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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册 第八章
课标要求 内容要求： 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法，能解二元一次方程组。 3.能解简单的三元一次方程组。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 学业要求： 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代人消元法或加减消元法解二元一次方程组；关能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章主要内容是二元一次方程组及其相关概念，利用二元一次方程组分析、解决实际问题，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，以及三元一次方程组的解法。本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴含的建模思想，体会代数方法的优越性，在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元、化归思想。
学情分析 学生已经学习了一元一次方程的相关知识，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。因此，本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系。 3.了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 （二）教学重点、难点 重点： 理解二元一次方程（组）的有关概念；掌握二元一次方程组的解法——代入法、加减法；会用方程组来解决实际问题。 难点： 掌握消元法，能解二元一次方程组；会用方程组来解决实际问题，体会建模思想。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元——解二元一次方程组38.3实际问题与二元一次方程组28.4三元一次方程组的解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1 二元一次方程组1.了解二元一次方程组及其解的概念。 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解。1.了解二元一次方程的概念及二元一次方程的解 2.了解方程组、二元一次方程组的概念及二元一次方程组的解活动：探究二元一次方程组及其相关概念8.2.1 代入法解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用代入法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究代入消元法解二元一次方程组8.2.2 加减法解二元一次方程组1.会用加减消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.会运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用加减法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究加减消元法解二元一次方程组8.2.3 选择适当方法解二元一次方程组能选择适当方法解二元一次方程组能根据二元一次方程组的具体情况，选择合适的解法活动：选择适当方法解二元一次方程组8.3.1 实际问题与二元一次方程组（一）能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究1、28.3.2 实际问题与二元一次方程组（二）能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究38.4 三元一次方程组的解法1.了解三元一次方程组的概念； 2.会解三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．1.了解三元一次方程组的概念 2.会解三元一次方程组活动：探究三元一次方程组的解法
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分课时教学设计
第三课时《 加减法解二元一次方程组 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生学习了代入法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种消元的方法——加减消元法，加减法是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础，并让学生通过加减来达到消元的目的，让学生从中充分体会化未知为已知的转化过程，体会代数的一些特点和优越性；理解并掌握解二元一次方程组的最常用的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。
学习者分析 学生在学习本课之前，已经理解了解二元一次方程组的思想是消元，方法是代入消元法，掌握了代入法解二元一次方程组的一般步骤，并在实际问题中能列二元一次方程组将实际问题转化为数学问题来解决实际问题。这些知识和能力的储备，为本节课的开展做好了准备。同时，七年级学生的抽象思维能力和逻辑思维能力较差，这也导致在课堂教学中，显得枯燥、乏味，加上部分学生的运算能力不强，使得本课内容的教学难度增大，因此，教学中要紧密联系学生已有知识，创设适宜的问题情境，提高学生的学习兴趣。
教学目标 1.会用加减消元法解二元一次方程组。 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想。 3.会运用二元一次方程组解决实际问题的过程。
教学重点 用加减法解二元一次方程组。
教学难点 灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 问题1：解二元一次方程组的基本思路和基本方法是什么？ 预设：基本思想——消元思想 基本方法——代入消元法 问题2：用代入法解二元一次方程组的关键？ 预设：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.学生活动1： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习解二元一次方程组的思想和方法，体会消元思想在解二元一次方程组中的作用，为引出加减消元法解二元一次方程组做好准备。环节二：知识探究教师活动2： 思考1：前面我们用代入消元法求出了方程组 的解，这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 预设：这两个方程中未知数y的系数相等，②－①可消去未知数y，得x=6. 把x=6代入①，得y=4. 所以这个方程组的解是 依据：等式的性质。 解：②①，得： 2xy(xy)1610， x6. 把x6代入①，得：y4. ∴方程组的解为 追问1：代入②行吗？ 预设：可以 追问2：①②行吗？ 解：①②，得： xy(2xy)1016， x6. 把x6代入②，得：y4. ∴方程组的解为 思考2：联系刚才的解法，想一想怎样解方程组： 问题：方程组中y的系数有什么关系？ 预设：y的系数相反 解：①＋②，得 3x＋ 10y＋(15x－10y) ＝2.8 ＋8 18x＝10.8 x＝0.6 把x＝0.6代入①，得 3×0.6＋10y＝2.8 y＝0.1 ∴这个方程组的解是 归纳：当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程， 这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 追问：我们知道，解二元一次方程组的基本思想是消元思想，那么怎样用加减消元法解二元一次方程组？ 