1．6 微积分基本定理
1．通过实例，了解微积分基本定理的含义．
2．理解并记住牛顿——莱布尼兹公式，即微积分基本定理．
3．会逆用求导公式求原函数F(x)，再求定积分．
1．微积分基本定理：如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝F(b)－F(a)．
定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F(x)|来表示F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
想一想：被积函数f(x)的原函数F(x)唯一吗？
解析：不唯一．因为当F′(x)＝f(x)时，[F(x)＋C]′＝f(x)(C为常数)，所以F(x)＋C也是f(x)的一个原函数．实际上，f(x)dx＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)．
2．定积分和曲边梯形面积的关系．
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为 S下，则：
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图1，则f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图2，则f(x)dx＝S下．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图3，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0．
想一想： (1＋cos x)dx＝________．
解析：因为(x＋sin x)′＝1＋cos x，
所以 (1＋cos x)dx＝(x＋sin x) ＝π＋2.
答案：π＋2
1．7 定积分的简单应用
1．7.1 定积分在几何中的应用
1．体会定积分在解决几何问题中的作用．
2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积．
1．平面图形面积的求法：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
2．常见的平面图形面积的计算：求由一条曲线y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a
图①中，f(x)>0，f(x)dx>0，因此面积S＝f(x)dx；
图②中， f(x)<0，f(x)dx<0，因此面积S＝＝－f(x)dx；
图③中，当a≤x≤c时，f(x)<0，当c≤x≤b时，f(x)>0，因此面积S＝|f(x)|dx＝－f(x)dx＋f(x)dx．
想一想：(1)选择积分变量时，一定是x吗？
(2)由曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围成的图形的面积为________．
(1)解析：不一定，可以根据题意，选择x或y，但要注意选择y为积分变量时，要把函数变形成用y表示x的形式．
1．7.2 定积分在物理中的应用
1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．
2．会利用定积分解决变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．
1．物体以速度v＝v(t)(v(t)≥0)做变速直线运动，在时段t∈[a，b]上行驶的路程s＝v(t)dt．
想一想：物体以速度v＝t2做变速直线运动，在时段t∈[0，2]上行驶的路程s＝．
2．一物体在恒力F的作用下做直线运动，物体沿着与F相同的方向移动了s，恒力F所做的功是W＝Fs．
想一想：一物体在恒力F＝30 N的作用下做直线运动，物体沿着与F(x)相同的方向移动了10 m，恒力F所做的功是300_J．
3．一物体在变力F(x)的作用下做直线运动，物体沿着与F(x)相同的方向由x＝a运动到x＝b时，变力F(x)所做的功是W＝F(x)dx．
想一想：用F(x)(单位：N)的力拉弹簧，将弹簧拉长l m，所耗费的功是W＝F(x)dx．
1．7.3 定积分(习题课)
利用定积分的基本思想、定积分的概念、微积分基本定理解决积分中的基本问题．
定积分的主要概念：
1．定积分的几何意义：定积分f(x)dx(f(x)>0)表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
2．定积分的性质：
3．求定积分有三种方法：定义法、几何意义、基本定理要根据题目特征灵活选用方法，如求dx，可选用几何意义求解，即求半圆y＝的面积．常用方法是几何意义和基本定理．
4．求定积分常用技巧：
①对被积函数，通常要先化简再求积分；
②求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；
③对含有绝对值符号的被积函数，要去绝对值符号才能积分．
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题
1．理解平均变化率的概念．
2．会求函数在某点附近的平均变化率．
平均变化率．
(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为．其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．
(2)作用：刻画函数在区间[x1，x2]上变化的快慢．
想一想：函数f(x)＝2x2－x在区间[1，3]上的自变量的增量Δx＝______，函数值的改变量为Δy＝______，平均变化率＝______．
解析：Δx＝3－1＝2，Δy＝2×32－3－(2×12－1)＝14，＝＝7
答案：2 14 7
1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx满足(D)
A．Δx＞0 B．Δx＜0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
2．函数y＝在[1，a]上的平均变化率为－，则a＝(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：Δx＝a－1，Δy＝－＝，所以＝＝＝－，所以a＝2.故选B.
3．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积的增加量ΔS等于(B)
A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2
C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
解析：ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2，故选B.
1. 一物体的运动方程是s＝2t2，则从2 s到3 s这段时间内路程的增量为(C)
A．18 B．8 C．10 D．12
2．物体的运动规律是s＝s(t)，物体在t至t＋Δt这段时间内的平均速度是(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：＝＝.故选C.
