贵州省铜仁市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024高一上·铜仁期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 因为集合，所以 .
故答案为：B.
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
2．（2024高一上·铜仁期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式变形为特殊角三角函数，即可求解.
3．（2024高一上·铜仁期末）命题，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解： 因为命题，所以 为 .
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可求解.
4．（2024高一上·铜仁期末）已知，则它们的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】利用指数函数、对数函数单调性，即可判断其大小.
5．（2024高一上·铜仁期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）
A． B．的定义域是
C．在上为减函数 D．为奇函数
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数 ， 因为图象过点，所以，
所以，所以 在上为减函数 .
故答案为：C.
【分析】根据 幂函数的图象过点 ，求出幂函数解析式，根据幂函数单调性即可求解.
6．（2024高一上·铜仁期末）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以f(x)为偶函数，当时，单调递增，由得，
或且，
所以 使得成立的的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，将转化为求解即可.
7．（2024高一上·铜仁期末）设函数，若函数在上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为 在上恰有3个零点 ，
所以在上有3个解，，所以.
故答案为：B.
【分析】根据得，根据在上有3个解，即可得，解得 正实数的取值范围 .
8．（2024高一上·铜仁期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当x∈(-1，1)时，不等式2kx - kx-<0恒成立，
当k=0时，，满足不等式恒成立；
当k ≠ 0时，令f(x) = 2kx - kx -，则f(x) < 0在(-1，1)上恒成立，
因为函数f(x)的图像抛物线对称轴为x=，
k> 0时，f(x)在(-1，)上单调递减，在(，1)上单调递增，则
所以.
k< 0时，f(x)在(-1，)上单调递增，在(，1)上单调递减，则
综上可知，k的取值范围是(-3，]
故答案为：D.
【分析】根据当x∈(-1，1)时，不等式2kx - kx-<0恒成立，对二项式系数进行分类，结合二次函数的性质，列出关系式求解即可.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高一上·铜仁期末）下列函数为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，定义域为R，所以，，
所以 是偶函数，故A正确.
对于B，f(x)= x5+ a sin x定义域为 R，关于原点对称，
f(-x)=(-x)5+ asin(-x) = -x5 -asinx=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故B错误.
对于C，定义域为(-∞，0) ∪ (0，+∞)，关于原点对称，
又所以f(x)为非奇非偶函数，故C错误.
对于D选项，f(x) = x + |x| + 2定义域为 R，关于原点对称，
f(-x)=(-x) +|-x|+2=x +|x|+2=f(x)，所以f(x)为偶函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求定义域，然后判断定义域是否关于原点对称，再求f(-x)，根据偶函数定义，逐一判断即可.
10．（2024高一上·铜仁期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：因为a>0，b> 0，且a+b=1，所以，
当且仅当 a=b=时取等号，故A正确.
由A知，，故B正确.
当且仅当 a =b=时取等号，故C错误.
， 当且仅当a=b=时取等号，D正确.
故答案为： ABD.
【分析】根据基本不等式，结合指数、对数运算法则逐一判断即可.
11．（2024高一上·铜仁期末）如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．这段曲线的解析式是
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：根据图象可得函数的最大值A+b=30，最小值-A+b=10，解得A=10，b=20，
因为=14-6=8，所以T=16，所以
由五点法作图，可得x6+=π，求得
故
故答案为： AC.
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出w，由五点法作图过点（6，10）求出φ的值，可得函数的解析式.
12．（2024高一上·铜仁期末）已知函数设的实数解个数为，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．函数的值域为
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：f(-1)=-4，f(0)=-3，观察函数图象得，当时，，故A错误.
当时， ，故B错误.
当时， ，故C正确.
函数的值域为 ，故D正确.
故答案为：C、D.
【分析】先作出分段函数图象，观察图像逐一判断即可.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高一上·铜仁期末）已知，则 ．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为
所以.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式转化为即可求解.
14．（2024高一上·铜仁期末）函数的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，当且仅当，即x=2时取等号.
所以函数的最大值为 .
故答案为：.
【分析】先将函数变形为，然后利用均值不等式，即可求解.
15．（2024高一上·铜仁期末）将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：将函数y = 2cos(2x +)的图象向右平移个单位，可得y= 2cos(2x-)的图象，
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y = g(x) = 2 cos(x-）的图象.
故答案为：g(x) = 2 cos(x-).
【分析】利用函数y= Asin(wx +φ)的图象变换规律，先转化为y= 2cos(2x-).
再转化为y=2 cos(x-）即可.
16．（2024高一上·铜仁期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：“函数的图象关于点成中心对称图象的充要条件是函数为奇函数”，由此可得函数图象的对称中心是 ．
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：设f(x)= x - 6x2的对称中心为(a，b)，
因为函数y =f(x+a) -b为奇函数可得 f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(-x+a)+f(x +a)= 2b，所以(-x +a) - 6(-x +a) + (x +a)3 - 6(x +a) = 2b
所以(6a - 12)x + 2a3 - 12a = 2b，所以
解得a= 2，b=-16，所以其对称中心为(2，-16).
