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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册 第八章
课标要求 内容要求： 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法，能解二元一次方程组。 3.能解简单的三元一次方程组。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 学业要求： 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代人消元法或加减消元法解二元一次方程组；关能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章主要内容是二元一次方程组及其相关概念，利用二元一次方程组分析、解决实际问题，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，以及三元一次方程组的解法。本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴含的建模思想，体会代数方法的优越性，在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元、化归思想。
学情分析 学生已经学习了一元一次方程的相关知识，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。因此，本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系。 3.了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 （二）教学重点、难点 重点： 理解二元一次方程（组）的有关概念；掌握二元一次方程组的解法——代入法、加减法；会用方程组来解决实际问题。 难点： 掌握消元法，能解二元一次方程组；会用方程组来解决实际问题，体会建模思想。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元——解二元一次方程组38.3实际问题与二元一次方程组28.4三元一次方程组的解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1 二元一次方程组1.了解二元一次方程组及其解的概念。 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解。1.了解二元一次方程的概念及二元一次方程的解 2.了解方程组、二元一次方程组的概念及二元一次方程组的解活动：探究二元一次方程组及其相关概念8.2.1 代入法解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用代入法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究代入消元法解二元一次方程组8.2.2 加减法解二元一次方程组1.会用加减消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.会运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用加减法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究加减消元法解二元一次方程组8.2.3 选择适当方法解二元一次方程组能选择适当方法解二元一次方程组能根据二元一次方程组的具体情况，选择合适的解法活动：选择适当方法解二元一次方程组8.3.1 实际问题与二元一次方程组（一）能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究1、28.3.2 实际问题与二元一次方程组（二）能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究38.4 三元一次方程组的解法1.了解三元一次方程组的概念； 2.会解三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．1.了解三元一次方程组的概念 2.会解三元一次方程组活动：探究三元一次方程组的解法
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8.2.1 代入法解二元一次方程组
人教版 七年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本课的主要教学内容是理解并掌握代入消元法解二元一次方程组的方法步骤，体会方程（组）是解决实际问题的有效数学模型，也为今后学习函数等知识奠定基础，其中消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，这种数学思想会一直影响着学生今后数学的学习。因此利用消元思想解二元一次方程组不仅是本章的重点和难点，也是初中代数的一个重要内容。
学习目标
1.会用代入消元法解二元一次方程组。
2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想。
3.初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程。
新知导入
1.什么是二元一次方程？
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．
2.什么是二元一次方程组的解？
组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
探究新知
任务：探究代入消元法解二元一次方程组
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
方法一
设胜了x场，
则负了(10 x)场.
由题意知：
2x (10 x) 16
解得：x 6
∴胜了6场，负了10 6 4场.
方法二
设胜了x场，
负了y场.
由题意知：
x y 10，
2x y 16.
①
②
这个二元一次方程组与左边的一元一次方程有什么关系呢？
y 10 x
2x (10 x) 16
探究新知
任务：探究代入消元法解二元一次方程组
思考：比较二元一次方程组和一元一次方程，你能发现它们之间的关系吗？
2x＋10－x＝16．
负场次数：10－x
负场次数：y
y＝10－x
二元
一元
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
探究新知
任务：探究代入消元法解二元一次方程组
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
2x＋10－x＝16．
y＝10－x
二元
一元
消元
探究新知
任务：探究代入消元法解二元一次方程组
试一试：用代入法解二元一次方程组
解：由①，得
x＝y+3 ③
把③代入②，得
3(y+3) 8y＝14．
解这个方程，得
y＝ 1
把 y＝ 1 代入③，得
x＝2
所以这个方程组的解为
把③代入①可以吗？试试看？
再化简将会出现不含未知数的恒等式，这是因为方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，不能代入①.