3．某质点A沿直线运动的方程为y＝－2x2＋1，则该质点从t＝1到t＝2时的平均速度为(C)
A．－4 B．－8 C．－6 D．6
解析：＝＝－6.
4．y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为__________．
解析：因为Δy＝－，
所以y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝＝－.
答案：－
5．一个做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是，则此物体在区间[0，0.001]内的平均变化率接近(B)
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
6．下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为(B)
A.一样 B．越来越大
C．越来越小 D．无法确定
7．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
解析：∵Δx＝1，∴2＋Δx＝3，Δy＝－＝－.∴kAB＝＝－.
答案：－
8．设C是成本，q是产量，且C(q)＝3q2＋10，若q＝q0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．
解析：ΔC＝C(q0＋10)－C(q0)＝3(q0＋10)2＋10－(3q＋10)＝3(q＋20q0＋100)－3q＝60q0＋300.
答案：60q0＋300
9．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈[1，2]时，平均增长率的大小．
解析：设f(x)＝2x在x∈[1，2]时的平均增长率为k1，则
k1＝＝2，
设g(x)＝3x在x∈[1，2]时的平均增长率为k2，则
k2＝＝6.
∵k110．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解析：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．
课件19张PPT。1．1 变化率与导数1．1.1 变化率问题研题型 学方法 题型一 求平均变化率或函数的增量 规律方法：(1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
(2)平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．题型二 物理中平均速度的计算 例2 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则：
(1)前3 s内球的平均速度为________；
(2)在时间[2，3]内球的平均速度为________． 解析：由题设知，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝[3(3＋Δt)2＋2(3＋Δt)＋6]－(3×32＋2×3＋6)＝3(Δt)2＋20Δt, 所以路程改变量为3(Δt)2＋20Δt.
答案：3(Δt)2＋20Δt析疑难 提能力对变化率的概念理解不透致误． 【易错剖析】平均变化率涉及三个概念：自变量的改变量，函数值的改变量和平均变化率，这三个概念既有区别，又有联系．求平均变化率时，容易错成求f(Δx)．1．1.2 导数的概念
1．了解瞬时变化率、导数概念的实际背景．
2．了解导数概念．
3．会利用导数的定义求函数的导数．
1．瞬时变化率：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0到x1时，函数值从f(x0)到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝，当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个稳定值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．
2．函数f(x)在x＝x0处的导数：函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝
想一想：(1)能否认为函数在x＝x0处的导数越大，其函数值的变化就越大？
(2)函数f(x)＝x在x＝0处的导数为_____________．
(1)解析：这种说法不正确，应该说导数的绝对值越大，函数值变化越快．
1．函数f(x)在x0处可导，则 (B)
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
解析：由导数的定义可知选B.
2．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是(D)
A．物体5秒内共走过42米
B．物体每5秒钟运动42米
C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒
D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米
解析：由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.
3．如果质点A的运动方程为y＝3t2，则它在t＝1时的瞬时速度为(D)
A．6t B．3
C．6＋Δt D．6
解析：t＝1的瞬时速度就是t＝1附近的平均速度当时间变化量Δt趋近于0的极限．
1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(D)
A．－3 B．3 C．6 D．－6
2．函数f(x)＝在x＝3处的导数是(C)
A．－ B．－ C．－ D．－
解析：Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝－＝，所以＝，于是f(x)在x＝3处的导数为f′(3)＝＝－.故选C.
3．物体自由落体的运动方程为：s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(C)
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度
B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
解析：由于s(t)＝gt2，所以由导数的定义可得：
即s′(1)＝ ＝9.8(m/s)．所以9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率．
4．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．
解析：∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，
∴s′(3)＝＝ (18＋3Δt)＝18.
答案：18
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(C)
A．1 B．－1 C．±1 D．3
解析：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3得3x＝3，∴x0＝±1.
6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(C)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：∵f′(x0)＝ ＝
＝ (a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.
7．设函数f(x)满足＝－1，则f′(1)＝________．
解析：∵ ＝ ＝f′(1)＝－1.
答案：－1
8．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝____________．
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.
答案：2Δx＋(Δx)2
9．求函数f(x)＝x3＋2x＋1在x0＝1处的导数f′(1)．
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋5Δx，
∴f′(1)＝＝＝5.
