河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期第一次月考联考（3月）数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期第一次月考联考（3月）数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 739.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-02 07:59:21 | ||
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文档简介
河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期第一次月考联考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.下列结论正确的是（ ）
A.平行向量的方向都相同
B.单位向量都相等
C.零向量与任意向量都不平行
D.两个单位向量之和可能仍然是单位向量
3.在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
5.设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（ ）
A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心
6.已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别是，若，则的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
8.在中，已知，则的内切圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，，则边的长可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
11.初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ）
A.舰艇所需的时间为1小时 B.舰艇所需的时间为2小时
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知向量，则与的夹角的大小为___________.
13.已知非零向量满足，则当取得最小值时，的值为___________.
14.石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上 下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为___________米.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量.
（1）求的坐标及；
（2）若向量，且向量与平行，求的值.
16.（15分）
在中，内角所对的边分别为，且.
（1）证明：.
（2）若外接圆的周长为，且，求的面积.
17.（15分）
如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.
（1）用和表示；
（2）设，求的值；
（3）设，证明：.
18.（17分）
在中，角的对边分别是，且.
（1）求的大小；
（2）设的中点为，且，求的取值范围.
19.（17分）
如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，是圆心，直径为24米，是弧的中点.一个时装塑料模特在上，.计划在弧上设置一个收银台，记，其中.
（1）试用表示；
（2）当时，求的大小；
（3）当越大时，该店店长在收银台处的视线范围越大，试问当店长在收银台处的视线范围最大时，的长度为多少米？
河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期第一次月考联考
数学
参考答案
1.C 设，则，由解得即点的坐标为.
2.D 单位向量是模长等于1的向量，两个单位向量之和的模长仍然可能为正确.
3.A 由正弦定理可得，所以.
4.D 因为，所以，解得.
5.A 由题意可得，则，故点是的垂心.
6.B 因为，所以，故向量在向量上的投影向量为.
7.C 由正弦定理可得，所以，即，所以，又因为，所以，则，又因为，所以.
8.C 由题意可得，则.设的内切圆的半径为，则，解得，则的内切圆的面积为.
9.BC 因为零向量与任意向量共线，所以错误.因为，所以与不共线，可以作为基底，B正确.因为，所以与不共线，可以作为基底，C正确.因为，所以与共线，不可以作为基底，错误.
10.BD 由题意可得，由余弦定理得，解得或5，经检验均符合.
11.AD 设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.根据余弦定理得，解得或（舍去），故.由正
弦定理得，解得.
12. ，因为，所以.
13. 因为，所以，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以当取得最小值时，.
14.280 设，则.
由，得，由余弦定理得，解得米，即为280米.
15.解：（1），
因为，
所以.
（2），
.
因为向量与平行，所以，
解得.
16.（1）证明：（方法一）由题意可得，
根据余弦定理，得，
则，
故.
（方法二）由题意可得，
根据正弦定理，得.
因为，所以，
则，
故.
（2）解：因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径，
则，所以.
因为，所以，
因为，所以，
所以的面积.
17.（1）解：，
，
.
（2）解：由（1）得，
因为三点共线，所以，
解得.
（3）证明：由（1）得，设，
则
又不共线，所以，即.
由，得.
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故.
18.解：（1）根据题意可得，
即，
则.
因为，所以，即，
得或，解得或（舍去），又，所以.
（2）设，则，
根据正弦定理可得，
所以，
由，得，所以，
故的取值范围为.
19.解：（1）因为是弧的中点，所以，
因为，所以，则米.
由题意知，在中，设，则，
由，得，则.
（2）方法一：
因为，所以，
又因为，所以，即.
方法二：
因为，所以，则，
所以，得.
（3）由（1）可设，设.
令，则，
令，
当，即时，取得最大值，
，即的最大值为.
因为函数在上单调递增，
所以当取得最大值时，也取得最大值，店长在收银台处的视线范围最大，
此时.
故当视线范围最大时，米.
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.下列结论正确的是（ ）
A.平行向量的方向都相同
B.单位向量都相等
C.零向量与任意向量都不平行
D.两个单位向量之和可能仍然是单位向量
3.在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
5.设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（ ）
A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心
6.已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别是，若，则的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
8.在中，已知，则的内切圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，，则边的长可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
11.初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ）
A.舰艇所需的时间为1小时 B.舰艇所需的时间为2小时
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知向量，则与的夹角的大小为___________.
13.已知非零向量满足，则当取得最小值时，的值为___________.
14.石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上 下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为___________米.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量.
（1）求的坐标及；
（2）若向量，且向量与平行，求的值.
16.（15分）
在中，内角所对的边分别为，且.
（1）证明：.
（2）若外接圆的周长为，且，求的面积.
17.（15分）
如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.
（1）用和表示；
（2）设，求的值；
（3）设，证明：.
18.（17分）
在中，角的对边分别是，且.
（1）求的大小；
（2）设的中点为，且，求的取值范围.
19.（17分）
如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，是圆心，直径为24米，是弧的中点.一个时装塑料模特在上，.计划在弧上设置一个收银台，记，其中.
（1）试用表示；
（2）当时，求的大小；
（3）当越大时，该店店长在收银台处的视线范围越大，试问当店长在收银台处的视线范围最大时，的长度为多少米？
河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期第一次月考联考
数学
参考答案
1.C 设，则，由解得即点的坐标为.
2.D 单位向量是模长等于1的向量，两个单位向量之和的模长仍然可能为正确.
3.A 由正弦定理可得，所以.
4.D 因为，所以，解得.
5.A 由题意可得，则，故点是的垂心.
6.B 因为，所以，故向量在向量上的投影向量为.
7.C 由正弦定理可得，所以，即，所以，又因为，所以，则，又因为，所以.
8.C 由题意可得，则.设的内切圆的半径为，则，解得，则的内切圆的面积为.
9.BC 因为零向量与任意向量共线，所以错误.因为，所以与不共线，可以作为基底，B正确.因为，所以与不共线，可以作为基底，C正确.因为，所以与共线，不可以作为基底，错误.
10.BD 由题意可得，由余弦定理得，解得或5，经检验均符合.
11.AD 设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.根据余弦定理得，解得或（舍去），故.由正
弦定理得，解得.
12. ，因为，所以.
13. 因为，所以，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以当取得最小值时，.
14.280 设，则.
由，得，由余弦定理得，解得米，即为280米.
15.解：（1），
因为，
所以.
（2），
.
因为向量与平行，所以，
解得.
16.（1）证明：（方法一）由题意可得，
根据余弦定理，得，
则，
故.
（方法二）由题意可得，
根据正弦定理，得.
因为，所以，
则，
故.
（2）解：因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径，
则，所以.
因为，所以，
因为，所以，
所以的面积.
17.（1）解：，
，
.
（2）解：由（1）得，
因为三点共线，所以，
解得.
（3）证明：由（1）得，设，
则
又不共线，所以，即.
由，得.
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故.
18.解：（1）根据题意可得，
即，
则.
因为，所以，即，
得或，解得或（舍去），又，所以.
（2）设，则，
根据正弦定理可得，
所以，
由，得，所以，
故的取值范围为.
19.解：（1）因为是弧的中点，所以，
因为，所以，则米.
由题意知，在中，设，则，
由，得，则.
（2）方法一：
因为，所以，
又因为，所以，即.
方法二：
因为，所以，则，
所以，得.
（3）由（1）可设，设.
令，则，
令，
当，即时，取得最大值，
，即的最大值为.
因为函数在上单调递增，
所以当取得最大值时，也取得最大值，店长在收银台处的视线范围最大，
此时.
故当视线范围最大时，米.
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