贵州省铜仁市2023-2024学年高二下学期数学2月开学适应性模拟检测试卷
1．（2024高二下·铜仁开学） 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 与的夹角为钝角 ，所以，且与不共线，
所以，解得，且，
故的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得且与不共线，列不等式组求解即可.
2．（2024高二下·铜仁开学）各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 各项均为正数的等比数列中 ，，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的性质以及对数函数的运算法则求值即可.
3．（2024高二下·铜仁开学）如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】，
故答案为：D
【分析】 利用平面向量的线性运算法则，平面向量基本定理即可求解出答案.
4．（2024高二下·铜仁开学）已知等比数列的前n项和为，公比为q，则“”是“数列是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的前n项和；等比数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由题意可知，若，由于，
则，则数列为递减数列；反之，若数列为递减数列，则有，必有，
所以“”是“数列是递减数列”的充要条件.
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用等比数列的性质结合特殊值法即可判断.
5．（2024高二下·铜仁开学）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆心，，
因为点为弦的中点，且，所以，且，
故点在以为圆心， 以为半径的圆上.
又因为在圆上存在点满足题设，且其圆心，半径，
则由两圆有公共点，得，即，解得，或.
故答案为：C.
【分析】由得弦中点到圆心的距离，则点在以为圆心，为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可.
6．（2024高二下·铜仁开学）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由椭圆定义可知，因为，所以，，
点满足，即，则，
又，，
即，又，
故，则，即，
即平分，又，故，
则，则，
，
，
由，
故，
即，即，又，故.
故答案为：B.
【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可求得椭圆的离心率.
7．（2024高二下·铜仁开学）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为的顶点，，，所以重心，即，
设外心，因为，所以，解得，即，
，故欧拉线方程为，即.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据重心坐标公式可得重心，再根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，最后求斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程.
8．（2024高二下·铜仁开学）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美。二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若二十四等边体的表面积为，则（ ）
A．
B．
C．与所成的角是的棱共有12条
D．该二十四等边体外接球的表面积为
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、设，由二十四等边体的表面积为，解得，故A错误；
B、因为，为等边三角形，所以，所以与所成的角为，故B错误；
C、在与相交的6条棱中，与所成的角是的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，
故与所成的角是的棱共有16条，故C错误.
D、如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心，，连接，，因为，所以正方体的棱长为2，
故，可得，根据对称性可知，点到该半正多面体的顶点的距离相等，
则该半正多面体外接球的球心为，半径，故该半正多面体外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据几何体的性质可知所有棱长均相等，设出棱长，列出面积的方程即可得到线段长度即可判断A；由于几何体是正方体裁剪得到，补全回正方体后可得到，可得到与所成的角为即可判断B；根据几何体中的平行关系确定异面直线的夹角即可判断C；设出球心，利用对称性列方程求解即可判断D.
9．（2024高二下·铜仁开学）已知圆下列说法正确的是（ ）
A．过点作直线与圆交于两点，则范围为
B．过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为则直线必过定点
C．圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D．圆上有4个点到直线的距离等于1
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解易知圆的圆心为，半径，
A、因为，所以点在圆内，所以圆心到过点的直线的距离，
所以，故A正确；
B、设，则，可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
可得，整理得，
令，解得，所以直线必过定点，故B正确；
C、圆的圆心，半径为，则，
若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，则，即，解得，
所以实数的取值范围为，故C 错误；
D、因为圆心到直线的距离，
作且与的距离均为，如图所示：
由图可知此时到的距离均为，所以圆上有4个点到直线的距离等于1，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】确定点位置，然后分析圆心到过点的直线的距离，结合确定出的范围即可判断A；设出点坐标，表示出以为圆心，为半径的圆的方程，根据相交圆的公共弦所在直线的方程确定出的方程，由此确定出所过的定点即可判断B；先确定出两圆的位置关系，然后得到两圆的半径与圆心距的关系，由此求解出结果即可判断C；先确定圆心到直线的距离然后结合图示进行说明即可判断D.
