四川省自贡市富顺县赵化中学2015-2016上学期九年级数学《二次函数》单元专题复习学案（Word版无答案）

九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅰ
二次函数的图象及其性质
编写：赵化中学 郑宗平

知识点：
1、二次函数的定义：形如 （为常数，且）的函数. 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）.
2、二次函数的图象：
二次函数的图象是一条 ；是 对称图形.
3.二次函数的性质：
⑴.特殊形式：
①.抛物线的对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当 0，开口向上；当 0，开口向下.增减性：当时，在对称轴的左侧，随的增大而 ；当时，在对称轴的左侧，随的增大而 .最值：当，时，取最 值为 ；当，时，取最 值为 .
②.抛物线的对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当
0，开口向上；当 0，开口向下.增减性：当时，在对称轴的左侧，随的增大而 ；当时，在对称轴的左侧，随的增大而 .最值：当，时，取最 值为 ；当，时，取最 值为 .
③.抛物线的对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当
0，开口向上；当 0，开口向下.增减性：当时，在对称轴的左侧，随的增大而 ；当时，在对称轴的左侧，随的增大而 .最值：当，时，取最 值为 ；当，时，取最 值为 .
⑵.配方形式：
抛物线对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当 0，开口向上：当 0，开口向下.增减性：当时，在对称轴的左侧，随的增大而 ；当时，在对称轴的左侧，随的增大而 .最值：当，时，取最 值为 ；当，时，取最 值为 .
若把抛物线进行平移：
①. 向 平移个单位可以得到；
②.向 平移个单位可以得到；
③.向 平移个单位，再 移个单位可以得到.
⑶.一般形式：
抛物线对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当 0，开口向上；当 0，开口向下.增减性：当时，在对称轴的左侧，随的增大而 ；当时，在对称轴的左侧，随的增大而 .最值：当，时，取最 值为 ；当，时，取最 值为 .
例题解析：
例1、选择题：
⑴.对于抛物线，下列结论：①.抛物线开口向下；②.对称轴是直线；③.顶点坐标为；④.当时，随的增大而减小.其中正确的个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
⑵.在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线的图象可能是 （ ）
例2、填空题：
⑴.二次函数的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
⑵.若函数是二次函数，则= ，其图象的顶点坐标为 .
⑶.如果抛物线在轴上，则的值为 .
⑷.如图二次函数的大致图象，则= .
⑸.已知抛物线有两点，则的大小关系为 .（填“>”、“<”或 “=”）.
⑹. 二次函数的部分点的坐标满
足右表，则该函数顶点的坐标为 ， .
⑺.已知二次函数的图象的开口方
向向上，顶点在第三象限，则点在第 象限.
例3、已知抛物线
求抛物线的对称轴和顶点坐标；
⑵.画出抛物线的大致图形，并用虚线标出对称轴；
⑶.观察图象，你能得出哪些结论？请至少写出三条.
例4、已知抛物线.
求此抛物线顶点的坐标以及抛物线与坐标轴交点的的坐标；
⑵.画出抛物线的大致图形；
⑶.求顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.
追踪练习：
1.选择题：
⑴.如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于两点，则以下结论：
①. ；②.无论取何值，的值总是正数；③..
④.当时，； 其中正确的结论是 （ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
⑵.若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
⑶.若抛物线与轴的交点为，则下列说法不正确的的是 （ ）
A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是
C.当时，取最大值为 D.抛物线与轴的交点为
2.填空题：
⑴.抛物线的开口方 ，对称轴为 ，顶点坐标为 .
⑵.已知下列函数：①.；②. ；③. .其中，图象通过平移可以得到的图象有 .（填序号）.
⑶.在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是 .
⑷.二次函数的部分点的坐
标满足右表，则该函数顶点的坐标为 .
⑸. 已知二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，则点在第
象限.
⑹.已知抛物线的对称轴在轴的右侧，最大值为2，则= .
⑺.若抛物线的顶点在轴上，则此抛物线的开口方向 ，有 （填最大值或最小值），写出此抛物线的解析式 .
