湖南省长沙市雨花区2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高一上·雨花期末）如图所示的Venn图中，集合A={0，1，2}，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知：阴影部分表示元素属于集合或，但不属于，
故阴影部分表示的集合是.
故答案为：B.
【分析】根据图知阴影部分元素属于集合或，但不属于，结合已知即可求得集合.
2．（2024高一上·雨花期末）已知一个扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的周长为（ ）
A．32 B． C．30 D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角、半径以及弧长分别为，则弧长，扇形的周长为.
故答案为：D.
【分析】由扇形的即可得解.
3．（2024高一上·雨花期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（ ）
A．[1，2]或[2，3]都可以 B．[2，3]
C．1，2] D．不能确定
【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：，，
第一次取，有，
故第二次取，有，，
故经过两次二分后，可确定近似解所在区间为.
故答案为：B.
【分析】根据二分法定义计算判断即可.
4．（2024高一上·雨花期末）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
当时，函数的图象分布第一、三象限且过原点，不符合题意；
当时，函数的图象分布第一、二象限，
故“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的充分不必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数求出值，再根据图象的分布确定，最后判断与“或”的推出关系即可判断.
5．（2024高一上·雨花期末）中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：易知，，则，
则，
当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，故．
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值时三角形各边长，即可求得求．
6．（2024高一上·雨花期末）已知，则的值为（ ）
A． B．-4 C． D．4
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，两边平方可得，
解得，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，结合同角三角函数基本关系化简求值即可.
7．（2022·吕梁模拟）函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】的定义域为，
，为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项.
，，排除BD选项.
所以A选项符合.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用奇函数的图象的对称性结合特殊点排除法，进而找出函数的大致图像。
8．（2024高一上·雨花期末）如果函数在区间D上是增函数，而函数在区间D上是减函数，那么称函数是区间D上
的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”.若函数是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的对称轴为，则函数在区间上单调递增，当时，，根据对勾函数的性质可知：函数在区间上单调递减，故“缓增区间”.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数和对勾函数的单调性求出相应的单调区间即可．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2020高一下·南平期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 且 ，则
【答案】B,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A：当 时，不等式不成立，故本命题是假命题；
B: ，所以本命题是真命题；
C: ，所以本命题是真命题；
D: ，所以本命题是真命题，
故答案为：BCD.
【分析】A:根据 的正负性可以判断本命题是假命题；
B:利用不等式的性质4，2，可以判断本命题是真命题；
C:利用不等式的性质7，4，可以判断本命题是真命题；
D:对不等式 进行移项，通分，再由 ，可以判断本命题是真命题；
10．（2024高一上·雨花期末）下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一函数
B．已知，若，则=-26
C．若角是第一象限角，则是第一或第二象限角
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】A,B
【知识点】同一函数的判定；函数恒成立问题；函数的值；象限角、轴线角
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为且，与函数是同一函数，故A正确；
B、因为，所以，即，
则，故B正确；
C、因为角是第一象限角，所以，所以，
当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角，故C错误；
D、当时，原不等式转化为恒成立，满足要求；当时，不等式恒成立，则，
解得，综上可知：的取值范围是，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据函数的三要素即可判断A；由，利用奇函数性质，计算即可即可判断B；由是第一象限角求得的取值范围即可判断C；分和两种情况，结合根的判别式列不等式求解即可判断D.
11．（2024高一上·雨花期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．
B．关于对称
C．在区间上有644个零点
D．若在上是增函数，则的最大值为
【答案】B,C
【知识点】复合函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数，故A错误；
B、，故B正确；
C、令，得，即，
令，解得，
所以在区间上有644个零点，故C正确；
D、首先，取，则当时，有，
由复合函数单调性可知此时也单调递增，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由平移变换法则首先得即可判断A；直接代入检验即可判断B；得是函数零点，令，看关于的不等式的整数解的个数即可判断C；由复合函数单调性举反例即可判断D.
12．（2024高一上·雨花期末）函数的定义域为R，对任意的实数，满足，下列结论正确的是（ ）
A．函数在R上是单调递减函数 B．
C． D．的解为
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
即函数在上单调递增，故A错误；
B、由A可知函数单调递增，因为，所以，故B正确；
C、函数在单调递增，不一定有，故C错误；
D、因为函数单调递增，所以，即，解得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】将原式变形可得，推出函数在上单调递增，利用函数的单调性逐项判断即可.
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高一上·雨花期末）已知函数，则= ．
【答案】0
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：0.
【分析】由分段函数解析式结合特殊角的三角函数值求值即可.
14．（2024高一上·雨花期末）已知函数的定义域为，则的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为， 要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据抽象函数求定义域的方法结合函数有意义，列不等式组求解即可.
15．（2024高一上·雨花期末）函数在单调递增，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，所以，解得，
设，则，即，解得，
综上所述，a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据复合函数的单调性和二次函数单调性及函数的定义域，列不等式组求解即可.
16．（2024高一上·雨花期末）已知正实数满足方程，则的最小值 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式
【解析】【解答】解：令，函数在上单调递增，
又因为，所以，即，
所以，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】构造函数，并判断其单调性，将原式转化为，即，再利用基本不等式求最值即可.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024高一上·雨花期末）已知集合
．
（1）若，求A∪；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，{或}，.
