湖南省郴州市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2020高一上·威海期末）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】命题“ ”的否定是“ ”.
故答案为：B
【分析】根据题意由全称命题的否定是特称命题即可调查答案。
2．（2024高一上·郴州期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为集合，，，所以或，即的可能取值个数为2个.
故答案为：B.
【分析】根据集合的并集运算，结合集合的元素的特性求解即可.
3．（2024高一上·郴州期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，故函数的定义域为.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数和偶次根式有意义列不等式组，求解即可.
4．（2024高一上·郴州期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数均在定义域上单调递增，所以函数单调递增，
又因为，即，所以函数的零点所在的区间为.
故答案为：A.
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理判断即可.
5．（2024高一上·郴州期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数单调递增，所以，
又因为幂函数是上的单调递增，且，所以，
故.
故答案为：B.
【分析】根据幂函数的性质比较的大小，再根据与1的大小关系比较即可.
6．（2024高一上·郴州期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（ ）
A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象上所有的点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到，再把函数的图象上向左平移个单位，得到，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可..
7．（2024高一上·郴州期末）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定、、、、共五个等级（见下表）.第二步，将至五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分.
等级
比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 100-86 85-71 70-56 55-41 40-30
赋分公式：，计算出来的经过四舍五人后即为赋分成绩.
某次考试，化学成绩等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（ ）
A．85 B．88 C．91 D．95
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，该学生的化学赋分分数为，则，
即，解得分.
故答案为：C.
【分析】由题意，结合赋分公式可得，即可求得化学赋分分数.
8．（2024高一上·郴州期末）定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；指、对数不等式的解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据函数的定义可转换为满足的整数解的的和，
当时，作出函数和的大致图象，如图所示：
由图形可得的解集中整数解的个数有无数个，不符合题意；
当时，，由，解得或，
在内有3个整数解，即，所以，符合题意；
当时，做出函数和的大致图象，如图所示：
若，又，且，所以不等式的整数解为．
只需满足，即，解得，
综上所述，所以时，实数的取值范围为．
故答案为：D.
【分析】直接利用定义结合函数的性质、以及函数大致图象，再利用分类讨论思想和不等式的组的解法求解即可.
二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）
9．（2022高二下·番禺期中）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A符合题意，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B不符合题意，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C符合题意，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D不符合题意。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合三角型函数的最小正周期公式和偶函数的定义，进而找出满足要求的函数。
10．（2024高一上·郴州期末）若函数，（且）恒过一定点成立，且点在直线，（，）上，则下列命题成立的是（ ）
A．定点的坐标为 B．的最小值为4
C．的最小值为1 D．的最小值为1
【答案】A,C
【知识点】指数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：A、函数，令，解得，，则函数恒过点，故A正确，
B、因为点在直线（，）上，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为2，故B错误，
C、由B选项可知，，则，故，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
D、因为，所以，故，
当且仅当，即，但，因此等号不成立，即，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据指数函数恒过点确定函数过定点即可判断A；利用乘“1”法即可求解判断B；利用基本不等式求解即可判断C；换元结合基本不等式即可求解判断D.
11．（2024高一上·郴州期末）已知函数（）在区间上有且仅有3个零点，则（ ）
A．当时， B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是 D．在区间上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系；诱导公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，，故A正确；
C、因为且，所以，又因为函数在区间上有且仅有3个零点，
所以满足，即，故C正确，
B、若，则，这与矛盾，故B错误，
D、因为且，所以，又因为，即，
所以在区间上单调递增，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用诱导公式求解即可判断A；利用整体法，根据三个零点可得，即可判断C，根据周期公式即可判断B；根据整体法求解，而即可判断D.
12．（2024高一上·郴州期末）已知函数的定义域为，且对任意，都有及成立，当，且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．直线是函数的一条对称轴
C．函数在区间上为减函数
D．方程在区间上有4个不同的实根
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为，因为对于任意，都有，所以函数为偶函数，
又因为当，，且时，都有成立，所以函数在区间上单调递减，
再由，令，可得，
解得，所以，即函数是以2为周期的周期函数，
作出函数的图象，如图所示：
A、因为，故A正确；
B、因为，所以直线是函数的一条对称轴，故B正确；
C、因为，当时，，函数在区间单调递减，又因为函数为偶函数，
所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故C错误；
D、由于，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，，结合周期性可知，方程在区间上有根，共有4个不同的实数根，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，得函数为偶函数，又因为当，且时，都有成立，得到在单调递减，再根据，得出函数是以2为周期的周期函数，最后逐项判断即可.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高一上·郴州期末）已知幂函数过点，则 .
【答案】
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数过点，所以，解得.
故答案为：.
【分析】将点代入函数解析式，求解即可.
