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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册 第八章
课标要求 内容要求： 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法，能解二元一次方程组。 3.能解简单的三元一次方程组。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 学业要求： 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代人消元法或加减消元法解二元一次方程组；关能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章主要内容是二元一次方程组及其相关概念，利用二元一次方程组分析、解决实际问题，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，以及三元一次方程组的解法。本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴含的建模思想，体会代数方法的优越性，在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元、化归思想。
学情分析 学生已经学习了一元一次方程的相关知识，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。因此，本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系。 3.了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 （二）教学重点、难点 重点： 理解二元一次方程（组）的有关概念；掌握二元一次方程组的解法——代入法、加减法；会用方程组来解决实际问题。 难点： 掌握消元法，能解二元一次方程组；会用方程组来解决实际问题，体会建模思想。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元——解二元一次方程组38.3实际问题与二元一次方程组28.4三元一次方程组的解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1 二元一次方程组1.了解二元一次方程组及其解的概念。 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解。1.了解二元一次方程的概念及二元一次方程的解 2.了解方程组、二元一次方程组的概念及二元一次方程组的解活动：探究二元一次方程组及其相关概念8.2.1 代入法解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用代入法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究代入消元法解二元一次方程组8.2.2 加减法解二元一次方程组1.会用加减消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.会运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用加减法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究加减消元法解二元一次方程组8.2.3 选择适当方法解二元一次方程组能选择适当方法解二元一次方程组能根据二元一次方程组的具体情况，选择合适的解法活动：选择适当方法解二元一次方程组8.3.1 实际问题与二元一次方程组（一）能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究1、28.3.2 实际问题与二元一次方程组（二）能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究38.4 三元一次方程组的解法1.了解三元一次方程组的概念； 2.会解三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．1.了解三元一次方程组的概念 2.会解三元一次方程组活动：探究三元一次方程组的解法
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8.1 二元一次方程组
人教版 七年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本课的主要内容是学习对于含有多个未知数的问题可以根据问题中的等量关系列一元一次方程也可以列多个方程，这些方程组成方程组。二元一次方程组是最简单的多元方程组，它的相关概念是本章学习的基础，由它可以类比得出三元一次方程组等概念。本课内容既是前面知识的深化和应用，又是今后用二元一次方程组解决生活中的实际问题的预备知识，占据重要的地位，是学生新的方程建模的基础课，为今后学习一次函数以及其他学科的学习奠定基础，同时建模的思想方法对学生今后的发展有引导作用，因此本节课具有承上启下的作用。
学习目标
1.了解二元一次方程组及其解的概念。
2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解。
新知导入
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
探究新知
任务：探究二元一次方程组及其相关概念
思考：上面问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
x＋ y＝10
2x＋ y＝16
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
探究新知
任务：探究二元一次方程组及其相关概念
想一想：这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
像这样，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．
（1）都含有2个未知数x和y
（2）未知数的项的次数是1
（3）方程的左右两边都是整式
x＋ y＝10
2x＋ y＝16
探究新知
任务：探究二元一次方程组及其相关概念
x＋ y＝10
2x＋ y＝16
未知数x，y必须同时满足这两个方程
这就组成了一个方程组．
含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
①
②
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
探究新知
任务：探究二元一次方程组及其相关概念
探究1：满足方程①： x＋ y＝10 ，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
一个二元一次方程有无数个解
探究新知
任务：探究二元一次方程组及其相关概念
探究2：表中哪对x，y的值还满足方程②: 2x＋ y＝16 ？
公共解
一般地，组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
6
4
探究新知
任务：探究二元一次方程组及其相关概念
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：设这个队胜场数为x，负场数为y，根据题意得，
这个方程组的解是
答：这个队在10场比赛中胜6场、负4场
探究新知
任务：探究二元一次方程组及其相关概念
典例分析
例：列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解．
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
解：设x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，可列方程组：
这个方程组的解是
答：4位工人参加第一道工序，3位工人参加第二道工序.
