山东省实验中学2023-2024学年高一下学期3月第一次阶段测试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期3月第一次阶段测试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 541.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-03 12:51:56 | ||
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文档简介
山东省实验中学2023-2024学年高一下学期3月第一次阶段测试
数学试题
2024.03
说明：
本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，，则（ ）
A.， B.， C.， D.，
2.在中，为的重心，满足（，），则（ ）
A. B. C.0 D.
3.已知，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C.0 D.1
4.已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B.2 C. D.
5.在中，为边上一点，满足，，，则（ ）
A. B.6 C. D.
6.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（在水平面）垂直于水平面，水平面上两点，的距离为，测得，，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，，则该旗杆的高度为（单位：）（ ）
A.9 B.12 C.15 D.18
7.在中，角，，所对的边分别为，，，且，设的面积为，若，则此三角形的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若.，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在中，，为线段上一点，且有，，，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最小值为
10.下列说法正确的是（ ）
A.已知向量，，则“与共线”是“”的充要条件
B.已知非零向量，满足，则
C.若为的外心，且，则是等边三角形
D.已知单位向量，，满足，则
11.的内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A. B.
C.角的最大值为 D.面积的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，角，，的对边分别是，，，，，，则______.
13.若在中，，，，则______.
14.如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，，分别是线段，上的动点，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
复数，其中.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
16.（15分）
已知向量，（）.
（1）若，求的值；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17.（15分）
在中，已知，.
（1）求的大小；
（2）请从条件①：；条件②：这两个条件中任选一个作为条件，求和的值.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（17分）
在，角，，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值.
19.（17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值.
山东省实验中学2023-2024学年高一下学期3月第一次阶段测试
数学试题答案
2024.03
第Ⅰ卷
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C A B B B C C
二、多项选择题
9 10 11
BC BCD ABC
第Ⅱ卷
三、填空题
12.30° 13. 14.1
四、解答题
15.答案：（1）5或 （2）3
解析：（1）由复数为实数，得，
解得或.
（2）由复数为纯虚数，得，解得.
16.答案：（1）或1 （2）
解析：（1），
∵，∴，
∴，即
解得或
（2）当时，
∵与的夹角为锐角，
∴，解得：
∴的取值范围是.
17.（1）中，因为，所以
由正弦定理得：，所以
所以或.
（2）选条件①：，则，所以（舍去）.
此时，，，，
所以
.
即
由余弦定理得：，
即，解得：（舍去）．
选条件②：.
因为，所以所以（舍去）.
此时，，，，
所以
即..，所以
由正弦定理得：，
即，即.
18.答案：（1） （2）
解析：（1）由题意知中，，
故，
即，
即，
所以，
而，∴，
故，即，
又，故；
（2）由于点是上的点，平分，且，
则，
由，
得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，即面积的最小值为.
19.答案：（1） （2） （3）
解析：（1）由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：，
设，，，由得：
，
整理得，
则
.
（3）点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，
而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
数学试题
2024.03
说明：
本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，，则（ ）
A.， B.， C.， D.，
2.在中，为的重心，满足（，），则（ ）
A. B. C.0 D.
3.已知，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C.0 D.1
4.已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B.2 C. D.
5.在中，为边上一点，满足，，，则（ ）
A. B.6 C. D.
6.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（在水平面）垂直于水平面，水平面上两点，的距离为，测得，，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，，则该旗杆的高度为（单位：）（ ）
A.9 B.12 C.15 D.18
7.在中，角，，所对的边分别为，，，且，设的面积为，若，则此三角形的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若.，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在中，，为线段上一点，且有，，，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最小值为
10.下列说法正确的是（ ）
A.已知向量，，则“与共线”是“”的充要条件
B.已知非零向量，满足，则
C.若为的外心，且，则是等边三角形
D.已知单位向量，，满足，则
11.的内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A. B.
C.角的最大值为 D.面积的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，角，，的对边分别是，，，，，，则______.
13.若在中，，，，则______.
14.如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，，分别是线段，上的动点，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
复数，其中.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
16.（15分）
已知向量，（）.
（1）若，求的值；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17.（15分）
在中，已知，.
（1）求的大小；
（2）请从条件①：；条件②：这两个条件中任选一个作为条件，求和的值.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（17分）
在，角，，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值.
19.（17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值.
山东省实验中学2023-2024学年高一下学期3月第一次阶段测试
数学试题答案
2024.03
第Ⅰ卷
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C A B B B C C
二、多项选择题
9 10 11
BC BCD ABC
第Ⅱ卷
三、填空题
12.30° 13. 14.1
四、解答题
15.答案：（1）5或 （2）3
解析：（1）由复数为实数，得，
解得或.
（2）由复数为纯虚数，得，解得.
16.答案：（1）或1 （2）
解析：（1），
∵，∴，
∴，即
解得或
（2）当时，
∵与的夹角为锐角，
∴，解得：
∴的取值范围是.
17.（1）中，因为，所以
由正弦定理得：，所以
所以或.
（2）选条件①：，则，所以（舍去）.
此时，，，，
所以
.
即
由余弦定理得：，
即，解得：（舍去）．
选条件②：.
因为，所以所以（舍去）.
此时，，，，
所以
即..，所以
由正弦定理得：，
即，即.
18.答案：（1） （2）
解析：（1）由题意知中，，
故，
即，
即，
所以，
而，∴，
故，即，
又，故；
（2）由于点是上的点，平分，且，
则，
由，
得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，即面积的最小值为.
19.答案：（1） （2） （3）
解析：（1）由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：，
设，，，由得：
，
整理得，
则
.
（3）点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，
而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
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