山西省太原师院附中、太原市师苑中学校2023-2024学年高三下学期第二次月考数学试题（含解析）

太原师院附中 师苑中学校2023—2024学年准高三第二次月考
数 学 试 题
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．）
1．等差数列中，已知，，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
2．已知等比数列的前项和为，公比，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知某质点运动的位移（单位；）与时间（单位；）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．过曲线上一点作曲线的切线，若切点的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若数列为等差数列，为数列的前项和，已知，，则的值为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知正项等比数列中，，，成等差数列．若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．该定理如下：若函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点．那么函数在区间上的中值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．）
9．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）
A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．是的极小值点
11．已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．若，，则
C．若，则数列是递增数列
D．若数列的前项和，则
12．已知等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知数列满足：，（，），则__________．
14．若函数在上可导，，则__________．
15．已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是__________．
16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
若，请你根据这一发现，求：
（1）函数对称中心为__________；
（2）计算__________．
四、解答题（共6小题，共70分．）
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的值域．
18．（12分）已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线．
（1）求，，的值；
（2）设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值．
19．（12分）已知等比数列的公比，且是，的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（12分）为数列的前项和．已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：数列的前项和．
21．（12分）设，．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论函数的单调性．
22．（12分）已知函数．
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，证明：．
太原师院附中 师苑中学校2023—2024学年准高三第二次月考
数 学 答 案
1．C
【分析】由已知条件可得求出，，从而可求出．
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，所以．故选：C．
2．D
【分析】直接利用等比数列求和公式求解即可．
【详解】由等比数列求和公式得．故选：D．
3．B
【分析】对求导得，从而可求质点在时的瞬时速度．
【详解】因为，所以，
所以该质点在时的瞬时速度为．故选：B．
4．A
【分析】求导函数，根据切点的横坐标的取值范围，确定切线斜率的取值范围，从而可得切线的倾斜角的取值范围．
【详解】解：求导函数可得，，
切点的横坐标的取值范围是，，
设切线的倾斜角为，则，
，．故选：A．
【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
5．B
【分析】根据等差数列的求和公式求出首项和公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果．
【详解】设等差数列的公差为，
，，，解得，
．故选：B．
6．D
【分析】通过构造函数，利用的单调性即可比较出，，的大小关系．
【详解】令，则，
所以时，，时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为，，，
又因为，在区间上单调递增，所以，故选：D．
7．A
【分析】由已知条件求出等比数列的公比，得到，利用基本不等式求的最小值．
【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为3．故选：A．
8．C
【分析】计算，，得到，解得答案．
【详解】因为，，所以，，，
所以，．
由拉格朗日中值定理得，解得．
因为，，所以函数在区间上的中值点有2个．故选：C．
9．BC
【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可．
【详解】，，
，．故选：BC．
10．BC
【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解．
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；
当或时，；
所以的单调递增区间为和，
单调递减区间为和．故A错误，C正确；
所以或是的极小值点；故B正确；
所以是取得极大值点；故D错误．故选：BC．
11．ACD
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答．
【详解】令等比数列的公比为，则，
对于A，，且，则是等比数列，A正确；
对于B，，则，B错误；
对于C，由知，，则，，
即，，数列是递增数列，C正确；
对于D，显然，则，而，
因此，，，D正确．故选：ACD．
12．AC
【分析】AB选项，由等差数列的性质得到，从而确定；
C选项，，，故C正确；D选项，根据等差数列求和公式和性质得到．
【详解】AB选项，由等差数列性质得到，
又，所以，
设公差为，则，数列为递减数列，A正确，B错误；
C选项，因为，，则的最大值为，C正确．
D选项，因为，故，D错误．故选：AC．
13．
【分析】根据已知条件，利用等差数列的定义判定数列为首项为1，公差为1的等差数列，写出通项公式，进而得到数列的通项公式，从而得解．
【详解】，，又（，），
数列为首项为1，公差为1的等差数列，
，即，，故答案为：．
14．
【分析】求出函数的导函数，再把代入计算可得．
【详解】解：因为，所以，
把代入得，解得．故答案为：．
15．
【分析】由分段函数的解析式可得，函数在每一段都是单调递增，且，列出不等关系，求解即可．
【详解】因为函数，数列满足，且是递增数列，
则函数在每一段都是单调递增，且，即，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．故答案为：．
16．/ 2010
【分析】（1）解方程，可求得函数的对称中心坐标；
（2）由已知可得，利用倒序相加法可求得所求代数式的值．
【详解】（1）因为，则，，
由，可得，且，
所以，函数的对称中心为；
（2）由（1）可知对任意的，，
所以，
．
因此，．
故答案为：（1）；（2）2010．
17．（1）函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）
【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性；
（2）根据第一问的函数单调性得出其值域．
【详解】（1）函数，则，
当时，，当，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
则在上的最大值，最小值，
故在上的值域为．
18．（1），，． （2）
【分析】
（1）求出函数的导数，根据题意可得关于，，的方程，解方程，即可求得答案；
（2）利用导数的几何意义求出点的坐标，再根据点到直线的距离公式，即可求得答案．
【详解】
（1）根据题意可知，将分别代入两曲线方程得到，．
两个函数的导函数分别是，，
又，，则，解得，，．
（2）要使抛物线上的点到直线的距离最短，
则抛物线在点处的切线斜率应该与直线相同，
则，解得，
又因为点在抛物线上，解得．
所以最短距离即的最小值为点到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．即最短距离为．
19．（1）． （2）．
【分析】（1）根据等差中项的含义列式即可求解．（2）利用错位相减法求和．
【详解】（1）由题意可得，即，解得．
因此数列的通项公式．
（2）由（1）得，
故
两式相减，得
，即．
20．（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析
【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求的通项公式；
（Ⅱ）求出，利用裂项法即可求数列的前项和，再与进行比较可证．
【详解】解：（Ⅰ）由，可知，
两式相减得，
即，
，，
，（舍）或，
则是首项为3，公差的等差数列，
的通项公式；
（Ⅱ），，
数列的前项和．
【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
21．（1），； （2）答案见解析
【分析】（1）利用导数求出极值即可；
（2）求出，分、、、、讨论，可得答案；
【详解】（1）的定义域为，因为，
，
时，，单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，；
（2）由题：，
1°当时：，
时，，单调递减，
时，，单调递增；
2°当时：，
时，，单调递减，
时，，单调递增；
3°当时：
①若即，所以时，，单调递增，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
②若即，，则在单调递增；
③若即，所以时，，单调递增，
时，，单调递减；时，，单调递增；
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用分类讨论思想解题．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路．
22．（1） （2）证明见解析
【分析】（1）求导根据单调性得到，根据函数的单调性计算最值得到答案．
（2）确定函数定义域，构造，分别求导得到函数得到单调区间，计算最大最小值得到证明．
【详解】（1），，
在上单调递增，故在上恒成立，即，
设，函数在上单调递增，故，即，故．
（2），，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；故．
设，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
，故，
即，即恒成立，得证．
【点睛】关键点睛：本题考查了根据函数的单调区间求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为求两个函数的最值是解题的关键．