第八章 8.4.2 空间点、直线、 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第七章
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解空间两直线间的位置关系.理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线. 1.数学抽象素养和空间想象素养.
2.理解空间中直线与平面的位置关系，并会用图形语言和符号语言表示. 2.数学抽象素养和空间想象素养.
3.掌握空间中平面与平面的位置关系，并会用图形语言和符号语言表示. 3.数学抽象素养和空间想象素养.
温故知新
1.平面的含义
⑴平面的特征：
①平
②无厚薄
③无限延展的
⑵平面的画法：
水平放置
竖直放置
⑶平面的表示（记法）：
用希腊字母表示：（标记在角上）平面α、平面β、平面γ等,并写在平行四边形一个角内.
用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC或平面BD.
温故知新
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
“不共线的三点确定一个平面”.
2.平面的基本性质
α
A
B
C
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定平面，可记为平面ABC.
符号表示
存在唯一的平面α
α
A
l
P
B
点A在直线l上,记作A∈l;点B在直线l外,记作B l.
点A在平面α内,记作A∈α；点P在平面α外,记作P α.
温故知新
α
l
A
B
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；
直线l不在平面α内，记作l α.
基本事实2也可以用符号语言表示为
A∈l，B∈l,且A∈α, B∈α l α.
l
P
α
β
平面α与β相交于直线l,记作α∩β=l.
交线
基本事实3可以用符号语言表示为
P∈α，且P∈β α∩β=l,且P∈l.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
温故知新
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
A
B
C
α
b
a
P
α
b
a
推论1可以用符号语言表示为
推论2可以用符号语言表示为
推论3可以用符号语言表示为
直线a和点A，A a 存在唯一的平面α，使a α,A∈α.
直线a∩b=P 存在唯一的平面α，使a α,b α.
直线a∥b 存在唯一的平面α，使a α,b α.
知新引入
前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等．空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？
长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系．
我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面．12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察如图所示的长方体，你有发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？
观察你所在的教室，你能找到上述位置关系中的一
些实例吗？你能再举出一些表示这些位置关系的其他实
例吗
空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．点A在直线AB上，在直线外.
空间中点与平面的位置关系有两种：点在平面内，点在平面外.点A在平面ABCD上，在平面外.
知新探究
空间中直线与直线的位置关系
如图，在长方体中,直线AB与DC在同一个平面内吗？它们有没有公共点？它们的位置关系如何？直线AB与BC呢？直线 AB 与 CC’呢？
①直线AB与DC在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线.
②直线AB与BC在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线.
③直线AB与CC'不同在任何一个平面内.
我们把不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线（skew lines）．
于是，空间两条直线的位置关系有三种：
这样，空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的，即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不相交．
知新探究
空间中直线与直线的位置关系
我们把不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线（skew lines）．
如果直线a,b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，画图时,通常借助一个或两个平面来衬托，如图所示.
a
a
b
a
A
b
b
⑴
⑶
⑵
知新探究
空间中直线与平面的位置关系
如图，在长方体中直线AB、直线AA'、直线A'B'与平面ABCD有几个公共点？
直线AB与平面ABCD有无数个公共点；
直线AA'与平面ABCD只有一个公共点；
直线A'B'与平面ABCD没有公共点.
再结合生活实例，我们可以看出，
直线和平面的位置关系有且只有三种：
⑴直线在平面内——有无数个公共点；
⑵直线与平面相交——有且只有一个公共点；
⑶直线与平面平行——没有公共点．
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
知新探究
空间中直线与平面的位置关系
如图表示了直线与平面的三种位置关系．
a
a
a
一般地，直线a在平面内，应把直线a画在表示平面的平行四边形内；直线a在平面外，应把直线a或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
直线a在平面α内，记作a α;
直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A;
直线a与平面α平行，记作a//α.
知新探究
空间中平面与平面的位置关系
如图中，平面ABCD与平面A'B'C'D'有多少个公共点？
平面ABCD与平面BCC'B'呢？
平面ABCD与平面A'B'C'D'没有公共点；
平面ABCD与平面BCC'B'呢有一条公共直线BC.
再结合生活实例，我们可以看出，
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
⑴两个平面平行——没有公共点；
⑵两个平面相交——有一条公共直线．
知新探究
空间中平面与平面的位置关系
α
β
画平面α与平面β平行
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
画平面α与平面β相交
平面α与平面β平行，记作α//β；
平面α与平面β相交，记作α∩β=l.
如图，在长方体中，连接，请你
再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子并用
符号表示这些位置关系.
与其他同学交流一下你的结果．
知新探究
平面的基本性质
【例1】如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．
解：
在⑵中，.
A
B
l
a
⑴
P
a
b
l
⑵
分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来．
在⑴中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
知新探究
【例2】如图，.直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？
解：
直线AB与a是异面直线.理由如下.
若直线AB与a不是异面直线，则它们相交或者平行.设它们确定的平面为 ，则B∈ ,a∈ .
A
B
a
由于经过点B与直线a有且只有一个平面 ，
因此平面 与 重合，
从而AB ，进而A∈ ，这与矛盾.
所以直线AB与a是异面直线.
例2告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
知新探究
【例3】如图，平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其它面有什么位置关系？
解：
平面ABC∩侧面ABB1A1=AB,平面ABC∩侧面ACC1A1=AC,
平面ABC∩侧面BCC1B1=BC.
平面ABC//平面A1B1C1.
变式：在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1与平面CDD1C1的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行
初试身手
1.如右图，长方体ABCD-EFGH中.
⑴说出下列各对线段的位置关系？
①EC与BH是__________直线；
②BD与FH是__________直线；
③BH与DC是__________直线；
⑵图中与棱长AB所在的直线异面的棱共_____条.
解：
⑴如图，EC与BH是相交直线；BD与FH是平行直线；BH与DC是异面直线.
⑵图中与棱长AB所在的直线异面的棱EH、FG、FH、DH、CG、CE，共6条.
相交
平行
异面
6
初试身手
2.⑴直线m∥平面α，则m与α的公共点有(　　)
A．0个　　　　B．1个 C．2个 D．无数个
⑵直线l与平面α有两个公共点，则(　　)
A．l∥α B． l α C．l与α相交 D．l α
故选A.
⑵由直线l与平面α有两个公共点，得
放在长方体模型里面解决问题
解：
⑴由直线m∥平面α，得，m与α没有公共点.
l α，故选B.
A
B
初试身手
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？
(1)AM 所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN 所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM 所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系．
⑷平面AMD1与平面BNC相交.
⑵CN所在的直线与平面ABCD相交．
解：
⑴AM所在的直线与平面ABCD相交.
⑶AM所在的直线与平面CDD1C1平行.
课堂小结
1.空间中直线与直线的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
a
a
a
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
a α
a∩α＝A
a//α
课堂小结
3.空间中平面与平面的位置关系
平面α与平面β平行
α
β
平面α与平面β相交
α//β
α∩β=l
作业布置
作业： P131-132 习题8. 4 第2，3，4,8,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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