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
1．下列是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
2．下列四组数是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
3．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（ ）
A． B．
C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
已知是方程的解，
(1)求的值．
(2)请将方程变形为用的代数式表示．
解：（1）将代入原方程得：，
解得：，
的值为8；
（2）当时，原方程为，
．
课堂练习
【综合实践类作业】
已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
解：（1）方程，
解得：，
当时，；
当，．
（2）联立得：，
解得： ，
代入得：，
解得：．
课堂总结
今天这节课，你都有哪些收获？
1. 举例说明二元一次方程、二元一次方程组的概念;
2.举例说明二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
A
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
2．下面4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
C
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
3．关于的二元一次方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出．则的值是 ．
5
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
如果中的解x、y相同，求m的值．
解：方程组的解x、y的值相同，
联立方程组，解得，
把代入，得，
解得，．
作业布置
【综合实践类作业】
按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：
, , , ……
, ……
(1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处．
(2)猜想第n个方程组和它的解并验证．
(3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律．
作业布置
【综合实践类作业】
解：（2）
把代入得，
所以成立．
（3）将代入，解得，
即方程组为，所以它不符合（1）中的规律．
板书设计
课题：8.1 二元一次方程组
一、二元一次方程
二、方程组
三、二元一次方程组
四、二元一次方程的解
五、二元一次方程组的解
教师板演区
学生展示区中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《 二元一次方程组 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课的主要内容是学习对于含有多个未知数的问题可以根据问题中的等量关系列一元一次方程也可以列多个方程，这些方程组成方程组。二元一次方程组是最简单的多元方程组，它的相关概念是本章学习的基础，由它可以类比得出三元一次方程组等概念。本课内容既是前面知识的深化和应用，又是今后用二元一次方程组解决生活中的实际问题的预备知识，占据重要的地位，是学生新的方程建模的基础课，为今后学习一次函数以及其他学科的学习奠定基础，同时建模的思想方法对学生今后的发展有引导作用，因此本节课具有承上启下的作用。
学习者分析 在此之前，学生已学习了一元一次方程的有知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，另外，七年级学生思维活跃，好奇心强，希望平等交流研讨，厌烦空洞的说教。因此，在教学过程中，积极采用形象生动、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式，激发他们的兴趣，通过合作交流，培养学生学习的主动性、与人合作的精神，激发学生的兴趣和求知欲，感受成功的乐趣。
教学目标 1.了解二元一次方程组及其解的概念。 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解。
教学重点 二元一次方程组及其解的概念。
教学难点 理解二元一次方程(组)解的个数的确定。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入教师活动1： 问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 引问：一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？学生活动1： 学生阅读并思考活动意图说明： 通过情境问题，引发学生思考，从而引出本节课将要学习的内容.环节二：知识探究教师活动2： 思考：上面问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 预设：胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分. x＋y＝10 2x＋y＝16 想一想：这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？ 预设：（1）都含有2个未知数x和y （2）未知数的项的次数是1 （3）方程的左右两边都是整式 归纳：像这样，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程． 指出：未知数x，y必须同时满足这两个方程 x＋y＝10 2x＋y＝16 这就组成了一个方程组． 即： 归纳：含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 探究1：满足方程①：x＋y＝10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中． xy
预设： x012345678910y109876543210
归纳：使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 即： 指出：一个二元一次方程有无数个解 探究2：表中哪对x，y的值还满足方程②:2x＋y＝16？ 是这两个方程的公共解 归纳：一般地，组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 即：的解是 完成前面的情境问题： 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 解：设这个队胜场数为x，负场数为y，根据题意得， 这个方程组的解是 答：这个队在10场比赛中胜6场、负4场 讨论：一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组之间的联系和区别。 学生活动2： 学生思考，并分组研讨，交流讨论后听老师讲解活动意图说明： 通过情境问题，对比一元一次方程引导学生总结归纳二元一次方程组及其解等相关概念，培养学生发现问题和解决问题的能力。环节三：例题讲解教师活动3： 例：列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解． 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？ 解：设x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，可列方程组： 这个方程组的解是 答：4位工人参加第一道工序，3位工人参加第二道工序.学生活动3： 认真分析思考，并计算.试着写出相应的过程.活动意图说明： 通过分析题中数量关系列二元一次方程组，并尝试计算出二元一次方程组的解，梳理确定二元一次方程组的解的思考和方法，旨在提高学生的计算能力和解决实际问题的能力。
板书设计 课题：8.1 二元一次方程组一、二元一次方程 二、方程组 三、二元一次方程组 四、二元一次方程的解 五、二元一次方程组的解教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．下列四组数是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（ ） A． B． C． D． 答案：B 选做题： 已知是方程的解， (1)求的值． (2)请将方程变形为用的代数式表示． 解：（1）将代入原方程得：， 解得：， 的值为8； （2）当时，原方程为， ． 【综合拓展类作业】 已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； 解：（1）方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．下面4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．关于的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，不过仍能求出．则的值是 ． 答案：5 选做题： 如果中的解x、y相同，求m的值． 解：方程组的解x、y的值相同， 联立方程组， 解得， 把代入，得， 解得，． 【综合拓展类作业】 按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 解：（1） （2） 把代入得，所以成立． （3）将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律．
教学反思 本节课，在学习二元一次方程的相关概念的同时，引导学生自已去发现数学，研究数学，加强对数学思想、方法及科学研究方法的指导，引导学生不断从“学会数学”到“会学数学”，同时，在今后的教学中，要重视学生课堂的学习感受，营造民主、开放、合作、竞争的学习氛围，不断创新优化教学方法，科学、合理、灵活地处理课堂上生成的问题。
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