故答案为：(2，-16).
【分析】设f(x)= x - 6x2的对称中心为(a，b)，根据函数y =f(x+a) -b为奇函数，得f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，代入，构造方程组即可求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024高一上·铜仁期末）已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若集合满足条件：①；②；③是的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）因为，所以，
所以，
所以．
（2）选择①
因为，所以
所以
所以
选择②
因为，所以
所以
所以
选择③
因为是的必要条件，所以
所以
可以是空集，不用分类，分类不分类都给分.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】(1)将代入，根据补集和并集的定义求解即可.
(2)分别选择条件，根据必要条件定义得两个集合的包含关系，列不等式组即可求得实数m的取值范围.
18．（2024高一上·铜仁期末）（1）计算．
（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：）．
【答案】（1）解：原式（每化简对一个得1分）
（2）解：设经过次过滤，产品达到市场要求，
则，
即，
所以，即，
即，
所以使产品达到市场要求的过滤的最少次数为9次．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数式、对数式运算法则计算即可.
（2）根据题意得，两边取对数，利用对数运算性质计算即可.
19．（2024高一上·铜仁期末）（1）计算．
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）解：原式
（2）已知，且，求的值．
解：因为，
所以，所以，
，
所以
，
又因为，所以．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）先切变弦，通分以后转化为两角差的正弦，再用二倍角正弦公式即可求解.
(2)根据同角三角函数关系，求得、，将转化为展开代入即可.
20．（2024高一上·铜仁期末）已知函数．
（1）求函数的周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值、最小值．
【答案】（1），
所以，函数的周期为．
由，
得：，
所以函数的单调递减区间为．
（2）因为，
所以
所以，
所以函数在区间上的最大值是，最小值是．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用二倍角公式、两角和差公式，进行三角恒等变换，得，由周期公式可求函数f(x)的最小正周期，利用正弦函数单调性即可求得单调减区间.
（2）由得，利用正弦型函数图象即可得最大、最小值.
21．（2024高一上·铜仁期末）已知是奇函数，是偶函数．
（1）求的值；
（2）若不等式恒成立，求时实数的取值范围．
【答案】（1）因为是奇函数，
所以，
所以．
因为是偶函数，
所以，
即：，
所以，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知
因为为增函数，为减函数，
所以在上单调递增，
不等式恒成立，
只需
即：
所以，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
所以．
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性定义，结合指数式、对数式运算，即可求得a、b.
（2）根据函数单调性，将转化为利用单调性解不等式即可.
1 / 1贵州省铜仁市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024高一上·铜仁期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·铜仁期末）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·铜仁期末）命题，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024高一上·铜仁期末）已知，则它们的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·铜仁期末）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）
A． B．的定义域是
C．在上为减函数 D．为奇函数
6．（2024高一上·铜仁期末）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024高一上·铜仁期末）设函数，若函数在上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·铜仁期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高一上·铜仁期末）下列函数为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·铜仁期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·铜仁期末）如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．这段曲线的解析式是
12．（2024高一上·铜仁期末）已知函数设的实数解个数为，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．函数的值域为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高一上·铜仁期末）已知，则 ．
14．（2024高一上·铜仁期末）函数的最大值为 ．
15．（2024高一上·铜仁期末）将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是 ．
16．（2024高一上·铜仁期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：“函数的图象关于点成中心对称图象的充要条件是函数为奇函数”，由此可得函数图象的对称中心是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024高一上·铜仁期末）已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若集合满足条件：①；②；③是的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18．（2024高一上·铜仁期末）（1）计算．
（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：）．
19．（2024高一上·铜仁期末）（1）计算．
（2）已知，且，求的值．
20．（2024高一上·铜仁期末）已知函数．
（1）求函数的周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值、最小值．
21．（2024高一上·铜仁期末）已知是奇函数，是偶函数．
（1）求的值；
（2）若不等式恒成立，求时实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 因为集合，所以 .
故答案为：B.
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
2．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式变形为特殊角三角函数，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解： 因为命题，所以 为 .
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】利用指数函数、对数函数单调性，即可判断其大小.
5．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设幂函数 ， 因为图象过点，所以，
所以，所以 在上为减函数 .
故答案为：C.
【分析】根据 幂函数的图象过点 ，求出幂函数解析式，根据幂函数单调性即可求解.
6．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以f(x)为偶函数，当时，单调递增，由得，
或且，
所以 使得成立的的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，将转化为求解即可.
7．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为 在上恰有3个零点 ，
所以在上有3个解，，所以.
故答案为：B.
【分析】根据得，根据在上有3个解，即可得，解得 正实数的取值范围 .
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当x∈(-1，1)时，不等式2kx - kx-<0恒成立，
当k=0时，，满足不等式恒成立；
当k ≠ 0时，令f(x) = 2kx - kx -，则f(x) < 0在(-1，1)上恒成立，
因为函数f(x)的图像抛物线对称轴为x=，
k> 0时，f(x)在(-1，)上单调递减，在(，1)上单调递增，则
所以.
k< 0时，f(x)在(-1，)上单调递增，在(，1)上单调递减，则
综上可知，k的取值范围是(-3，]
故答案为：D.