10．（2024高二下·铜仁开学）已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（ ）
A．若是等比数列，则
B．若满足，则
C．若满足，则
D．若满足，则
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由无穷数列的前3项分别为2，4，8，…
A、若是等比数列，则公比，故，故A正确；
BC、若满足，则，故B错，C正确；
D、若满足，则，
所以时，，
又因为适合上式，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件求得等比数列的通项公式即可判断A；根据数列的周期性计算即可判断BC；利用累加法求通项即可判断D．
11．（2024高二下·铜仁开学）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点的内切圆与边相切于点．若，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若直线与双曲线有且仅有1个公共点，则
C．的最小值为12
D．的内切圆的圆心在定直线上
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为的内切圆与边相切于点，如图所示，
由切线长定理可知，
所以，
所以，则双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，故A正确；
B、联立直线与双曲线方程消去整理可得
注意当时，方程有唯一解，即此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，故B错误；
C、当垂直于轴时，是通径，通径最短，所以的最小值为，故C正确；
D、如图所示，
设的内切圆圆心为，半径为，设与圆分别相切于点，
由切线长定理得，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
所以轴，则圆心在直线上，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据题意作出图象，利用切线的几何性质以及双曲线定义求出双曲线方程，再通过双曲线方程计算求解即可.
12．（2024高二下·铜仁开学）如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点满足平面平面
B．当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为
C．若，则最小值为
D．若，则点的轨迹长为
【答案】A,B,D
【知识点】向量在几何中的应用；平面内两点间的距离公式；棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、因为平面平面，所以所以当点位于点时，平面平面，故A正确；
B、当为线段中点时，与均是直角三角形，且平面平面，
则三棱锥的外接球的球心为的中点，所以外接球的半径，
所以三棱锥的外接球体积为，故B正确；
C、，所以点在线段上，当点位于点时，，故C错误；
D、若，因为与均为直角三角形，所以，所以，
如图，在正方形中，
以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，
设，则，整理得：，
所以点在面内的轨迹为以为圆心，以为半径的，
所以，，所以在中，，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】当点位于点时，平面平面，即可判断A；确定三棱锥的外接球的球心，进而求半径，
即可判断B；当点位于点时，即可判断C；利用∽，建立适当的平面直角坐标系可得到点的轨迹，进而求轨迹的长，即可判断D.
13．（2024高二下·铜仁开学）已知数列，满足，若，则数列的前2024项和为 ．
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，，所以数列是以2首项，2为公差的等差数列，
所以，，
所以数列的前2024项和为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和即可.
14．（2024高二下·铜仁开学）在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意可知直线经过点，且方向向量为，
因为，所以，则，
所以，又由，所以点到直线的距离为.
故答案为：.
【分析】根据题意，得直线经过点，且方向向量为，再根据，得，
从而求得点到直线的距离.
15．（2024高二下·铜仁开学）如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为2，5，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质；球面距离及相关计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：在椭圆上任取一点，连接交球于点，交球于点，连接，如图所示：
在与中，，（为圆的半径，为圆的半径，），，
为公共边，所以，所以，
设点沿圆锥表面到达的路线长为，则，
当且仅当为直线与椭圆交点时取等号，，所以最小值为6.
故答案为：6.
【分析】在椭圆上任取一点，连接交球于，交球于点，根据可知，则，由此可求最小值即可.
16．（2024高二下·铜仁开学）若，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设点，圆方程为，则，，
点在抛物线上，焦点，垂直抛物线准线于点，则，
所以，
则当三点共线时该式最小，
由，
所以，当且仅当共线（在之间）时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：.
【分析】将式子转化为抛物线上的点的横坐标绝对值，与方程为的圆上点的距离之和，根据图象分析，距离之和最小时，即三点共线时，再结合抛物线定义求解即可.
17．（2024高二下·铜仁开学）已知直线，直线．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【答案】（1）解：因为，所以，解得或.
当时，直线，即；直线，即，此时两直线重合，不满足，故舍去；
当时，直线，即；直线，即，此时，满足题意；
综上可得：当，直线的方程为：.
（2）解：当直线在两坐标轴上的截距相等，都为时，直线过点，
则，解得.
此时直线方程为：；
当直线在两坐标轴上的截距相等，不为时，
则直线的斜率为，解得
此时直线方程为：.
综上可得：直线的方程为：.
【知识点】直线的斜率；两条直线平行的判定；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）根据两直线平行列方程求得k的值；再代入直线方程检验，排除重合的情况即可求得直线的方程；
（2）分截距为和不为0讨论，求，即可得出直线的方程.
18．（2024高二下·铜仁开学）在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答.