10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在关系s(t)＝10t＋5t2(s的单位是m，t的单位是s)．
(1)求t＝20，Δt＝0.1时的Δs与；
(2)求t＝20时的速度．
解析：(1)当t＝20，Δt＝0.1时，
Δs＝s(20＋Δt)－s(20)
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)．
∴＝＝210.5(m/s)．
(2)由导数的定义知，t＝20时的速度即为
v＝＝
＝
＝ (5Δt＋10＋10t)＝10＋10t
＝10＋10×20＝210(m/s)．
课件19张PPT。1．1.2 导数的概念研题型 学方法 题型一 求物体的瞬时速度 ?变式训练
1．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时，物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
分析：解答本题，可先求自运动开始到t s时的平均速度v及函数值的增量Δs、自变量的增量Δt，再利用公式求解即可．题型二 利用对数的定义求导数析疑难 提能力忽视导数定义中Δx与Δy的对应关系致误．1．1.3 导数的几何意义
1．在了解导数概念的实际背景下，理解导数的几何意义．
2．会求切线的斜率及切线方程．
1．导数的几何意义
割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝．
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率的无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f(x0)＝
想一想：(1)曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个？
(2)曲线y＝－2x2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是________．
(1)解析：不一定．曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点．
2．函数的导数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即
f′(x)＝y′＝
想一想：函数f(x)＝x2的导函数是___________________．
解析：f′(x)＝＝＝ (2x＋Δx)＝2x，即函数f(x)＝x2的导函数是f′(x)＝2x.
1．下列说法正确的是(C)
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
2．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为(B)
A．2 B．1 C. D．－1
解析：因为点(1，－1)在曲线y＝－上，所以曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率就等于y＝－在x＝1处的导数．所以k＝f′(1)＝＝＝＝1.故选B.
3．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(B)
A．(－2，－8) B．(1，1)，(－1，－1)
C．(2，8) D.
解析：∵y＝x3，
∴y′＝
＝
＝ ((Δx)2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2.
令3x2＝3，得x＝±1，
∴点P的坐标为(1，1)，(－1，－1)．故选B.
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(D)
A．4 B．－4 C．－2 D．2
解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
2．已知曲线f(x)＝－和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为(C)
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
解析：＝＝，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.
所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.
3．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(B)
A. B. C. D．1
解析：∵y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，∴x0＝.∵切点在直线y＝x上，∴y0＝.代入y＝ax2＋1得＝＋1，∴a＝，故选B.
4．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________．
解析：由题意知，＝ (aΔx＋2a)＝2a＝2，所以a＝1，又3＝a×12＋b，所以b＝2，即＝.
答案：
5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(B)
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
解析：由图象易知，点A、B处的切线斜率kA、kB满足kA6．函数y＝在x＝处的切线与两坐标轴所围成图形的面积是(A)
A．2 B．3 C. D.
解析：＝＝－.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4所以f′＝－4，切线方程是y－2＝－4，解得与坐标轴的交点是(0，4)和(1，0)，故所围成图形的面积为2.故选A.
7．如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________．
解析：∵点P(5，y)在直线y＝－x＋8上，∴f(5)＝3.
又由导数的几何意义可知f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
答案：2
8．若f′(x0)＝2，则 ＝_____________.
答案：－1
9．求曲线y＝f(x)＝x2＋3的切线，使之与直线y＝6x－5平行．
解析：设切点为(x0，y0)．
因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－x＝2Δx·x0＋(Δx)2，所以＝＝2x0＋Δx.
所以＝2x0，即f′(x0)＝2x0，令2x0＝6，得x0＝3，
即在点(3，12)处的切线平行于y＝6x－5，此时切线方程为y－12＝6(x－3)，即6x－y－6＝0.
10．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解析：(1)由得x2＋4＝x＋10，
即x2－x－6＝0，
所以x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或y＝13.
所以抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13)．
(2)因为y＝x2＋4，
所以y′＝＝ (2x＋Δx)＝2x.
所以y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6，
所以在点(－2，8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3，13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
课件24张PPT。1．1.3 导数的几何意义研题型 学方法 题型一 求定点处的切线方程题型二 真假命题的判断题型三 导数几何意义的综合应用析疑难 提能力混淆曲线“在某点”或“过某点”的切线致误． 1．2 导数的计算
1．2.1 基本初等函数的导数公式
1．掌握各基本初等函数的求导公式．
2．能根据导数定义，求几个常用函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数．
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．几个常用函数的导数.