y+3 =3
探究新知
任务：探究代入消元法解二元一次方程组
试一试：用代入法解二元一次方程组
解：由①，得
x＝y+3 ③
把③代入②，得
3(y+3) 8y＝14．
解这个方程，得
y＝ 1
把 y＝ 1 代入③，得
x＝2
所以这个方程组的解为
把y＝ 1代入①或②可以吗？
得到一个未知数的值后，把它代入①都能得到另一个未知数的值，其中代入方程更简捷。
解：由①，得
x＝y+3 ③
把③代入②，得
3(y+3) 8y＝14．
解这个方程，得
y＝ 1
把 y＝ 1 代入③，得
x＝2
所以这个方程组的解为
探究新知
任务：探究代入消元法解二元一次方程组
基本思想 → 消元
→ 代入
→ 求解
→ 回代
→ 写解
注意：检验方程组的解
试一试：用代入法解二元一次方程组
→ 变形
探究新知
任务：探究代入消元法解二元一次方程组
解二元一次方程组
基本思想
基本方法
消元思想
代入消元法
典例分析
例：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. 由题意可列方程组：
怎么解这个二元一次方程组？
先消去 y
先消去 x
大瓶数:小瓶数＝2 : 5
（5×大瓶数＝2 ×小瓶数）
大瓶装的消毒液＋小瓶装的消毒液＝总生产量
典例分析
把③代入② ，得：
把 x＝20000代入③得：0000
解：由① ，得：③
解这个方程，得：0000
这个方程组的解是：
先消去 y
把③代入② ，得：
把 y＝50000代入③得：0000
解：由① ，得：③
解这个方程，得：0000
这个方程组的解是：
先消去 x
典例分析
例：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. 由题意可列方程组：
解得：
答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶.
典例分析
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入消元法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
解决实际问题的基本思路：
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
1．将式子改写成用含x的式子表示y，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
2．方程组下列解法中比较简捷的是（ ）
A．由①，得，再代入②
B．由①，得，再代入②
C．由②，得，代入①
D．由②，得，再代入①
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
3．解方程组：（1） （2）
解：（1）把①代入②得
解这个方程，得
把代入①得
∴这个方程组的解为
（2）由①得：
把代入②得
解这个方程，得
把代入得
∴这个方程组的解为
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
用代入消元法解方程组时，把②变形后代入①，代入正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
课堂练习
【综合实践类作业】
《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二； 人出五，不足三．问人数、物价各几何 译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱； 每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少 ”请解答上述问题．
解：设有人，物价为钱，由题意可得，
，解得，
答：有人，物价为钱．
课堂总结
今天这节课，你都有哪些收获？
1.解二元一次方程组的核心思想是什么？
2.代入法解二元一次方程组大致有哪些步骤？
3.如何列二元一次方程组解决实际问题？
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
1．把方程改写成含x的式子表示y的形式为（ ）
A． B．
C． D．
B
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
2．在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ）
A． B．
C． D．
C
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
3．解下列方程组：(1) (2)
解：（1）把②代入①，得
解这个方程，得
把代入②，得
．
∴这个方程组的解是
（2）由②得：
把代入①得
解这个方程，得
把代入得
∴这个方程组的解为
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
如果关于的方程组的解是方程的解，那么的值是（ ）
A． B． C．5 D．20
A
作业布置
【综合实践类作业】
某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位．
(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
解：（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，
依题意，得：，解得：．
答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位．
作业布置
【综合实践类作业】
某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位．
(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，
依题意，得：，
∴．∵m，n均为正整数，∴．
答：需租用A型车4辆，B型车2辆．
板书设计
课题：8.2.1 代入法解二元一次方程组
一、消元思想
二、代入消元法
三、代入消元法解二元一次方程组的一般步骤:
变形→代入→求解→回代→写解→ 验算
四、列二元一次方程组解决实际问题
教师板演区
学生展示区中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第二课时《 代入法解二元一次方程组 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课的主要教学内容是理解并掌握代入消元法解二元一次方程组的方法步骤，体会方程（组）是解决实际问题的有效数学模型，也为今后学习函数等知识奠定基础，其中消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，这种数学思想会一直影响着学生今后数学的学习。因此利用消元思想解二元一次方程组不仅是本章的重点和难点，也是初中代数的一个重要内容。
学习者分析 学生在学习本课之前，已经掌握了二元一次方程组及解的相关概念，并能熟练解一元一次方程，在学习的过程中，能够利用化归思想解决实际问题，这些知识和能力的储备，为本节课的开展做好了准备。同时，七年级学生的抽象思维能力和逻辑思维能力较差，这也导致在课堂教学中，显得枯燥、乏味，加上部分学生的运算能力不强，使得本课内容的教学难度增大，因此，教学中要紧密联系学生已有知识，创设适宜的问题情境，提高学生的学习兴趣。
