山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

泰山国际学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．若向量与满足且，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．在中，，，边上的中线，则的面积S为( )
A． B． C． D．
5．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．在中，．若的最长边的长为．则最短边的长为（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法错误的是（ ）
A．在正三角形中，，的夹角为
B．若，且，则
C．若且，则
D．对于非零向量，“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件
11．在中，，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ）
A．是直角三角形
B．是等腰三角形
C．的周长为32
D．的周长为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 .
14．在中，、、的对边分别为a、b、c，若、、，则 ．
15．已知：点和向量，若，则点B的坐标是 ．
16．已知平面向量均为单位向量，且，则向量与的夹角为 ，的最小值为 ．
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
(1)求角A的大小；
(2)求的值；
(3)求的面积.
18．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求与的夹角的余弦值.
19．在中，分别是上的点，且与相交于点.
(1)用表示；
(2)若，求面积的最大值.
20．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB BC CD DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.

(1)若米，求烧烤区的面积？
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确到0.1米）
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
21．在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，.
(1)试用基底，表示，，；
(2)若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形.
22．如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

(1)若，，求的值；
(2)若点为线段的中点，求的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】
根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，再利用向量夹角公式计算即得.
【详解】由，，，得，则，
因此，而，则，
所以向量与的夹角为.
故选：A
2．B
【分析】
根据向量共线，求得关于的方程，求解即可.
【详解】因为，是两个不共线的向量，由，共线，
则存在实数，使得，则，解得或，则.
故选：B.
3．C
【分析】
根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
4．C
【分析】
延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案．
【详解】
如图所示，
延长到点使，连接，
又∵，∴(SAS)，
∴的面积等于的面积．
在中，由余弦定理得，
又，则，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】
利用正弦定理及三角恒等变换化简求出角即可得解.
【详解】
因为，
所以，即，即，
所以，
在中，，
所以，所以，
所以，
因为，所以，则，
所以，所以为直角三角形，
故选：B．
6．A
【分析】
求出，为钝角，故，确定，求出，由正弦定理求出答案.
【详解】因为，
又，故为锐角，为钝角，故，
因为在上单调递增，，故，所以，
又，，解得，同理可得，
由正弦定理得，即，解得.
故选：A
7．D
【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.
【详解】因为，
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为
．
故选：D．
8．D
【分析】
设的中点为,利用三角形中线向量的表示法，化简求和即得.
【详解】因中任意相邻两点间的距离相等，不妨设的中点为，
则点也是的中点.
同理可得：，
则.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主要考查平面向量基本定理和三角形中线向量的表示法的运用，属于较难题.
处理多个向量的和的问题，大多是从中将相关具有对称性的两个向量分别相加，再按规律求所有向量的和，如本题中考虑设线段的中点，即可将与之首尾等距的两个向量分别求和，再求总和即得.
9．BD
【分析】
由已知条件，利用正弦定理角三角形，根据结果判断解的个数.
【详解】
由正弦定理，，得，
若，，无解，A选项错误；
若，，得，恰有一个解，B选项正确；
若，，，有两解，有两个解，C选项错误；
若，，，恰有一个解，D选项正确.
故选：BD
10．ACD
【分析】
根据向量的夹角定义可判断A；根据平行向量的定义可判断B；根据平面向量数量积的运算律可判断C；根据平面向量数量积的定义可判断D.
【详解】对于A，在正三角形中，的夹角为，故A错误；
对于B，若，且，则，故B正确；
对于C，若，则，当时，可以有，故C错误；
对于D，当时，与的夹角为锐角或零角，故充分性不成立，
当与的夹角为锐角时，，故必要性成立，
所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，故D错误.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】
利用边角关系及正弦定理判断A；利用余弦函数的性质判断B；举例说明判断C；利用二倍角公式结合选项A判断D.
【详解】对于A，在中，，由正弦定理得，A正确；
对于B，显然，因此，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，由选项A知，，则，D正确.
故选：ABD
12．AD
【分析】
由，，可得，再由面积为16，求出，求出，进而判断选项.
【详解】
因为，所以，
所以.因为，所以.因为，
所以.因为16，所以，可得，则，
即.又因为，所以，A正确.
由上知，可得，B错误.
的周长为，C错误，D正确.
故选：AD
13．/
【分析】
利用向量平行的有关结论直接求值.
【详解】因为与共线，所以：存在，使得.
故答案为：
14．
【分析】
由正弦定理求解即可.
【详解】因为，所以
由正弦定理可得：，即
所以.
故答案为：.
15．
【分析】
设，利用向量共线的关系，列出方程求解即可.
【详解】设，则，
所以，解得：.
所以点B的坐标是.
故答案为：.
16． / /
【分析】
由可得，根据平面向量数量积的定义即可求出与的夹角；根据数量积的运算律可得，结合的取值范围即可求解.
【详解】由题意知，，
由，得，
所以，又，
所以，即与的夹角为；
，
又，所以，
当且仅当与同向时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：；
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理求解出的值，则A可求；
（2）利用正弦定理可直接求解出的值；
（3）利用三角形的面积公式运算求解.
【详解】（1）在中，根据余弦定理得，，
且，所以.
（2）在中，根据正弦定理，
可得.
（3）由（1）可得：的面积为.
18．(1)；
(2).
【分析】
（1）根据向量的线性运算的坐标表示，进行计算即可；
（2）根据向量垂直数量积等于零求得的值，再利用向量夹角余弦值的坐标表示进行计算即可.
【详解】（1）因为，
所以.
因为，所以，
解得，
所以.
（2）因为，所以，
即，
解得，所以，
故.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）设，，求出，表达出；
（2）根据题意求解，求出的最大值，进而求出的最大值.
【详解】（1）设，
，
因此解得，
因此.

（2）由（1）得，，因此，
又因为，因此，
由，当时，最大为，
因此的最大值为.
20．(1)平方米
(2)米
(3)修建观赏步道时应使得，
【分析】
（1）由余弦定理求出cosC，再求面积即可；
（2）由三角形的面积公式解得，由是钝角，得，利用余弦定理即可求解；
（3）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得和，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解.
【详解】（1）
由余弦定理可知，所以
所以平方米.
（2）
，
解得，
因为是钝角，所以，
，
故需要修建米的隔离防护栏；
（3）
，
当且仅当时取到等号，此时，
设，
在中，，
解得：，
花卉观赏区的面积为
，
因为，所以，
故当，即时，取的最大值为1，
，
当且仅当时取到等号，此时
答：修建观赏步道时应使得，.
【点睛】
关键点点睛：本题第3小问解决的关键是，利用正弦定理与三角恒等变换将花卉观赏区的面积转化为关于的表达式，从而得解.
21．(1)，，
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据向量的线性运算可求，，；
（2）利用向量的线性运算可得，故可证三点共线.
【详解】（1）
；
；
.
（2），
，
又与有公共端点，三点共线，
三点不能构成三角形.
22．(1)；
(2).
【分析】
（1）根据三点共线，用表达，再用表达，结合三点共线，即可由共线定理求得；
（2）用表达，再用表达，根据，待定系数求得关于参数的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）由点共线可设，
则，即，
，，，
为线段上靠近点的三等分点，，
由点共线可设，即，
故，解得，故，.
（2），，，
故，又为中点，
则，
故，得，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故的最小值为.