⑻.如图两条抛物线分别经过
且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .
⑼.已知函数的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么的取值范围是 .
⑽.二次函数的图象如图所示，则一次函数
的图象经过 象限.
3、已知二次函数的图象经过点.
⑴.求的值；
⑵.求出该二次函数顶点的坐标和对称轴；
⑶.在所给的坐标系中画出的图象；
⑷.若抛物线与坐标均有交点，请求出顺次
连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的
面积.
4、如图所示，已知二次函数的图象的顶点为,二次函数
的图象与轴交于原点以及另一点,它的顶点在函数
上的图象的对称轴上.
⑴.求点以及点的坐标；
⑵.当四边形为菱形时，求的关系式.
⑶.求四边形为菱形时的面积.
九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅱ
求二次函数的解析式问题
知识点：
1、待定系数法的一般步骤:
设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式.
2、常见的求二次函数解析式的方法和途径：
⑴.一般式：
①.设出二次函数的一般式为：；
②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；
③.进行解答并求出求出待定系数的值；
④.最后返回写解出解析式.
⑵.顶点式：
①.设出二次函数的顶点式为：；
②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为，则；
③.进行解答并求出求出待定系数的值；
④.最后返回写解出解析式.
⑶.交点式：
①.设出二次函数的一般式为：；这里的是抛物线与轴交点的横坐标；
②.代入和另外一个条件的值；
③.进行解答并求出求出待定系数的值；
④.最后返回写解出解析式.
⑷. 特殊式：
①.设出二次函数的特殊式：
若顶点为原点可设为的形式；若顶点在轴上可设为的形式；若顶点在轴上可设为的形式；
②.代入条件构成方程或方程组；
③.进行解答并求出求出待定系数的值；
④.最后返回写解出解析式.
⑸.平移式
平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：
①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如；
②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其值不变化，其上下左右平移的规律是：
若左右平移单位：向右平移则在数据上减去，向左平移则在数据上加上；
若上下平移单位：向上平移则在数据上加上，向下平移则在数据上减去.
一句话：左右平移决定配方式括号里数据的变化，口诀是“左加右减”；上下平移决定配方式括号外后面数据的变化，口诀是“上加下减”.
⑹.对称式
①.抛物线关于轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.
②.抛物线关于轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数.
③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.
例题解析：
例1、二次函数的图象是过点的一条抛物线．
⑴.求这个二次函数的关系式；
⑵.求这条抛物线的顶点的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线；
⑶.为何值时，函数有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少?
⑷.在什么范围内，y随着x的增大而增大?
⑸.求四边形的面积．
例2、有一抛物线的拱形桥洞，桥洞顶离水面最大高度为
，跨度为，把它图形放在直角坐标系中（见示意图）
⑴.求此抛物线所对应的函数关系式；
⑵.在对称轴右边处桥洞离水面高是多少米？
例3、已知抛物线经过，求抛物线的顶点的坐标？
变式：若把上面例题中坐标“”改为“”其余条件不变，又该如何求出抛物线的顶点坐标呢？
例4、已知Rt中， ；若以边
所在的直线为轴，Rt 斜边的高所在的直线作
为轴建立平面直角坐标系（见图示）
⑴.请至少用三种不同求解析式方法求出过三点的抛物
线的解析式；
⑵.求出⑴问中抛物线的顶点的坐标和对称轴.
追踪练习：
1、分别写出抛物线的顶点为原点，抛物线过原点，抛物线的对称轴为轴，物线的与轴有且只有一个交点的解析式各至少两个.（答案不唯一）
2、分别按条件写出平移后的解析式：
⑴.抛物线向左平移3个单位后的解析式是 ；
⑵.抛物线向下平移4个单位后的解析式是 ；
⑶.抛物线先右平移2个单位后再下平移3个单位的的解析式是 .