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝_1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
想一想：函数y＝f(x)＝x的导数等于1的几何意义与物理意义分别是什么？
解析：几何意义：表示在函数y＝x的图象上每一点处的切线的斜率都为1；
物理意义：若y＝x表示路程关于时间的函数，则f′(x)＝1表示物体的瞬时速度始终为1，即物体做匀速直线运动．
2．基本初等函数的导数公式.
原函数
导函数
y＝c
y′＝0
y＝xn(n∈R)
y′＝nxn－1
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝cos x
y′＝－sin_x
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln_a
y＝ex
y′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1，x>0)
y′＝
y＝ln x
y′＝
想一想：(1)计算过程：′＝－sin ＝－，正确吗？
(2)已知f(x)＝x2，则f′(3)＝________．
(1) 解析：不正确，因为cos ＝，为常数，而常数的导数为0.
(2) 解析：因为f′(x)＝2x，所以f′(3)＝2×3＝6.
1．下列各式正确的是(D)
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x D．(3x)′＝3xln 3
2．已知函数f(x)＝，则函数图象在x＝0处的切线方程为(B)
A．xln 2－y－1＝0 B．xln 2＋y－1＝0
C．x＋yln 2－1＝0 D．x－yln 2－1＝0
解析：f′(x)＝′＝ln ＝－ln 2；所以切线的斜率为k＝f′(0)＝－ln 2，又切点坐标为(0，1)，则切线方程为y－1＝－xln 2，即xln 2＋y－1＝0.故选B.
3．下列结论中正确的个数为(D)
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：对于y＝ln 2，y′＝0，所以①错；对于y＝，y′＝(x－2)′＝－2x－3，所以y′|x＝3＝－＝－，所以②正确；对于y＝2x，y′＝(2x)′＝2xln 2，所以③正确；对于y＝log2x，y′＝，所以④正确．故选D.
1．下列函数满足f(x)＝f′(x)的是(C)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝x
C．f(x)＝0 D．f(x)＝1
2．已知f(x)＝xn且f′(－1)＝－4，则n等于(A)
A．4 B．－4 C．5 D．－5
解析：∵f′(x)＝nxn－1，∴f′(－1)＝n(－1)n－1＝－4.
若(－1)n－1＝－1，则n＝4，此时满足(－1)n－1＝－1；
若(－1)n－1＝1，则n＝－4，此时不满足(－1)n－1＝1.∴n＝4故选A.
3．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(C)
A．7米/秒 B．6米/秒
C．5米/秒 D．8米/秒
解析：v(t)＝s′(t)＝－1＋2t，所以v(3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.
4．在点P(1，1)处与曲线y＝x4相切的切线与直线4x－y＋1＝0的位置关系是________．
解析：因为y＝x4，所以y′＝4x3，所以切线的斜率k＝4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，与已知直线平行．
答案：平行
5．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(B)
A.
B.或
C.
D.
6．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(A)
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
解析：∵(sin x)′＝cos x，∴直线l的斜率kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴直线l的倾斜角的范围是∪.
7．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝_____________.
解析：因为f′(x)＝，所以f′(1)＝＝－1.
所以ln a＝－1，所以a＝.
答案：
8．曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
解析：∵y′＝3x2.∴切线的斜率为y′|x＝1＝3×12＝3，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，与x轴的交点为，与直线x＝2的交点为(2，4)．
∴S＝×4＝.
答案：
9．已知函数y＝asin x＋b的图象过点A(0，0)，B，试求过原点的函数的切线方程．
解析：因为y＝asin x＋b的图象过点A(0，0)，B，所以解得
所以y＝sin x.
又因为y′＝cos x，
所有y′|x＝0＝1，
所以切线方程为y＝x.
10. 已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解析：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，因为y′＝2x，则y′|x＝x0＝2x0＝1,
所以x0＝，所以切点坐标为，
所以切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
课件16张PPT。1．2.1 基本初等函数的导数公式1．2 导数的计算研题型 学方法 题型一 用导数公式求函数的导数题型二 导数公式的简单应用析疑难 提能力记错导数公式致错． 1．2.2 导数的运算法则
能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
1．若c为常数，则(cu) ′＝cu′.
(3x2)′＝6x．
2．法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．
(x3＋x2)′＝3x2＋2x．
3．法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
(xex)′＝ex＋xex．
4．法则3：
′＝[v(x)≠0]．
′＝．
想一想：已知h(x)＝2sin x，f(x)＝x2，g(x)＝.