预设：加减、代入、求解、写解、检验学生活动2： 学生根据老师提出的问题进行思考、尝试，并在探究、小组讨论交流，老师的讲解中体会加减消元的理论依据、加减消元法的概念及利用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤 活动意图说明： 通过思考及相关问题使学生感受两个方程之间通过“加减法”也能达到消元的目的，其理论依据是等式的基本性质，此外要想通过“加减法”实现“消元”，是由同一未知数的系数相反或相等决定的。通过引导学生对加和减两种不同的解法，调动学生的学习兴趣，同时进一步体会“加减消元”与同一未知数的系数之间的关系有密切关系及加减法解二元一次方程组的基本步骤。环节三：例题讲解教师活动3： 例1：用加减消元法解方程组 分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元．我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等。 方法一：用加减法消去y 解：①×3，得： 9x＋12y＝48 ③ ②×2，得： 10x－12y＝66 ④ ③＋④，得： 19x＝114 x＝6 把 x＝6代入①，得： 3×6＋4y＝16 4y＝－2 ∴这个方程组的解是 方法二：用加减法消去x 解：①×5，得： 15x＋20y＝80 ③ ②×3，得： 15x－18y＝99 ④ ③ - ④，得： 38y＝-19 把 代入①，得： 3x＋4＝16 3x＝18 ∴这个方程组的解是 归纳：加减法解二元一次方程组的步骤： 变形、加减、代入、求解、写解、检验 归纳：解二元一次方程组的思想和方法 例2：2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 分析：2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量＝3.6 3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量＝8 解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 .根据题意可列方程组： 去括号得： ②－①，得： 解这个方程，得： 把 x＝0.4代入①得： 解这个方程，得： 这个方程组的解是 答：1台大收割机每小时收割小麦0.4 hm2，1台小收割机每小时收割小麦0.2 hm2. 归纳：解决实际问题的基本思路： 学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解活动意图说明： 让学生用所学知识进一步掌握加减法解方程组的基本步骤，并体会解决实际问题的基本思路，提高学生的应用能力。
板书设计 课题：8.2.2 加减法解二元一次方程组一、加减消元法 二、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤: 变形→加减→求解→代入→写解→ 验算 三、列二元一次方程组解决实际问题教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．方程组的解是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．用加减法解方程组下列解法正确的是（ ） A．，消去x． B．，消去y C．，消去x． D．，消去y 答案：D 3．解下列二元一次方程组： (1) (2) 解：（1）由②①得， 将代入①得， 故原方程组的解为； （2）由①②得， 将代入①得， 故原方程组的解为． 选做题： 若与是同类项，则 ， ． 答案：， 解：∵与是同类项， ∴， ①+②得：8a＝8， 解得：， 把代入①得： 【综合拓展类作业】 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务． （1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？ （2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？ 解：（1）设该公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务， 解得：； 答：公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务； （2）（元） 答：该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．二元一次方程组的解是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ）． A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 答案：A 3．解方程组： (1) (2) 解：（1）得，解得． 把代入①， 得 解得， 故原方程组的解为 （2）得， 得， 得，解得， 把代入②，得 解得， 故原方程组的解为 选做题： 某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 解：（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车， 根据题意可列方程，， 解得． 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车； （2）设需熟练工m名， 依题意有：， 整理得：． 所抽调的熟练工的人数为人． 【综合拓展类作业】 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得 ，即 ．③ ，得 ．④ ，得 ， 从而可得 ． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 解：，得 ，即 ．③ ，得 ． 把代入，得 ． 所以原方程组的解为
教学反思 “解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识，占有重要的地位。通过本节课的教学，使学生会用加减消元法解二元一次方程组，进一步了解“消元”的思想。加减法解二元一次方程组的基本思想与代入法相同，仍是“消元”化归思想，通过代入法或加减法这种方法，使二元方程转化为一元方程，从而使“消元”化归这一转化思想得以实现。因此在教学过程中，注重化归意识的点拨与渗透，使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法。
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8.2.2 加减法解二元一次方程组
人教版 七年级下册
学习目标
1.会用加减消元法解二元一次方程组。
2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想。
3.会运用二元一次方程组解决实际问题的过程。
新知导入
1. 解二元一次方程组的基本思路和基本方法是什么？
2. 用代入法解二元一次方程组的关键？
用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.
解二元一次方程组
基本思想
基本方法
消元思想
代入消元法
探究新知
任务：探究加减消元法解二元一次方程组
思考1：前面我们用代入消元法求出了方程组
的解，这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
y的系数相等
②式的左边 ①式的左边
②式的右边 ①式的右边
依据：等式的性质
2x y
(x y)
16 10
2x y x y 6
x 6
消去未知数y
简写为：② ①
探究新知
任务：探究加减消元法解二元一次方程组
① ②行吗？
解：② ①，得：
2x y (x y) 16 10，
x 6.