【分析】根据当x∈(-1，1)时，不等式2kx - kx-<0恒成立，对二项式系数进行分类，结合二次函数的性质，列出关系式求解即可.
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，定义域为R，所以，，
所以 是偶函数，故A正确.
对于B，f(x)= x5+ a sin x定义域为 R，关于原点对称，
f(-x)=(-x)5+ asin(-x) = -x5 -asinx=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故B错误.
对于C，定义域为(-∞，0) ∪ (0，+∞)，关于原点对称，
又所以f(x)为非奇非偶函数，故C错误.
对于D选项，f(x) = x + |x| + 2定义域为 R，关于原点对称，
f(-x)=(-x) +|-x|+2=x +|x|+2=f(x)，所以f(x)为偶函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求定义域，然后判断定义域是否关于原点对称，再求f(-x)，根据偶函数定义，逐一判断即可.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：因为a>0，b> 0，且a+b=1，所以，
当且仅当 a=b=时取等号，故A正确.
由A知，，故B正确.
当且仅当 a =b=时取等号，故C错误.
， 当且仅当a=b=时取等号，D正确.
故答案为： ABD.
【分析】根据基本不等式，结合指数、对数运算法则逐一判断即可.
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：根据图象可得函数的最大值A+b=30，最小值-A+b=10，解得A=10，b=20，
因为=14-6=8，所以T=16，所以
由五点法作图，可得x6+=π，求得
故
故答案为： AC.
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出w，由五点法作图过点（6，10）求出φ的值，可得函数的解析式.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：f(-1)=-4，f(0)=-3，观察函数图象得，当时，，故A错误.
当时， ，故B错误.
当时， ，故C正确.
函数的值域为 ，故D正确.
故答案为：C、D.
【分析】先作出分段函数图象，观察图像逐一判断即可.
13．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为
所以.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式转化为即可求解.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，当且仅当，即x=2时取等号.
所以函数的最大值为 .
故答案为：.
【分析】先将函数变形为，然后利用均值不等式，即可求解.
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：将函数y = 2cos(2x +)的图象向右平移个单位，可得y= 2cos(2x-)的图象，
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y = g(x) = 2 cos(x-）的图象.
故答案为：g(x) = 2 cos(x-).
【分析】利用函数y= Asin(wx +φ)的图象变换规律，先转化为y= 2cos(2x-).
再转化为y=2 cos(x-）即可.
16．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：设f(x)= x - 6x2的对称中心为(a，b)，
因为函数y =f(x+a) -b为奇函数可得 f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(-x+a)+f(x +a)= 2b，所以(-x +a) - 6(-x +a) + (x +a)3 - 6(x +a) = 2b
所以(6a - 12)x + 2a3 - 12a = 2b，所以
解得a= 2，b=-16，所以其对称中心为(2，-16).
故答案为：(2，-16).
【分析】设f(x)= x - 6x2的对称中心为(a，b)，根据函数y =f(x+a) -b为奇函数，得f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，代入，构造方程组即可求解.
17．【答案】（1）因为，所以，
所以，
所以．
（2）选择①
因为，所以
所以
所以
选择②
因为，所以
所以
所以
选择③
因为是的必要条件，所以
所以
可以是空集，不用分类，分类不分类都给分.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】(1)将代入，根据补集和并集的定义求解即可.
(2)分别选择条件，根据必要条件定义得两个集合的包含关系，列不等式组即可求得实数m的取值范围.
18．【答案】（1）解：原式（每化简对一个得1分）
（2）解：设经过次过滤，产品达到市场要求，
则，
即，
所以，即，
即，
所以使产品达到市场要求的过滤的最少次数为9次．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数式、对数式运算法则计算即可.
（2）根据题意得，两边取对数，利用对数运算性质计算即可.
19．【答案】（1）解：原式
（2）已知，且，求的值．
解：因为，
所以，所以，
，
所以
，
又因为，所以．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）先切变弦，通分以后转化为两角差的正弦，再用二倍角正弦公式即可求解.
(2)根据同角三角函数关系，求得、，将转化为展开代入即可.
20．【答案】（1），
所以，函数的周期为．
由，
得：，
所以函数的单调递减区间为．
（2）因为，
所以
所以，
所以函数在区间上的最大值是，最小值是．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用二倍角公式、两角和差公式，进行三角恒等变换，得，由周期公式可求函数f(x)的最小正周期，利用正弦函数单调性即可求得单调减区间.
（2）由得，利用正弦型函数图象即可得最大、最小值.
21．【答案】（1）因为是奇函数，
所以，
所以．
因为是偶函数，
所以，
即：，
所以，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知
因为为增函数，为减函数，
所以在上单调递增，
不等式恒成立，
只需
即：
所以，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
所以．
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性定义，结合指数式、对数式运算，即可求得a、b.
（2）根据函数单调性，将转化为利用单调性解不等式即可.
1 / 1
