江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题（含解析）

宜丰中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷
一、单选题（40分）
1．设函数，，则 (　 　)
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
2．如图在梯形ABCD中，ADBC，，
且E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ）
A． B． C． D．
4．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知两个单位向量和向量，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则（ ）
A．-1 B． C． D．1
8．已知满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(18分 )
9．以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则一定存在实数，使
B．若向量，满足，且，则在方向上的投影向量为
C．若为等差数列，，，，则当时，最大
D．若等比数列的前n项积为，且，则
10．下列选项中正确的是（ ）
A．若平面向量，满足，则的最大值是5；
B．在中，，，O是的外心，则的值为4；
C．函数的图象的对称中心坐标为
D．已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；
11．如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（ ）
A． B．存在点，使
C．若，则点的轨迹长度为2 D．的最小值为
三、填空题（15分）
12．已知向量，，， ．
13．已知函数的部分图象如图所示，，，则满足条件的最大负整数x为 ．
14．已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
四、解答题（77分）
15．某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．
(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．
16．已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的取值范围；
(3)记函数，若的最小值为，求实数的值.
17．已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，______；
①若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数．
②若将的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答
(1)若，求的取值范围；
(2)设函数的零点为，求的值．
18．已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.
(1)直接写出当时，函数在处的切线方程；
(2)通过计算用表示；
(3)当时，若函数的最小值为，证明：.
19．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
宜丰中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学参考答案
1．B【详解】∵，最小正周期为，又，为奇函数，故选：B
2．C【详解】连接OE，OF.因为，所以.故选:C.
3．D【详解】设 ①， ，②，
与向量(1，0)夹角为钝角，，③，由①②③解得，，故选：D．
4．C【详解】因为定义域为的函数满足，所以函数的图象关于对称，所以，又因为当时，，所以函数在单调递增，则在单调递减，因为，所以，所以，即，故选:C,
5．A【详解】根据图像可知，可得，即；又，可得，解得，由可知；即可得，把函数的图像向右平移得到；即.故选：A
6．B【详解】由，有，即，
则有，得，，当且仅当时等号成立，是锐角，所以当最大时，，则.故选：B.
7．B【详解】因为与的夹角为，与的夹角为，所以与的夹角为.由，得，所以，由题意得，，，在两边分别点乘，得，同理，两式联立并解得，所以.故选：B.
8．D【详解】由，得，由，得，故和是方程的两个实数根.因为，所以和的取值范围都是，因为函数在区间上均单调递增，所以函数在区间上单调递增，故方程在区间上只有一个根，所以，即，于是有，所以.故选：D.
9．BD【详解】对于A选项，当，时不存在这样的，故A错误；对于B选项，在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C选项，当，公差时，，，无最大值，故C错误；对于D选项，，即，故D正确.
10．ABD【详解】对于A，因，则，
当且仅当时取等号，A正确；对于B，令边AB的中点为D，因O是的外心，则，则，同理有,所以，B正确；对于C，由，得，，因此函数图象的对称中心为，，C不正确；对于D，点P在内，由得：，即，有，由，同理有，因此点P为的垂心，D正确.故选：ABD
AD【详解】设为正六边形的中心，根据正六边形的性质可得且四边形均为菱形，
，故A正确，假设存在存在点，使，则,其中点为以为邻边作平行四边形的顶点，
所以在直线上，这与点是内部（包括边界）的动点矛盾，故B错误，当时，，取,则,所以点的轨迹为线段,
其中分别为过点作与的交点，由于为的中点，所以,故点的轨迹长度为1，C错误，由于,
,过作于，则,所以此时，由于分别为上的分量，且点点是内部（包括边界）的动点，所以，当位于时，此时同时最小，故的最小值为，故选：AD
12．【详解】由已知可得，
因此，.故答案为：.
13．【详解】因为函数满足，结合图象可得，又因为，可得，，解得，，又由，所以，可得，，则不等式，即为，即或，可得或，所以或，即或，显然满足不等式．故答案为：.
14．/【详解】根据题意，设，，，，因为与夹角为，所以，整理得，即向量对应的轨迹为射线或，因为向量满足 ，所以，即向量对应的轨迹为抛物线：，则即为上的点与射线或上的点之间的距离，如图，当最小值时，对应的点在上，设直线，由图可知，当直线与相切时，切点设为A，此时最小，联立方程 ，得，由得，则，解得，故，则A到射线的距离为,所以的最小值为， 故答案为： .
15．(1)(2)分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）甲3局全胜的概率为, 乙3局全胜的概率为，
进行3局比赛决出冠亚军的概率为
（2）的可能取值为1，2，，，
故的分布列为：
1 2
故．
16．(1)(2)(3)
【详解】（1）向量，，.
（2），，
，，，所以的取值范围为.
（3）由（1）（2）可知，函数，
令，则，
，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
当，即时，最小值为，解得（舍去）；
当，即时，最小值为，解得或（舍去）；
当，即时，最小值为.综上可知，.
17．(1)(2)
【详解】（1）因为函数的图像相邻对称轴之间的距离是，
所以，解得，所以， 选①：当将的图像向右平移个单位，得到函数，因为为奇函数，所以，即，因为 ，所以，则则，因为，所以，则，所以.
选②：的图像向左平移个单位，得到函数，因为函数为偶函数，所以，即.因为 ，所以，则则，因为，所以，则，所以.
（2）因为函数的零点为，所以，则，所以，.
18．(1)(2)，(3)证明过程见解析
【详解】（1）当时，，，从而，，
所以函数在处的切线方程为；
（2）因为，令，得，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，故是函数的极小值点；
又因为，所以，整理得，
又当时，，
若要使得函数有极值，则还需，即，
综上所述，，；
（3）因为，且由（2）可知，
所以，
令，则，令，得到，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，从而令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
令，则，记，
则，因为，所以，单调递增，
所以，即.
19．（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；
（Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；
（ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．
试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得．
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）（1）设，由可得，
所以直线的斜率为，其直线方程为，即．
设，联立方程组
消去并整理可得，
故由其判别式可得且，
故,
代入可得，
因为，所以直线的方程为．
联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上．
（2）由（1）知直线的方程为，
令得，所以，
又，
所以，，
所以，令，则，
因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．
答案第1页，共2页