条件：①直线的法向量为；②与直线平行；③与直线垂直.
题目：已知直线经过且 ▲ .
（1）求直线方程；
（2）若点是直线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，两点，求四边形的面积的最小值.
【答案】（1）解：选择①：由法向量，可得直线的一个方向向量，可得，
于是，代入并整理得，故直线方程为；
选择②：与直线平行，可设直线方程为，，
将代入，则有，解得，整理得，故直线方程为；
若选择③：与直线垂直，可设直线方程为，
将代入，则有，解得，整理得故直线方程为.
（2）解：由题意，圆的方程为，得圆心为，半径为，
则到距离为，即直线与圆相离，
而，，，
当时，，
此时面积的最小值为.
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程；平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）选择①，根据法向量求得直线的斜率，利用点斜式写出直线方程即可；
选择②，根据直线平行设直线方程为，注意，将点代入即可求得直线方程；
选择③，根据垂直，设直线方程为，将已知点代入求参数，即可得直线方程；
（2）由圆切线性质，问题转化为求，再求四边形的面积的最小值即可.
19．（2024高二下·铜仁开学）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.
（1）求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
（2）P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.
【答案】（1）解：以A为坐标原点，以为轴，建立平面直角坐标系，则，
设成功点，可得
即，化简得
因为点需在矩形场地内，所以
故所求轨迹方程为
（2）解：设，直线方程为
直线FP与点M的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离大于
依题意，动点需满足两个条件：
点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离
即，解得
②点的轨迹与轴的交点到直线的距离
即，解得
综上所述，P点横坐标的取值范围是
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，以为轴，建立如图所示平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式即可求得点M的轨迹方程；
(2)由题意可得点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离，点的轨迹与轴的交点到直线的距离，解不等式即可得a的取值范围.
20．（2024高二下·铜仁开学）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若的前项和为，证明：．
【答案】（1）解：当时，．
因为，
所以，
当时，，
所以，所以，
当时，符合上式；
所以；
（2）解：设，有，
可知数列单调递减，可知，有，
可知．
当时，有，
当时，，
当时，有
，
由上可知．
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据时，，两式相减即可求得注意检验首项即可；
（2）设判断其单调性，再根据数列的单调性可得，最后根据裂项求和即可证明.
21．（2024高二下·铜仁开学）如图①所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角的大小为，得到如图②所示的四棱锥．
（1）求证：平面平面；
（2）若Q为上一动点，且，当锐二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积．
【答案】（1）解：因为垂直平分，则，，
即，，
且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知：，，
则为二面角的平面角，即．
又因为，所以为等边三角形．
在中，因为，，，
可得，
则，所以．
连接，因为为的中点，所以为等边三角形．
取的中点，连接，，则，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
则平面，且平面，所以．
故以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，
设，，则，
解得，故，
所以，．
设平面的法向量为，
则，
令，则，则．
设平面（即平面）的一个法向量为，
则，令，则，可得，
由题意可得，
整理得，解得或（舍），
所以．
故，
所以四棱锥的体积为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据折叠可得，，从而可证平面，即可证明平面平面；
（2）由（1）可知：，，连接，根据题意可知：，，，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量结合二面角求得，最后结合体积公式求解即可.
22．（2024高二下·铜仁开学）已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值；
（3）设和的面积分别为、，求的最大值
【答案】（1）解：因为，所以，
由可得，解得，
由离心率可求出标准方程为
（2）解：由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交，
且直线的斜率可以不存在，但不为0，
设直线的方程为，设点、，
联立方程，消去x可得，
由韦达定理可得，，
则，
可得
，
即，所以的值.
（3）解：由（2）可知：，，
所以
，
因为，则，
因为函数在上单调递增，
故，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【知识点】向量在几何中的应用；斜率的计算公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量加、减运算的坐标表示；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，易知 A、B 坐标，求出的坐标，根据向量关系求关于a的方程结合离心率即可求得椭圆的标准方程；
（2）由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交，且直线的斜率可以不存在，但不为0，设直线的方程为，点、，联立直线与椭圆的方程，消元整理，利用韦达定理结合斜率公式分析可得；
（3）利用韦达定理分析可得关于的函数关系式，再根据对勾函数的单调性即可求得的最大值.