14．（2024高一上·郴州期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，不等式恒成立，所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
故为2，即，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】原问题转化为，利用基本不等式求即可.
15．（2024高一上·郴州期末）已知，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：由，利用诱导公式化简可得，解得，
.
故答案为：.
【分析】由题意，利用诱导公式化简可得，再根据二倍角公式结合同角三角函数基本关系化简求值即可.
16．（2024高一上·郴州期末）我们家里大多数装了空调，空调风机的工作原理就是把室内热空气抽出去，然后把室外新鲜空气通过空调制冷系统，净化后再传回室内.假设某房间体积为，室内热气的质量为，已知某款空调机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为（），室内热气体的浓度与时刻的函数关系为，其中常数为过滤效率，.若该款新风机的过滤效率为，且时室内热空气的浓度是时的倍，则该款空调单位时间内从室外吸入的空气体积 .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，， ，
因为，所以，
化简整理可得，解得，故，解得．
故答案为：.
【分析】由题意表达出，求出，再由列出方程，求出，两边取对数即可求解．
四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18～22题各12分，共70分.）
17．（2024高一上·郴州期末）已知全集，集合，.
（1）求集合，；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）解：由，解得，
由，，解得，
所以集合，；
（2）解：因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
即，所以的范围是.
【知识点】集合的表示方法；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可求得集合，；
（2）将充分不必要条件转化为集合间的关系，根据集合关系即可求解a的取值范围.
18．（2024高一上·郴州期末）已知函数
（1）完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图；
1 2 4
（2）根据（1）的结果，若（），试猜想的值，并证明你的结论.
【答案】（1）解：完成下列表格；
1 2 4
2 1 0 1 2
（2）解：猜想
证明：∵，∴
∴或
∵，∴
即，∴，∴
【知识点】函数的图象；函数的值；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，完成表格，再描点连线即可画出函数的图象；
（2）先猜想，再根据对数的运算性质求证即可.
19．（2024高一上·郴州期末）设函数（）.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：由题知，（）
所以函数的最小正周期
令（）
得，（）
所以的单调递增区间为，（）.
（2）解：因为，所以
所以当即时，有最大值，最大值为1
当即时，有最小值，最小值为
所以在区间的最大值为1，最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用周期公式求函数的最小正周期，再整体代入求函数的单调递增区间即可；
（2）整体代入结合正弦型函数的图象和性质求三角函数在给定区间的最值即可.
20．（2024高一上·郴州期末）某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完.
（1）求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：当时，
当时，
所以
（2）解：当时，
当时，
若时，则
当且仅当，即时，等号成立，此时.
因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，根据利润等于销售量减去成本即可求解利润的函数关系式；
（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质以及基本不等式求解最值即可.
21．（2024高一上·郴州期末）定义域为的函数是奇函数
（1）求的值并判断函数的单调性；
（2）对任意，使得恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为是奇函数，所以，即，解得，
时，，满足是奇函数，故；
，定义域为，
由于函数 单调递增，则单调递减，所以单调递减，
故为上的减函数.
（2）解：是奇函数，由得：
，又为减函数
所以，即在上恒成立，
设，则
因为，则，所以
所以，，所以，即.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，可得，求得，再利用指数函数的单调性判断函数的单调性即可；
（2）根据函数的奇偶性以及单调性将问题转化为在上恒成立，构造函，利用三角恒等变换结合三角函数的性质求解最值即可求得实数k的取值范围.
22．（2024高一上·郴州期末）对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
（1）证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
（2）已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.
【答案】（1）证明：若实数是的一个不动点，则，
所以，故函数不动点一定是函数的稳定点
（2）解：（Ⅰ）当时，，∴，解得：或
所以函数的不动点为1和；
又
∴
解得：或，或或
所以函数的稳定点为1和；
另解：所以函数的不动点为1和；
由得
即，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和一定是稳定点，
故可令
，
从而由待定系数法可求得，，
所以，
解得或，或或
所以函数的稳定点为1和；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，
当时，令，当且仅当时取等号，
又，由，可化为
，关于的方程有三个不等实根，
令，，
由于非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；
如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；
所以必有一根为正根和一个零根，即或
则，因为，得：，则.
故实数的取值范围是，.
【知识点】函数的表示方法；基本不等式；函数的零点与方程根的关系；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）根据不动点的定义可得，代入求证稳定点即可；
（2）（Ⅰ）根据不动点以及稳定点的定义解方程即可；
（Ⅱ）根据不动点的定义以及换元可得，将问题进一步转化为，根据二次方程根的分布即可判定的方程必有一根为正根和一个零根，再根据韦达定理求解即可.