教学目标 1.会用代入消元法解二元一次方程组。 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想。 3.初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程。
教学重点 代入消元法解二元一次方程组。
教学难点 对代入消元法解二元一次方程组过程的理解。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 问题1.什么是二元一次方程？ 预设：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程． 问题2.什么是二元一次方程组的解？ 预设：组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．学生活动1： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习二元一次方程及解的概念，即回顾二元一次方程的相关概念，又引出了如何求二元一次方程组的解的问题，为新课的引入做好铺垫。环节二：知识探究教师活动2： 问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 预设：方法一： 设胜了x场， 则负了(10x)场. 由题意知： 2x(10x)16 解得：x6 ∴胜了6场，负了1064场. 方法二： 设胜了x场， 负了y场. 由题意知： 追问：这个二元一次方程组与左边的一元一次方程有什么关系呢？ 思考：比较二元一次方程组和一元一次方程，你能发现它们之间的关系吗？ 预设：二元一次方程组中的第一个方程xy10可转化为y10x，把第二个方程2xy16中的y换为10x，这个方程组就化成了一元一次方程。 归纳：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法,简称代入法。 试一试：用代入法解二元一次方程组 解：由①，得 x＝y+3 ③ 把③代入②，得 3(y+3) 8y＝14． 解这个方程，得 y＝ 1 把 y＝ 1 代入③，得 x＝2 所以这个方程组的解为 追问1：把③代入①可以吗？试试看？ 预设：再化简将会出现不含未知数的恒等式，这是因为方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，不能代入①. 追问2：把y＝ 1代入①或②可以吗？ 预设：得到一个未知数的值后，把它代入①都能得到另一个未知数的值，其中代入方程更简捷。 归纳用代入法解二元一次方程组的步骤： 变形，代入，求解，回代，写解，检验。 指出： 学生活动2： 学生回顾情境问题，并分别从一元和二元的角度列出方程和方程组。 学生认真思考，并小组内讨论，然后派代表交流 学生认真听老师的讲解 学生独立尝试用代入法解二元一次方程组，并小组交流 学生积极思考，并讨论老师提出的两上问题 学生和老师一起归纳用代入法解二元一次方程组的步骤活动意图说明： 通过梳理“情境问题”中方程组的解法过程，给出数学方法的名称，即数学概念，从而体验“过程与方法”。在自主学习的尝试中，体会解二元一次方程的思想和方法，代入法的关键是二元一次方程变形，让学生在解决问题的过程中，总结归纳出解题的一般步骤和解题技巧。环节三：例题讲解教师活动3： 例：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 追问1：题中的等量关系有哪些？ 预设：大瓶数:小瓶数＝2 : 5 （5×大瓶数＝2 ×小瓶数） 大瓶装的消毒液＋小瓶装的消毒液＝总生产量 解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. 由题意可列方程组： 追问2：怎么解这个二元一次方程组？ 方法1：先消去 y 解：由① ，得：③ 把③代入② ，得： 解这个方程，得：0000 把 x＝20000代入③得：0000 这个方程组的解是： 方法2：先消去 x 解：由① ，得：③ 把③代入② ，得： 解这个方程，得：0000 把 y＝50000代入③得：0000 这个方程组的解是： 答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶. 归纳：解决实际问题的基本思路： 学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解活动意图说明： 让学生用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
板书设计 课题：8.2.1 代入法解二元一次方程组一、消元思想 二、代入消元法 三、代入消元法解二元一次方程组的一般步骤: 变形→代入→求解→回代→写解→ 验算 四、列二元一次方程组解决实际问题教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．将式子改写成用含x的式子表示y，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．方程组下列解法中比较简捷的是（ ） A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入② C．由②，得，代入① D．由②，得，再代入① 答案：B 3．解方程组： （1） （2） 解：（1）把①代入②得 解这个方程，得 把代入①得 ∴这个方程组的解为 （2）由①得： 把代入②得 解这个方程，得 把代入得 ∴这个方程组的解为 选做题： 用代入消元法解方程组时，把②变形后代入①，代入正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二； 人出五，不足三．问人数、物价各几何 译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱； 每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少 ”请解答上述问题． 解：设有人，物价为钱，由题意可得， ， 解得， 答：有人，物价为钱．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．把方程改写成含x的式子表示y的形式为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．解下列方程组： (1) (2) 解：（1）把②代入①，得 解这个方程，得 把代入②，得 ． ∴这个方程组的解是 （2）由②得： 把代入①得 解这个方程，得 把代入得 ∴这个方程组的解为 选做题： 如果关于的方程组的解是方程的解，那么的值是（ ） A． B． C．5 D．20 答案：A 【综合拓展类作业】 某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 解：（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆．
教学反思 用代入消元法解二元一次方程组是《消元——解二元一次方程组》的第一课时，这堂课的内容对于学生来说相对比较简单，学生具备解一元一次方程和用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的基础，因而学生有能力自主探索出用代入法解二元一次方程组的方法，在教学中让学生体会数学学习和研究中的“化未知为已知”的化归思想。
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