据以下条件分别求实数的值或取值范围.
（1）是纯虚数；
（2）对应的点在复平面的第三象限.
17.（本小题15分）
已知向量与，，.
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相平行，求的值.
18.（本小题15分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
19.（本小题15分）
在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，，的面积为，求的值.
20.（本小题16分）
如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，.
（1）求边、的长度；
（2）求的面积；
（3）点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、.若，求的值.
天津市第七中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，则.
故选：D.
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.
本题主要考查复数模公式，属于基础题.
2.【答案】B
【解析】解：由题意知，A选项中，C，D选项中两个向量均共线，都不符合基底条件，
故选：B.
根据基底的定义可解.
本题考查基底的定义，属于基础题.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了复数的运算以及概念，属于基础题.
由题意利用复数的乘法和除法运算求出，再求出，即可求出的虚部.
【解答】
解：由题意得：，
所以，
所以的虚部为，
故选C.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.
直接利用余弦定理的应用求出结果.
【解答】
解：若，所以，
由于，所以.
故选：D.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标.
【解答】
解：由题意知，与的长度相等，方向相反，∴，
又因为，
设，则，
∴解得
故点的坐标为.
故选A.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用，属基础题.
先根据和求出，进而根据正弦定理求得.
【解答】
解：由题意可得，，，，
根据正弦定理可得，，
∴，
则岛与岛间的距离为海里.
故选C
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查单位向量的定义，向量的几何表示，向量加法的几何意义.
利用和是中边、上的单位向量，可知在平分线线上，故也在平分线线上.
【解答】
解：∵，，，
且，
∵和是中边、上的单位向量，
∴在平分线线上，
∴则点一定在平分线线上，
故选A.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及利用基本不等式求最值问题，考查化简、变形能力，属于较难题.
由正弦定理和条件得，由余弦定理及基本不等式得到，根据面积公式求出面积的最大值.
【解答】
解：∵，
∴，又，
则，，
由余弦定理及，
得，，
又，得，当且仅当时取等号，
∴的面积.
当时，的面积有最大值，
故选D
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的应用，三点共线，以及利用基本不等式求最值，是难题.
先利用已知条件解出，，的大小，由平面向量共线定理得到与的关系等式，再由基本不等式解题.
【解答】
解：，，
因为，由正弦定理可得：，
再由余弦定理可得：，
所以，三角形为直角三角形，角为直角，
因为，
由三角形面积公式，所以，
，
由余弦定理可得，化简得：，
所以可得，，，
，
因为，，三点共线，所以，且，，
所以，当且仅当时取等号，
故本题选A.
10.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了复数的除法运算，共轭复数，属于基础题.
利用复数的四则运算法则得，再结合共轭复数的概念计算即可.
【解答】
解：.
故答案为：2.
11.【答案】
【解析】解：在中，内角，，所对的边分别为，，，
若，，，则.
故答案为：.
由已知直接利用余弦定理求解的值.
本题考查余弦定理的应用，是基础题.
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
先根据向量的坐标运算求，，进而求投影向量.
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题.
13.【答案】
【解析】解：三个向量，，，
，
，
，
可得：，可得.
故答案为：.
求出向量，，通过斜率共线的充要条件求解即可.
本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力.
14.【答案】6
【解析】解：∵的内角，，的对边分别为，，，，，
∴由正弦定理可得①，
由余弦定理可得②，
∴联立解得，
∴则.
故答案为：6.
利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果.
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，属于基础题.
15.【答案】8；
16.【答案】解：（1）因为是纯虚数，
所以；
（2）因为对应的点在复平面的第三象限，
所以，
因此实数的取值范围为.
【解析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的特征进行求解即可.
本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题.
17.【答案】解：（Ⅰ）因为，，
所以；
（Ⅱ），
（Ⅲ），，
由题意可得，，
整理可得，
解可得，.
【解析】（Ⅰ）结合向量减法的坐标表示即可求解；
（Ⅱ）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；
（Ⅲ）结合向量平行的坐标表示即可求解.
本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量夹角公式及平行的坐标表示，属于基础试题.
18.【答案】解：（1）在中，
，∴，
∵，∴，.
（2）在中，，，，
由余弦定理可得.
（3）由（2）可知，
又，则，
∴，，
则.
【解析】本题主要考查正、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础题.
（1）由题意利用正弦定理，求得的值.
（2）由题意利用余弦定理计算求得结果.
（3）先用二倍角公式求得的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得的值.
19.【答案】解：（1）因为，由正弦定理可知
，
化简得，
因为，所以，
因为，所以；
（2）①由（1）及余弦定理可知，
又，，
联立可得，或，（舍去）；
②由正弦定理可知，，
因为，，，所以，
所以，
由可知，
所以，，
故.
【解析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换计算即可；
（2）利用余弦定理及三角形面积公式计算可求，；利用三角恒等变换计算可求.
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理，倍角公式，两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.
20.【答案】解：（1）因为，
所以，，即，
所以，，即，即.
又因为，所以，.
（2）设，因为为边上的中线，
所以，，
则
，
，
，①
整理得，即，
得或，
由①，得，所以，，则，
故，
因此，.
（3）由（2）知，，为的中点，则.
设，，其中.
所以，得.
又、、三点共线，则、共线，
设，则，所以，，
因为、不共线，则，即，
由，得，
又，
所以，
即，
又因为，
所以，，所以，，解得，
所以：，，
所以.