3、根据给出条件求，二次函数的解析式：
⑴.已知二次函数图象顶点在轴上，且过两点；
⑵.已知二次函数图象顶点在轴上，且过两点；
⑶.已知二次函数图象对称轴为直线，且经过点和；
⑷.已知二次函数图象经过三点；
⑸.已知二次函数图象经过三点；
⑹.已知二次函数图象经过三点；
⑺.与已知抛物线关于直线对称.
4、在一幢建筑物里10米高的窗台处有一水管斜着向外喷水，如图所示，喷出的水在垂直于墙壁的竖直平面内形成一条抛物线，其顶点距离墙1.5米远，并且落在离墙4米处的地面上，求抛物线的顶点比喷射点高多少米？
5、已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求此抛物线的解析式？
6、已知二次函数当时，函数有最大值0，且经过点.
⑴.求该二次函数的解析式；
⑵.如何平移该二次函数的图象，使平移后的抛物线的顶点在上？
⑶.写出平移后的点的对应点的坐标是多少？
7、如图，抛物线的顶点为,与坐标轴的交点
分别为.根据图中标示：
⑴.求此抛物线的解析式；
⑵.请顺次连结，试求的面积.
8、如图抛物线的顶点为，此抛物线交轴交于两点.
⑴.求此抛物线的解析式；
⑵.求△的面积；
⑶.若抛物线上另有一点满足△=△,请求出的坐标.
9、 如左图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线.
⑴.抛物线是如何平移的？
⑵.求出其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积？
（阴影部分见示意图）
10、如右图，一抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，直
角坐标系中横轴与纵轴的单位长度都是1.
⑴.求助此抛物线的解析式；
⑵.若将此抛物线先向右平移4个单位，再向下移2个单位，请
化出平移后的图象，并写出平移后抛物线的解析式；
⑶.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点间的距离；
⑷.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点所在直线的解
析式.
11、如图①，已知抛物线
经过.
⑴.求抛物线的解析式；
求抛物线的顶点的坐标和对称轴；
⑶.把抛物线向上平移，使得顶点落在轴
上，直接写出两条两条抛物线、对称轴和
轴围成的图形的面积(图中阴影部分）.
12、如图，在矩形中，,沿直线折叠矩形
的一边,使点落在边上的点处，抛物线经过
三点.
⑴.求的长；
⑵.抛物线的解析式.
九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅲ
二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）
知识点：
二次函数与一元二次方程的关系：
已知一元二次方程，设抛物线.
⑴.△ 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与轴有两个不同的交点.
⑵.△ 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点.
⑶.△ 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与轴无交点.
⑷.△ 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与轴有交点.
2.二次函数与一元二次不等式的关系：
已知一元二次不等式或，设抛物线，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.
⑴.当时：
①.若抛物线与轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间；
②.若抛物线与轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”.
⑵. 当时：
①.若抛物线与轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边；
②.若抛物线与轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体.
例题解析：
例1、已知二次函数的图象如图，且
,有以下结论：①.；②. ；③. ;
④.；⑤.；⑥.；⑦..
其中正确的有 （填序号）.
例2、已知二次函数的部分图象如图所示.
⑴.求关于的一元二次方程的解；
⑵.根据图象写出不等式的解集.
例3、已知二次函数
⑴.求证：对于任意实数，该二次函数的图象与轴总有公共交点；
⑵.若该二次函数的图象与轴有两个公共点，且点坐标为
，求点的坐标.
例4、二次函数的图象如图所示，根据图象解答：
⑴.写出方程的两根；
⑵.写出不等式的解集；
⑶.写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
⑷.若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
追踪练习：
1、选择题：
⑴.已知二次函数的图象与轴的一个交点的坐标为，则它与轴的另一个交点的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
⑵.已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 （ ）
A. B. C.且 D.且
⑶.已知二次函数的与的部分对
应值如右表，则下列判断正确的是 （ ）
A.当时， B.抛物线与轴交于负半轴
C.抛物线开口向上 D.方程的正根在3和4 之间.
2、填空题：
⑴.已知抛物线与轴一个交点的坐标为，则一
元二次方程的根为 .
⑵. 如图是二次函数的图象，则
时= ；时的取值范围是 ；
时的取值范围是 .