1 / 1湖南省郴州市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2020高一上·威海期末）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·郴州期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024高一上·郴州期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·郴州期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·郴州期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·郴州期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（ ）
A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
7．（2024高一上·郴州期末）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定、、、、共五个等级（见下表）.第二步，将至五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分.
等级
比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 100-86 85-71 70-56 55-41 40-30
赋分公式：，计算出来的经过四舍五人后即为赋分成绩.
某次考试，化学成绩等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（ ）
A．85 B．88 C．91 D．95
8．（2024高一上·郴州期末）定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）
9．（2022高二下·番禺期中）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·郴州期末）若函数，（且）恒过一定点成立，且点在直线，（，）上，则下列命题成立的是（ ）
A．定点的坐标为 B．的最小值为4
C．的最小值为1 D．的最小值为1
11．（2024高一上·郴州期末）已知函数（）在区间上有且仅有3个零点，则（ ）
A．当时， B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是 D．在区间上单调递增
12．（2024高一上·郴州期末）已知函数的定义域为，且对任意，都有及成立，当，且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．直线是函数的一条对称轴
C．函数在区间上为减函数
D．方程在区间上有4个不同的实根
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高一上·郴州期末）已知幂函数过点，则 .
14．（2024高一上·郴州期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
15．（2024高一上·郴州期末）已知，则 .
16．（2024高一上·郴州期末）我们家里大多数装了空调，空调风机的工作原理就是把室内热空气抽出去，然后把室外新鲜空气通过空调制冷系统，净化后再传回室内.假设某房间体积为，室内热气的质量为，已知某款空调机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为（），室内热气体的浓度与时刻的函数关系为，其中常数为过滤效率，.若该款新风机的过滤效率为，且时室内热空气的浓度是时的倍，则该款空调单位时间内从室外吸入的空气体积 .
四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18～22题各12分，共70分.）
17．（2024高一上·郴州期末）已知全集，集合，.
（1）求集合，；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
18．（2024高一上·郴州期末）已知函数
（1）完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图；
1 2 4
（2）根据（1）的结果，若（），试猜想的值，并证明你的结论.
19．（2024高一上·郴州期末）设函数（）.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
20．（2024高一上·郴州期末）某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完.
（1）求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
（2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？
21．（2024高一上·郴州期末）定义域为的函数是奇函数
（1）求的值并判断函数的单调性；
（2）对任意，使得恒成立，求实数的取值范围.
22．（2024高一上·郴州期末）对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
（1）证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
（2）已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】命题“ ”的否定是“ ”.
故答案为：B
【分析】根据题意由全称命题的否定是特称命题即可调查答案。
2．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为集合，，，所以或，即的可能取值个数为2个.
故答案为：B.
【分析】根据集合的并集运算，结合集合的元素的特性求解即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，故函数的定义域为.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数和偶次根式有意义列不等式组，求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数均在定义域上单调递增，所以函数单调递增，
又因为，即，所以函数的零点所在的区间为.
故答案为：A.
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理判断即可.
5．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数单调递增，所以，
又因为幂函数是上的单调递增，且，所以，
故.
故答案为：B.
【分析】根据幂函数的性质比较的大小，再根据与1的大小关系比较即可.
6．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象上所有的点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到，再把函数的图象上向左平移个单位，得到，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可..
7．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，该学生的化学赋分分数为，则，
即，解得分.
故答案为：C.
【分析】由题意，结合赋分公式可得，即可求得化学赋分分数.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；指、对数不等式的解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据函数的定义可转换为满足的整数解的的和，
当时，作出函数和的大致图象，如图所示：
由图形可得的解集中整数解的个数有无数个，不符合题意；
当时，，由，解得或，
在内有3个整数解，即，所以，符合题意；
当时，做出函数和的大致图象，如图所示：
若，又，且，所以不等式的整数解为．
只需满足，即，解得，
综上所述，所以时，实数的取值范围为．
故答案为：D.