（2）解：因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得.
综上所述，的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）将代入，再计算，最后根据集合的并集运算求解即可；
（2）根据可得，再分是否为空集列不等式计算即可.
18．（2024高一上·雨花期末）求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据指数幂运算以及对数运算法则求解即可；
（2）利用同角三角函数基本关系化简求值即可.
19．（2024高一上·雨花期末）已知函数的图象恒过定点，点又在函数的图象上．
（1）求a的值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：的图象恒过定点，因为点又在函数的图象上，所以，又因为，所以.
（2）解：因为，
则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，，则，函数的对称轴为，
①，即，在区间上单调递增，，则，又，；
②，即，
函数在上单调递减，在区间上单调递增，
则，
则，又，所以无解；
③，即，在区间上单调递减，
，即，又，无解；
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据恒过定点，求出点A的坐标，再根据点A再函数图象上，代入即可求得a的值；
（2）将问题转化为在区间上恒成立，令，利用函数的单调性求的最小值即可求得k的取值范围.
20．（2024高一上·雨花期末）已知函数
.
（1）若函数的图象关于直线对称，，求的值及函数单增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，和是函数的两个零点，求的值.
【答案】（1）解：，
的图象关于直线对称，则，解得，， ，则，
由得.
则的单调递增区间为
（2）解：， ， 和是的两个零点， ，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正、余弦的二倍角公式集合两角差的正弦公式化简函数式，再根据正弦型函数对称性求参数，整体代入求其单调增区间即可；
（2）根据题设得到与关于对称，求出，即可求值.
21．（2024高一上·雨花期末）春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.
（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少
【答案】（1）解：当时，设，，则，
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2）解：，
①当时，，仅当时等号成立.
②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意设函数解析式，将点代入可得解析式，代入，即可求值；
（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性求最值，比较大小，即可求解.
22．（2024高一上·雨花期末） 如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
（1）已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值；
（2）已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：具有“性质”，对恒成立，是偶函数.
当时，，所以当时，
则，
由得，当时
因为是增函数，在单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，
因此，在上的最大值为
（2）解：函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，
如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得是偶函数，根据偶函数性质求出的解析式，由复合函数的单调性判断在上单调性，求出最值即可；
（2）由对称性求出的解析式，有8个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，，且，，最后根据一元二次方程的实根分布求解即可.
1 / 1湖南省长沙市雨花区2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高一上·雨花期末）如图所示的Venn图中，集合A={0，1，2}，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·雨花期末）已知一个扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的周长为（ ）
A．32 B． C．30 D．
3．（2024高一上·雨花期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（ ）
A．[1，2]或[2，3]都可以 B．[2，3]
C．1，2] D．不能确定
4．（2024高一上·雨花期末）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一上·雨花期末）中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2024高一上·雨花期末）已知，则的值为（ ）
A． B．-4 C． D．4
7．（2022·吕梁模拟）函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024高一上·雨花期末）如果函数在区间D上是增函数，而函数在区间D上是减函数，那么称函数是区间D上
的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”.若函数是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2020高一下·南平期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 且 ，则
10．（2024高一上·雨花期末）下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一函数
B．已知，若，则=-26
C．若角是第一象限角，则是第一或第二象限角
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
11．（2024高一上·雨花期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．
B．关于对称
C．在区间上有644个零点
D．若在上是增函数，则的最大值为
12．（2024高一上·雨花期末）函数的定义域为R，对任意的实数，满足，下列结论正确的是（ ）
A．函数在R上是单调递减函数 B．
C． D．的解为
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高一上·雨花期末）已知函数，则= ．
14．（2024高一上·雨花期末）已知函数的定义域为，则的定义域为 ．
15．（2024高一上·雨花期末）函数在单调递增，则a的取值范围是 ．
16．（2024高一上·雨花期末）已知正实数满足方程，则的最小值 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024高一上·雨花期末）已知集合
．
（1）若，求A∪；
（2）若，求a的取值范围．
18．（2024高一上·雨花期末）求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19．（2024高一上·雨花期末）已知函数的图象恒过定点，点又在函数的图象上．
（1）求a的值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
20．（2024高一上·雨花期末）已知函数
.
（1）若函数的图象关于直线对称，，求的值及函数单增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，和是函数的两个零点，求的值.
21．（2024高一上·雨花期末）春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.
（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少
22．（2024高一上·雨花期末） 如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
（1）已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值；
（2）已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知：阴影部分表示元素属于集合或，但不属于，
故阴影部分表示的集合是.
故答案为：B.
【分析】根据图知阴影部分元素属于集合或，但不属于，结合已知即可求得集合.
2．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角、半径以及弧长分别为，则弧长，扇形的周长为.
故答案为：D.
【分析】由扇形的即可得解.
3．【答案】B
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：，，
第一次取，有，
故第二次取，有，，
故经过两次二分后，可确定近似解所在区间为.
故答案为：B.