把x 6代入①，得：y 4.
∴方程组的解为
解：① ②，得：
x y (2x y) 10 16，
x 6.
把x 6代入②，得：y 4.
代入②行吗？
∴方程组的解为
探究新知
任务：探究加减消元法解二元一次方程组
思考2：联系刚才的解法，想一想怎样解方程组：
解：①＋②，得
18x＝10.8
x＝0.6
把x＝0.6代入①，得
3×0.6＋10y＝2.8
y＝0.1
∴这个方程组的解是
3x＋ 10y＋(15x－10y) ＝2.8 ＋8
y的系数相反
探究新知
任务：探究加减消元法解二元一次方程组
当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程， 这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
2x－x＝6
二元
一元
消元
② ①
3x+15x＝10.8
①+②
探究新知
任务：探究加减消元法解二元一次方程组
思考2：联系刚才的解法，想一想怎样解方程组：
解：①＋②，得
18x＝10.8
x＝0.6
把x＝0.6代入①，得
3×0.6＋10y＝2.8
y＝0.1
∴这个方程组的解是
3x＋ 10y＋(15x－10y) ＝2.8 ＋8
基本思想 → 消元
→ 加减
→ 代入
→ 求解
→ 写解
注意：检验方程组的解
典例分析
例1：用加减消元法解方程组
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元．我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等。
典例分析
②×2，得：
把 x＝6代入①，得：
解：①×3，得：
9x＋12y＝48 ③
③＋④，得：
∴这个方程组的解是
10x－12y＝66 ④
19x＝114
x＝6
3×6＋4y＝16
4y＝－2
用加减法消去y
用加减法消去x
②×3，得：
把 代入①，得：
解：①×5，得：
15x＋20y＝80 ③
③ - ④，得：
∴这个方程组的解是
15x－18y＝99 ④
38y＝-19
3x＋4＝16
3x＝18
→ 加减←
→ 代入←
→ 求解←
→ 写解←
→ 变形←
注意：检验方程组的解
典例分析
解二元一次方程组
基本思想
消元思想
基本方法
代入消元法
加减消元法
典例分析
2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量＝3.6
3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量＝8
例2：2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 .根据题意可列方程组：
典例分析
把 x＝0.4代入①得：
去括号得：
解这个方程，得：
这个方程组的解是
②－①，得：
解这个方程，得：
典例分析
例2：2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 .根据题意可列方程组：
解这个方程组得
答：1台大收割机每小时收割小麦0.4 hm2，1台小收割机每小时收割小麦0.2 hm2.
典例分析
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
加减消元法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
解决实际问题的基本思路：
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
1．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
2．用加减法解方程组下列解法正确的是（ ）
A．，消去x．
B．，消去y
C．，消去x．
D．，消去y
D
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
3．解下列二元一次方程组：
(1) (2)
解：（1）由②①得，
将代入①得，
故原方程组的解为
（2）由①②得，
将代入①得，
故原方程组的解为
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
若与是同类项，则 ， ．
1
0
解：∵与是同类项，
∴，
①+②得：8a＝8，
解得：，
把代入①得：
课堂练习
【综合实践类作业】
某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．
（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？
（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
解：（1）设该公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务，
解得：
答：公司应安排天精加工，天粗加工才能按期完成任务；
课堂练习
【综合实践类作业】
某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． 现计划用15天完成加工任务．
（1）该公司应安排几天精加工，几天粗加工，才能按期完成任务？
（2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
（2）（元）
答：该公司出售这些加工后的蔬菜共获利元．
课堂总结
今天这节课，你都有哪些收获？
1.解二元一次方程组的核心思想是什么？
2.加减法解二元一次方程组大致有哪些步骤？
3.如何列二元一次方程组解决实际问题？
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
1．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
C
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
2．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将
B．要消去x，可以将
C．要消去y，可以将
D．要消去x，可以将
A
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
3．解方程组：
(1) (2)
解：（1）得，
解得．
把代入①，
得
解得，
故原方程组的解为
（2）得，
得，
得，解得，
把代入②，得
解得，
故原方程组的解为
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数．
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
解：（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，
根据题意可列方程，，解得．
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车；
（2）设需熟练工m名，
依题意有：，
整理得：．
所抽调的熟练工的人数为人．
作业布置
【综合实践类作业】
阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由，得
，即
．③
，得
．④
，得，
从而可得．
所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
解：，得
，即
．③
，得
．
把代入，得
．
所以原方程组的解为
