重庆市渝北区松树桥中学校2023-2024学年高一下学期第一次段考数学试题（含解析）

重庆市松树桥中学校2023-2024学年高一下学期第一次段考
数学试题
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则实数（ ）
A．2 B． C．或4 D．4
3．在中，，则此三角形解的情况是（ ）
A．无解 B．一个解 C．两个解 D．无法确定
4．如图，在平行四边形中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知的内角的对边分别是，面积为，且，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，点在边上，且，点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．3
7．为运输方便，某工程队将从到修建一条湖底檤道，如图，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．中，为中点，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，一有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是
11．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若是所在平面上一定点，动点满足，则直线一定经过的内心
D．若，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数，其中为虚数单位，则___________。
13．在中，分别是角的对边，的面积为，则的值为___________。
14．窗花是贴在窗子或窗户上的前纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为___________；若正八边形的边长为是正八边形八条边上的动点，则的最小值为___________。
四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（1）记是虚数单位，若复数满足，求；
（2）若复数．
①若复数为纯虚数，求实数的值；
②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16．（15分）在中，内角所对的边分别为，
（1）若，解三角形：
（2）若角且的外接圆半径为．
①求的面积；
②求边上的高．
17．（15分）（1）若向量，且与方向相反，，求在方向上的投影向量的坐标；
（2）若向量满足，求．
18．（17分）在中，内角所对的边分别为，且的外接圆半径为，已知在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：
①，② ，③．
问题：（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
19．（17分）在中，内角所对的边分别为，满足
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，
①求的取值范围；
②求的取值范围．
重庆市松树桥中学校2023-2024学年高一下学期第一次段考
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B C A A B C ABC AD CD
1．由题意知，．故选：D．
2．解：，因为，所以，即，所以或4．故选C．
3．由正弦定理可得，所以．因为，所以B只有一个解．故选：B．
4．解：，故选：C。
5．因为，所以，
则，所以，又；则．故选：A
6．，所以，所以，故选：A．
7．连接，由题意，
，在中，由正弦定理得，，即，则，在中，由余弦定理得，，则．故选；B．
8．因为为中点，所以，因为，所以，因为三点共线，所以设，即，整理得：，令，则，则，其中，因为，所以，故，因为，所以，又，解得：故选：C．
9．对于，若，则，解得，故A正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于，则，当时，，故C正确；对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，得，由得，所以的取值范围为，故D错误．故选：ABC．
10．令，则，可得，
所以，由正弦边角关系易知：，对；若，则，故，则，
所以，错；由，结合可得，B错；由，则，而，故外接圆半径是，D对．故选：AD．
11．A：由正弦定理可得：，即，而满足，此时是直角三角形，错误；B：由，即，根据正弦定理边角关系有，易知，即为锐角，但不一定为锐角三角形，错误；C：由是方向上的单位向量，则为的角平分线上的向量，又，故直线一定经过的内心，正确；D选项，表示方向的单位向量；方向的单位向量，根据平面向量加法的几何意义可知与角平分线共线，由可知的角平分线与垂直，所以三角形是等腰三角形．而，所以为锐角，且，所以三角形是等边三角形．故选：CD
三、填空题
12． 13．2 14．
12．
13．由，得，因为，所以．由余弦定理得，解得，所以．
14．，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，正八边形内角和为，则，所以，，，
因为，则，
所以，解得，所以；
设，则，则，
所以，当点在线段上时，取最小值．故答案为：．
四、解答题
15．解：（1）设且，则，因为，所以即，解得或，即或2．
（2）①因为复数为纯虚数，所以，解得．
②因为复数在复平面内对应的点在第二象阳，所以，
解之得，得．所以实数的取值范围为．
16．解：（1）因为，所以，因为，所以．所以．
所以．
（2）①在中，，根据余弦定理得
②．
17．（1）解析：由题意知向量共线，故，解得或，又因为且与方向相反，故，所以，而，
则在方向上的投影向量是，
即在方向上的投影向量的坐标是，
（2）因为，所以，
即，解得，所以，
，则．
18．解：（1）选条件①：由题知，
，又，则，又．
选条件②：由题知，又，
，又，则，
，又．
选条件③：由题知，
，又，则，
（2）由正弦定理知，又，
（当且仅当时取等号），又
19．解：（1）在中，由正弦定理可将式子化为，
又，代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），所以．
（2）因为为锐角三角形，，所以，由解得
①，因为，所以，
即的取值范围为；
②，
当且仅当， 时取等号，但因为，所以，无法取到等号，令，则t在上单调递增，故．