内蒙古呼和浩特市剑桥中学2023-2024学年高二下学期3月第一次月考数学试题（含答案）

剑桥中学2023-2024学年高二下学期3月第一次月考
数学试卷
分值：150分 时间：120分钟
第一部分（选择题共60分）
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.对两地国企员工的上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中地员工的上班迟到时间为（单位：），，对应的曲线为，地员工的上班迟到时间为（单位：），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.897 10.828
A.变量与独立
B.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
C.变量与不独立
D.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
3.设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A.事件与事件是互斥事件
B.事件与事件是独立事件
C.
D.
4.已知随机变量和，其中，且，若的概率分布如下表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A. B. C. D.
5.新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，从2022年年初开始，生产电池的某种有色金属的价格一路水涨船高.下表是2022年前5个月我国某电池企业采购的该有色金属价格（单位：千元）与月份的统计数据.
1 2 3 4 5
1.7 3.0 6.0 7.4
若与的线性回归方程为，则的值为（ ）
A.3.8 B.4.0 C.4.2 D.4.4
6.已知双曲线的右焦点为，若关于渐近线对称的点恰好落在渐近线上，则的面积为（ ）
A. B.2 C.3 D.
7.展开式中的系数为（ ）
A.42 B.48 C.84 D.96
8.如图，设分别是椭圆的左 右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A.-2 B.-1 C. D.1
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下面四个结论正确的是（ ）
A.空间向量，若，则
B.若对平面中任意一点，有则三点共线.
C.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底.
D.任意向量，满足.
10.有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（ ）
A.若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B.若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C.每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D.每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
11.已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A.直线必过点
B.直线与圆必相交
C.圆与圆有3条公切线
D.当时，直线被圆截得的弦长为
12.设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，下列关于的表述正确的是（ ）
-2 -1 2
A.增大 B.先减小后增大
C.先增大后减小 D.增大
第二部分（非选择题共90分）
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
13.空间中二面角的平面角的取值范围是__________.
14.已知抛物线的焦点为为拋物线上一点，则的最小值为__________.
15.一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品.若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为__________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品__________次.
16.已知椭圆的左 右焦点分别为，过的直线交于两点，是线段的中点，且，则的方程为__________.
四 解答题：共70分17题10分，18-22每题12分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和，求数列的通项公式.
18.某市为了了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男 女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
分钟 性别
女生 10 30 50 10
男生 5 20 50 25
根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”.根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“学生体育运动时间与学生性别因素有关联”
不合格 合格 合计
女生
男生
合计
附：，
（其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
19.为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间的频率之比为.
（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在，内的学生人数为，求的分布列及期望.
20.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）求二面角余弦值.
21.近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示.
（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；
（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？
参考数据：.
其中，
参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
22.在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点在曲线上，为坐标原点，设直线的斜率分别为，且，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
参考答案与试题解析
一 选择题（共8小题）
1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.A 7.A 8.A
二 多选题（共4小题）
9.ABC 10.ACD 11.BC 12.AD
三 填空题（共4小题）
13. 14.4 15.； 16.
四 解答题（共6小题）
17.【解答】解：（1）当时，，
当时，，
又满足上式，所以；
（2）当时，，
当时，，
又不满足上式，所以.
18.【解答】解：列联表：
不合格 合格 合计
女生 40 60 100
男生 25 75 100
合计 65 135 200
，
因为，
所以有的把握认为学生体育运动时间与学生性别因素有关联.
19.【解答】解：（1）根据题意，由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为，
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间的频率之比为，
所以数学成绩落在区间的频率为，
数学成绩落在区间的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为105；
（2）由（1）知，数学成绩落在区间内的频率为，
由题意可知，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
20.【解答】（1）证明：四棱锥中，
因为平面平面，平面平面，
且在平面内，所以平面，
因为在平面内，所以；
（2）解：取中点，连接，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
因为在平面内，所以平面
所以，
因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以
如图建立空间直角坐标系
则，
设平面的法向量为，则，
可取，
因为平面的法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
21.【解答】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型.
由，两边同时取常用对数得.
设，则.因为，，，，
所以.把代入，得，
所以，所以，则，
故关于的回归方程为.
（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，
每年的收益为（千元），
总投资千元，假设需要年开始盈利，则，即，故需要年才能开始盈利.
22.【解答】解：（1）设，
，
动点的轨迹的方程.
（2）依题的斜率不为0，所以设，设，
联立方程组，消去得，
，得.
又因为到的距离，
，
所以
.
又因为，
所以，
所以
化简得，
所以，
综上，的面积是定值，且该定值为.