⑶.若在轴上截得的线段长为，则= .
⑷.如图是二次函数的图象，有以下结论：
①.；②.；③.；④.；
⑤.. 其中正确的有 （填序号）.
3、已知二次函数.
⑴.若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求的值；
⑵.若该二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，求的值.
4、已知二次函数 ⑴.求证：无论取何实数，此二次函数的图象与轴都有两个交点；⑵.若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；⑶.若⑵中的二次函数的图象与轴交于，与轴交于点；
是第四象限函数图象上的点，且于,求点的坐标．5、已知二次函数.
⑴.求证：不论取何实数，此函数的图象都与轴有两个交点，且两个交点都在轴的正半轴.
⑵.设函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，若△的面积为48，求的值.
九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅳ
利用二次函数的解决实际问题举例

利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.下面我就本专题作简单的分类举例：
题目一：利用二次函数解决面积问题
例1、如图，在矩形中，；点从点点开始沿边向点一每秒的速度运动；点从点点开始沿边向点一每秒的速度运动；若分别同时从同时出发，设表示的面积,表示运动时间.
⑴.求出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
⑵.求出的最大值或最小值，并说明理由.
例2、如图，抛物线经过三点，设是抛物线上一动点，且在轴的下方，四边形是以为对角线的平行四边形.
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.当运动时，试求平行四边形的面积与之间
的函数关系式，并求出最大面积；
⑶.是否存在着样的点，使平行四边形为正方形？若存
在，求点和的坐标；若不存在，请说明理由.
题目二：利用二次函数解决利润等代数问题
例1、某商场一商场某产品每件成本10元，试销阶段发现每件产品的销售价（元）与产品销售量（件）之间的关系如下表，且日销售量（件）与是偶家（元）是一次函数.
⑴.求出日销售量（件）与是偶家（元）
的函数函数关系式.
⑵.要使每日的利润最大，每件产品的销售价应
定为多少元？此时最大利润是多少？
例2、千年古镇赵化的某宾馆有50个房间供游住宿，当每个房间的房价为每天180元，房间会全部住满；当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价每天增加元（为10的正整数倍）.
⑴.设一天的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
⑵.设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式；
⑶.一天订住多少房间时宾馆的利润最大？最大利润是多少？
题目三：利用二次函数解决抛物线形问题
例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在时，拱
桥顶离水面2米（见图示），水面宽为4米；若水
面下降1米，水面宽度增加多少米？
追踪练习：
1、某店经营文具用品，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件文具售价不能高于40元.设每件文具的销售单价上涨元时（为正整数），月销售利润为元.
⑴.求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
⑵.每件文具的售价定为多少元时，月销售利润恰好是2520元？
⑶.每件文具的售价定为多少元时刻使月销售利润最大？最大月利润是多少？
2、某农户计划现有的一面墙再修四面墙，建成如所示的长方体水池，培育不同品种鱼苗.他已备足可以修高、长的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直于的三面墙的长度都为，即(不考虑墙的厚度)
⑴.若想水池的总容积为，的值应为多少？
⑵.求水池的容积与的函数关系式，并直接写出的取值范围.
⑶.若想使水池的容积最大，应为多少？最大容积是多少？
3、如图是一个抛物线的桥拱示意图，桥的跨度为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距点10米处的立柱的高度为3.6米.
⑴.求正中间的立柱的高度；
⑵.是否存在一根立柱，其高度恰好是
的高度的一半？请说明理由.
4、身高为的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为，小王站在与篮圈中心的水平距离的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线；当球运行的水平距离为时，球达到距离地面的最高点.，运行一段时间后篮球最后恰好落入篮圈.
⑴.请建立适当的坐标系，并以此求出球的运动路线的解析式；
⑵.若篮球在小王的头顶上方出手，问：球出手时，他跳离地
面的高度是多少米？
⑶.若是身高的姚明练习定点投篮，球的运动路线也
和本题的一样，球在姚明头顶上方处出手，则姚明
应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮
球准确落入篮圈？