【分析】直接利用定义结合函数的性质、以及函数大致图象，再利用分类讨论思想和不等式的组的解法求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A符合题意，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B不符合题意，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C符合题意，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D不符合题意。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合三角型函数的最小正周期公式和偶函数的定义，进而找出满足要求的函数。
10．【答案】A,C
【知识点】指数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：A、函数，令，解得，，则函数恒过点，故A正确，
B、因为点在直线（，）上，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为2，故B错误，
C、由B选项可知，，则，故，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
D、因为，所以，故，
当且仅当，即，但，因此等号不成立，即，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据指数函数恒过点确定函数过定点即可判断A；利用乘“1”法即可求解判断B；利用基本不等式求解即可判断C；换元结合基本不等式即可求解判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系；诱导公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，，故A正确；
C、因为且，所以，又因为函数在区间上有且仅有3个零点，
所以满足，即，故C正确，
B、若，则，这与矛盾，故B错误，
D、因为且，所以，又因为，即，
所以在区间上单调递增，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用诱导公式求解即可判断A；利用整体法，根据三个零点可得，即可判断C，根据周期公式即可判断B；根据整体法求解，而即可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为，因为对于任意，都有，所以函数为偶函数，
又因为当，，且时，都有成立，所以函数在区间上单调递减，
再由，令，可得，
解得，所以，即函数是以2为周期的周期函数，
作出函数的图象，如图所示：
A、因为，故A正确；
B、因为，所以直线是函数的一条对称轴，故B正确；
C、因为，当时，，函数在区间单调递减，又因为函数为偶函数，
所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故C错误；
D、由于，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，，结合周期性可知，方程在区间上有根，共有4个不同的实数根，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，得函数为偶函数，又因为当，且时，都有成立，得到在单调递减，再根据，得出函数是以2为周期的周期函数，最后逐项判断即可.
13．【答案】
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数过点，所以，解得.
故答案为：.
【分析】将点代入函数解析式，求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，不等式恒成立，所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
故为2，即，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】原问题转化为，利用基本不等式求即可.
15．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：由，利用诱导公式化简可得，解得，
.
故答案为：.
【分析】由题意，利用诱导公式化简可得，再根据二倍角公式结合同角三角函数基本关系化简求值即可.
16．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，， ，
因为，所以，
化简整理可得，解得，故，解得．
故答案为：.
【分析】由题意表达出，求出，再由列出方程，求出，两边取对数即可求解．
17．【答案】（1）解：由，解得，
由，，解得，
所以集合，；
（2）解：因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
即，所以的范围是.
【知识点】集合的表示方法；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可求得集合，；
（2）将充分不必要条件转化为集合间的关系，根据集合关系即可求解a的取值范围.
18．【答案】（1）解：完成下列表格；
1 2 4
2 1 0 1 2
（2）解：猜想
证明：∵，∴
∴或
∵，∴
即，∴，∴
【知识点】函数的图象；函数的值；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，完成表格，再描点连线即可画出函数的图象；
（2）先猜想，再根据对数的运算性质求证即可.
19．【答案】（1）解：由题知，（）
所以函数的最小正周期
令（）
得，（）
所以的单调递增区间为，（）.
（2）解：因为，所以
所以当即时，有最大值，最大值为1
当即时，有最小值，最小值为
所以在区间的最大值为1，最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用周期公式求函数的最小正周期，再整体代入求函数的单调递增区间即可；
（2）整体代入结合正弦型函数的图象和性质求三角函数在给定区间的最值即可.
20．【答案】（1）解：当时，
当时，
所以
（2）解：当时，
当时，
若时，则
当且仅当，即时，等号成立，此时.
因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，根据利润等于销售量减去成本即可求解利润的函数关系式；
（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质以及基本不等式求解最值即可.
21．【答案】（1）解：因为是奇函数，所以，即，解得，
时，，满足是奇函数，故；
，定义域为，
由于函数 单调递增，则单调递减，所以单调递减，
故为上的减函数.
（2）解：是奇函数，由得：
，又为减函数
所以，即在上恒成立，
设，则
因为，则，所以
所以，，所以，即.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，可得，求得，再利用指数函数的单调性判断函数的单调性即可；
（2）根据函数的奇偶性以及单调性将问题转化为在上恒成立，构造函，利用三角恒等变换结合三角函数的性质求解最值即可求得实数k的取值范围.
22．【答案】（1）证明：若实数是的一个不动点，则，
所以，故函数不动点一定是函数的稳定点
（2）解：（Ⅰ）当时，，∴，解得：或
所以函数的不动点为1和；
又
∴
解得：或，或或
所以函数的稳定点为1和；
另解：所以函数的不动点为1和；
由得
即，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和一定是稳定点，
故可令
，
从而由待定系数法可求得，，
所以，
解得或，或或
所以函数的稳定点为1和；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，
当时，令，当且仅当时取等号，
又，由，可化为
，关于的方程有三个不等实根，
令，，
由于非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；
如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；
所以必有一根为正根和一个零根，即或
则，因为，得：，则.
故实数的取值范围是，.
【知识点】函数的表示方法；基本不等式；函数的零点与方程根的关系；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）根据不动点的定义可得，代入求证稳定点即可；
（2）（Ⅰ）根据不动点以及稳定点的定义解方程即可；
（Ⅱ）根据不动点的定义以及换元可得，将问题进一步转化为，根据二次方程根的分布即可判定的方程必有一根为正根和一个零根，再根据韦达定理求解即可.
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