1 / 1贵州省铜仁市2023-2024学年高二下学期数学2月开学适应性模拟检测试卷
1．（2024高二下·铜仁开学） 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·铜仁开学）各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
3．（2024高二下·铜仁开学）如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·铜仁开学）已知等比数列的前n项和为，公比为q，则“”是“数列是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高二下·铜仁开学）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·铜仁开学）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·铜仁开学）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·铜仁开学）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美。二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若二十四等边体的表面积为，则（ ）
A．
B．
C．与所成的角是的棱共有12条
D．该二十四等边体外接球的表面积为
9．（2024高二下·铜仁开学）已知圆下列说法正确的是（ ）
A．过点作直线与圆交于两点，则范围为
B．过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为则直线必过定点
C．圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D．圆上有4个点到直线的距离等于1
10．（2024高二下·铜仁开学）已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（ ）
A．若是等比数列，则
B．若满足，则
C．若满足，则
D．若满足，则
11．（2024高二下·铜仁开学）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点的内切圆与边相切于点．若，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若直线与双曲线有且仅有1个公共点，则
C．的最小值为12
D．的内切圆的圆心在定直线上
12．（2024高二下·铜仁开学）如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点满足平面平面
B．当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为
C．若，则最小值为
D．若，则点的轨迹长为
13．（2024高二下·铜仁开学）已知数列，满足，若，则数列的前2024项和为 ．
14．（2024高二下·铜仁开学）在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ．
15．（2024高二下·铜仁开学）如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为2，5，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是 ．
16．（2024高二下·铜仁开学）若，则的最小值是 ．
17．（2024高二下·铜仁开学）已知直线，直线．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18．（2024高二下·铜仁开学）在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答.
条件：①直线的法向量为；②与直线平行；③与直线垂直.
题目：已知直线经过且 ▲ .
（1）求直线方程；
（2）若点是直线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，两点，求四边形的面积的最小值.
19．（2024高二下·铜仁开学）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.
（1）求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
（2）P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.
20．（2024高二下·铜仁开学）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若的前项和为，证明：．
21．（2024高二下·铜仁开学）如图①所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角的大小为，得到如图②所示的四棱锥．
（1）求证：平面平面；
（2）若Q为上一动点，且，当锐二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积．
22．（2024高二下·铜仁开学）已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值；
（3）设和的面积分别为、，求的最大值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 与的夹角为钝角 ，所以，且与不共线，
所以，解得，且，
故的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得且与不共线，列不等式组求解即可.
2．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 各项均为正数的等比数列中 ，，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据等比数列的性质以及对数函数的运算法则求值即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】，
故答案为：D
【分析】 利用平面向量的线性运算法则，平面向量基本定理即可求解出答案.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的前n项和；等比数列的性质；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由题意可知，若，由于，
则，则数列为递减数列；反之，若数列为递减数列，则有，必有，
所以“”是“数列是递减数列”的充要条件.
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用等比数列的性质结合特殊值法即可判断.
5．【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆心，，
因为点为弦的中点，且，所以，且，
故点在以为圆心， 以为半径的圆上.
又因为在圆上存在点满足题设，且其圆心，半径，
则由两圆有公共点，得，即，解得，或.
故答案为：C.
【分析】由得弦中点到圆心的距离，则点在以为圆心，为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可.
6．【答案】B
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由椭圆定义可知，因为，所以，，
点满足，即，则，
又，，
即，又，
故，则，即，
即平分，又，故，
则，则，
，
，
由，
故，
即，即，又，故.
故答案为：B.
【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可求得椭圆的离心率.
7．【答案】A
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为的顶点，，，所以重心，即，
设外心，因为，所以，解得，即，
，故欧拉线方程为，即.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据重心坐标公式可得重心，再根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，最后求斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程.
8．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、设，由二十四等边体的表面积为，解得，故A错误；
B、因为，为等边三角形，所以，所以与所成的角为，故B错误；
C、在与相交的6条棱中，与所成的角是的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，
故与所成的角是的棱共有16条，故C错误.
D、如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心，，连接，，因为，所以正方体的棱长为2，
故，可得，根据对称性可知，点到该半正多面体的顶点的距离相等，
则该半正多面体外接球的球心为，半径，故该半正多面体外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据几何体的性质可知所有棱长均相等，设出棱长，列出面积的方程即可得到线段长度即可判断A；由于几何体是正方体裁剪得到，补全回正方体后可得到，可得到与所成的角为即可判断B；根据几何体中的平行关系确定异面直线的夹角即可判断C；设出球心，利用对称性列方程求解即可判断D.