【分析】根据二分法定义计算判断即可.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
当时，函数的图象分布第一、三象限且过原点，不符合题意；
当时，函数的图象分布第一、二象限，
故“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的充分不必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数求出值，再根据图象的分布确定，最后判断与“或”的推出关系即可判断.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：易知，，则，
则，
当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，故．
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值时三角形各边长，即可求得求．
6．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，两边平方可得，
解得，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，结合同角三角函数基本关系化简求值即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】的定义域为，
，为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项.
，，排除BD选项.
所以A选项符合.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数，再利用奇函数的图象的对称性结合特殊点排除法，进而找出函数的大致图像。
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的对称轴为，则函数在区间上单调递增，当时，，根据对勾函数的性质可知：函数在区间上单调递减，故“缓增区间”.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数和对勾函数的单调性求出相应的单调区间即可．
9．【答案】B,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A：当 时，不等式不成立，故本命题是假命题；
B: ，所以本命题是真命题；
C: ，所以本命题是真命题；
D: ，所以本命题是真命题，
故答案为：BCD.
【分析】A:根据 的正负性可以判断本命题是假命题；
B:利用不等式的性质4，2，可以判断本命题是真命题；
C:利用不等式的性质7，4，可以判断本命题是真命题；
D:对不等式 进行移项，通分，再由 ，可以判断本命题是真命题；
10．【答案】A,B
【知识点】同一函数的判定；函数恒成立问题；函数的值；象限角、轴线角
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为且，与函数是同一函数，故A正确；
B、因为，所以，即，
则，故B正确；
C、因为角是第一象限角，所以，所以，
当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角，故C错误；
D、当时，原不等式转化为恒成立，满足要求；当时，不等式恒成立，则，
解得，综上可知：的取值范围是，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据函数的三要素即可判断A；由，利用奇函数性质，计算即可即可判断B；由是第一象限角求得的取值范围即可判断C；分和两种情况，结合根的判别式列不等式求解即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】复合函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数，故A错误；
B、，故B正确；
C、令，得，即，
令，解得，
所以在区间上有644个零点，故C正确；
D、首先，取，则当时，有，
由复合函数单调性可知此时也单调递增，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由平移变换法则首先得即可判断A；直接代入检验即可判断B；得是函数零点，令，看关于的不等式的整数解的个数即可判断C；由复合函数单调性举反例即可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
即函数在上单调递增，故A错误；
B、由A可知函数单调递增，因为，所以，故B正确；
C、函数在单调递增，不一定有，故C错误；
D、因为函数单调递增，所以，即，解得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】将原式变形可得，推出函数在上单调递增，利用函数的单调性逐项判断即可.
13．【答案】0
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：0.
【分析】由分段函数解析式结合特殊角的三角函数值求值即可.
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为， 要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据抽象函数求定义域的方法结合函数有意义，列不等式组求解即可.
15．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，所以，解得，
设，则，即，解得，
综上所述，a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据复合函数的单调性和二次函数单调性及函数的定义域，列不等式组求解即可.
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式
【解析】【解答】解：令，函数在上单调递增，
又因为，所以，即，
所以，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】构造函数，并判断其单调性，将原式转化为，即，再利用基本不等式求最值即可.
17．【答案】（1）解：当时，集合，{或}，.
（2）解：因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得.
综上所述，的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）将代入，再计算，最后根据集合的并集运算求解即可；
（2）根据可得，再分是否为空集列不等式计算即可.
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据指数幂运算以及对数运算法则求解即可；
（2）利用同角三角函数基本关系化简求值即可.
19．【答案】（1）解：的图象恒过定点，因为点又在函数的图象上，所以，又因为，所以.
（2）解：因为，
则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，，则，函数的对称轴为，
①，即，在区间上单调递增，，则，又，；
②，即，
函数在上单调递减，在区间上单调递增，
则，
则，又，所以无解；
③，即，在区间上单调递减，
，即，又，无解；
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据恒过定点，求出点A的坐标，再根据点A再函数图象上，代入即可求得a的值；
（2）将问题转化为在区间上恒成立，令，利用函数的单调性求的最小值即可求得k的取值范围.
20．【答案】（1）解：，
的图象关于直线对称，则，解得，， ，则，
由得.
则的单调递增区间为
（2）解：， ， 和是的两个零点， ，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正、余弦的二倍角公式集合两角差的正弦公式化简函数式，再根据正弦型函数对称性求参数，整体代入求其单调增区间即可；
（2）根据题设得到与关于对称，求出，即可求值.
21．【答案】（1）解：当时，设，，则，
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.
（2）解：，
①当时，，仅当时等号成立.
②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意设函数解析式，将点代入可得解析式，代入，即可求值；
（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性求最值，比较大小，即可求解.
22．【答案】（1）解：具有“性质”，对恒成立，是偶函数.
当时，，所以当时，
则，
由得，当时
因为是增函数，在单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，
因此，在上的最大值为
（2）解：函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，
如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得是偶函数，根据偶函数性质求出的解析式，由复合函数的单调性判断在上单调性，求出最值即可；
（2）由对称性求出的解析式，有8个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，，且，，最后根据一元二次方程的实根分布求解即可.
1 / 1