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解易知圆的圆心为，半径，
A、因为，所以点在圆内，所以圆心到过点的直线的距离，
所以，故A正确；
B、设，则，可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
可得，整理得，
令，解得，所以直线必过定点，故B正确；
C、圆的圆心，半径为，则，
若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，则，即，解得，
所以实数的取值范围为，故C 错误；
D、因为圆心到直线的距离，
作且与的距离均为，如图所示：
由图可知此时到的距离均为，所以圆上有4个点到直线的距离等于1，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】确定点位置，然后分析圆心到过点的直线的距离，结合确定出的范围即可判断A；设出点坐标，表示出以为圆心，为半径的圆的方程，根据相交圆的公共弦所在直线的方程确定出的方程，由此确定出所过的定点即可判断B；先确定出两圆的位置关系，然后得到两圆的半径与圆心距的关系，由此求解出结果即可判断C；先确定圆心到直线的距离然后结合图示进行说明即可判断D.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由无穷数列的前3项分别为2，4，8，…
A、若是等比数列，则公比，故，故A正确；
BC、若满足，则，故B错，C正确；
D、若满足，则，
所以时，，
又因为适合上式，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件求得等比数列的通项公式即可判断A；根据数列的周期性计算即可判断BC；利用累加法求通项即可判断D．
11．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为的内切圆与边相切于点，如图所示，
由切线长定理可知，
所以，
所以，则双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，故A正确；
B、联立直线与双曲线方程消去整理可得
注意当时，方程有唯一解，即此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，故B错误；
C、当垂直于轴时，是通径，通径最短，所以的最小值为，故C正确；
D、如图所示，
设的内切圆圆心为，半径为，设与圆分别相切于点，
由切线长定理得，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
所以轴，则圆心在直线上，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据题意作出图象，利用切线的几何性质以及双曲线定义求出双曲线方程，再通过双曲线方程计算求解即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】向量在几何中的应用；平面内两点间的距离公式；棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、因为平面平面，所以所以当点位于点时，平面平面，故A正确；
B、当为线段中点时，与均是直角三角形，且平面平面，
则三棱锥的外接球的球心为的中点，所以外接球的半径，
所以三棱锥的外接球体积为，故B正确；
C、，所以点在线段上，当点位于点时，，故C错误；
D、若，因为与均为直角三角形，所以，所以，
如图，在正方形中，
以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，
设，则，整理得：，
所以点在面内的轨迹为以为圆心，以为半径的，
所以，，所以在中，，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】当点位于点时，平面平面，即可判断A；确定三棱锥的外接球的球心，进而求半径，
即可判断B；当点位于点时，即可判断C；利用∽，建立适当的平面直角坐标系可得到点的轨迹，进而求轨迹的长，即可判断D.
13．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，，所以数列是以2首项，2为公差的等差数列，
所以，，
所以数列的前2024项和为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和即可.
14．【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意可知直线经过点，且方向向量为，
因为，所以，则，
所以，又由，所以点到直线的距离为.
故答案为：.
【分析】根据题意，得直线经过点，且方向向量为，再根据，得，
从而求得点到直线的距离.
15．【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质；球面距离及相关计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：在椭圆上任取一点，连接交球于点，交球于点，连接，如图所示：
在与中，，（为圆的半径，为圆的半径，），，
为公共边，所以，所以，
设点沿圆锥表面到达的路线长为，则，
当且仅当为直线与椭圆交点时取等号，，所以最小值为6.
故答案为：6.
【分析】在椭圆上任取一点，连接交球于，交球于点，根据可知，则，由此可求最小值即可.
16．【答案】
【知识点】圆的标准方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设点，圆方程为，则，，
点在抛物线上，焦点，垂直抛物线准线于点，则，
所以，
则当三点共线时该式最小，
由，
所以，当且仅当共线（在之间）时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：.
【分析】将式子转化为抛物线上的点的横坐标绝对值，与方程为的圆上点的距离之和，根据图象分析，距离之和最小时，即三点共线时，再结合抛物线定义求解即可.
17．【答案】（1）解：因为，所以，解得或.
当时，直线，即；直线，即，此时两直线重合，不满足，故舍去；
当时，直线，即；直线，即，此时，满足题意；
综上可得：当，直线的方程为：.
（2）解：当直线在两坐标轴上的截距相等，都为时，直线过点，
则，解得.
此时直线方程为：；
当直线在两坐标轴上的截距相等，不为时，
则直线的斜率为，解得
此时直线方程为：.
综上可得：直线的方程为：.
【知识点】直线的斜率；两条直线平行的判定；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）根据两直线平行列方程求得k的值；再代入直线方程检验，排除重合的情况即可求得直线的方程；
（2）分截距为和不为0讨论，求，即可得出直线的方程.
18．【答案】（1）解：选择①：由法向量，可得直线的一个方向向量，可得，
于是，代入并整理得，故直线方程为；
选择②：与直线平行，可设直线方程为，，
将代入，则有，解得，整理得，故直线方程为；
若选择③：与直线垂直，可设直线方程为，
将代入，则有，解得，整理得故直线方程为.
（2）解：由题意，圆的方程为，得圆心为，半径为，
则到距离为，即直线与圆相离，
而，，，
当时，，
此时面积的最小值为.
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程；平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）选择①，根据法向量求得直线的斜率，利用点斜式写出直线方程即可；
选择②，根据直线平行设直线方程为，注意，将点代入即可求得直线方程；
选择③，根据垂直，设直线方程为，将已知点代入求参数，即可得直线方程；
（2）由圆切线性质，问题转化为求，再求四边形的面积的最小值即可.
19．【答案】（1）解：以A为坐标原点，以为轴，建立平面直角坐标系，则，
设成功点，可得
即，化简得
因为点需在矩形场地内，所以
故所求轨迹方程为
（2）解：设，直线方程为
直线FP与点M的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离大于
依题意，动点需满足两个条件：
点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离
即，解得
②点的轨迹与轴的交点到直线的距离
即，解得
综上所述，P点横坐标的取值范围是
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，以为轴，建立如图所示平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式即可求得点M的轨迹方程；
(2)由题意可得点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离，点的轨迹与轴的交点到直线的距离，解不等式即可得a的取值范围.
20．【答案】（1）解：当时，．
因为，
所以，
当时，，
所以，所以，
当时，符合上式；
所以；
（2）解：设，有，
可知数列单调递减，可知，有，
可知．
当时，有，
当时，，
当时，有
，
由上可知．
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据时，，两式相减即可求得注意检验首项即可；
（2）设判断其单调性，再根据数列的单调性可得，最后根据裂项求和即可证明.
21．【答案】（1）解：因为垂直平分，则，，
即，，
且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知：，，
则为二面角的平面角，即．
又因为，所以为等边三角形．
在中，因为，，，
可得，
则，所以．
连接，因为为的中点，所以为等边三角形．
取的中点，连接，，则，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
则平面，且平面，所以．
故以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，
设，，则，
解得，故，
所以，．
设平面的法向量为，
则，
令，则，则．
设平面（即平面）的一个法向量为，
则，令，则，可得，
由题意可得，
整理得，解得或（舍），
所以．
故，
所以四棱锥的体积为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据折叠可得，，从而可证平面，即可证明平面平面；
（2）由（1）可知：，，连接，根据题意可知：，，，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量结合二面角求得，最后结合体积公式求解即可.
22．【答案】（1）解：因为，所以，
由可得，解得，
由离心率可求出标准方程为
（2）解：由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交，
且直线的斜率可以不存在，但不为0，
设直线的方程为，设点、，
联立方程，消去x可得，
由韦达定理可得，，
则，
可得
，
即，所以的值.
（3）解：由（2）可知：，，
所以
，
因为，则，
因为函数在上单调递增，
故，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【知识点】向量在几何中的应用；斜率的计算公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量加、减运算的坐标表示；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，易知 A、B 坐标，求出的坐标，根据向量关系求关于a的方程结合离心率即可求得椭圆的标准方程；
（2）由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交，且直线的斜率可以不存在，但不为0，设直线的方程为，点、，联立直线与椭圆的方程，消元整理，利用韦达定理结合斜率公式分析可得；
（3）利用韦达定理分析可得关于的函数关系式，再根据对勾函数的单调性即可求得的最大值.
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