则(1)h′(x)＝________；
(2)[f(x)＋g(x)]′＝________；
(3)[h(x)－2f(x)]′＝__________；
(4)[h(x)·f(x)]′＝________________；
(5)[f(x)÷h(x)]′________________．
答案：(1)h′(x)＝2cos x；
(2)[f(x)＋g(x)]′＝2x－；
(3)[h(x)－2f(x)]′＝(2sin x－2x2)′＝2cos x－4x；
(4)[h(x)·f(x)]′＝(2sin x·x2)′＝2(sin x)′·x2＋2sin x·(x2)′＝2x2cos x＋4xsin x；
(5)[f(x)÷h(x)]′＝′＝＝.
1．函数y＝exln x的导数是(C)
A. B．exln x
C．exln x＋ D.
2．(2013·江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝_____________.
解析：y′＝αxα－1，则k＝α，故切线方程y＝αx过点(1，2)解得α＝2.
答案：2
3．函数y＝x2－sin cos 的导数是____________．
解析：因为y＝x2－sin cos ＝x2－sin x，所以y′＝2x－cos x.
答案：y′＝2x－cos x
1．下列求导运算正确的是(B)
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x·log3e
D．(x2cos x)′＝－2xsin x
2. 对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则(A)
A．f(x)＝x4－2 B．f(x)＝x4＋2
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝－x4
3．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(C)
A．－9 B．－3 C．9 D．15
解析：∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，
令x＝0，得y＝9.故选C.
4．(2014·高考广东卷)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．
解析：因为y＝－5ex＋3，所以y′＝－5ex，所以，所求切线的斜率为k＝－5e0＝－5，故所求切线方程为y－(－2)＝－5x，即5x＋y＋2＝0.
答案：5x＋y＋2＝0
5．下列求导式正确的是(C)
①(2x3－cos x)′＝6x2＋sin x；②′＝；
③[(3＋x2)(2－x3)]′＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)；
④′＝；
⑤′＝；
⑥(tan x)′＝.
A．①②③⑤ B．②④⑤⑥
C．①②⑤⑥ D．①②③④⑤⑥
6．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(D)
A．20 mm B．400 mm
C. mm D. mm
解析：降雨强度是降雨量对时间的导数，因为f′(t)＝(t)′＝，所以f′(40)＝＝.
7．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．
解析：f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0.解得x＝－或x＝1，又x>0，∴x＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________．
解析：f′(x)＝f′cos x－sin x，令x＝，
则f′＝－2sin＝－，
所以f(x)＝－sin x＋cos x，
所以f＝－sin＋cos＝0.
答案：0
9．已知曲线y＝x3－3x，过点(0，16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．
解析：设切点为(x1，y1)，则切线的斜率
k＝y′x＝x1＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16.
又切点在切线上，
∴y1＝(3x－3)x1＋16.
∴x－3x1＝(3x－3)x1＋16，解得x1＝－2.
∴切线方程为y＝9x＋16，
即9x－y＋16＝0.
10．证明：过曲线y＝上的任何一点P(x0，y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数．
证明：由y＝，得y′＝－.
∴k＝f′(x0)＝－.∴过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋＝；
令y＝0，得x＝2x0.
∴过点P(x0，y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2x0×＝2是一个常数．
课件19张PPT。1．2.2 导数的运算法则研题型 学方法 题型一 利用导数公式和运算法则求导数题型二 求曲线的切线方程析疑难 提能力用错求导法则致误1．2.3 导数的计算综合问题
1．能求简单的复合函数[仅限于形如f(ax＋b)]的导数．
2．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决某些函数的综合问题．
复合函数的导数
1．复合函数的定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
想一想：y＝log5(x2－x)是由哪两个函数复合而成的？
解析：y＝log5(x2－x)是由函数y＝log5 u，u＝x2－x复合而成的．
2．复合函数的求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
想一想：函数y＝cos 2x在x＝时的导数为________．
解析：因为y′＝－2sin 2x，所以把x＝代入可得答案为－2.
1．函数y＝ln(2x＋1)的导数是(D)
A. B.
C. D.
解析：y′＝(ln(2x＋1))′＝·(2x＋1)′＝.故选D.
2．函数y＝sin 2x的导数为(C)
A．y′＝cos 2x B．y′＝2xsin 2x
C．y′＝2cos 2x D．y′＝2sin 2x
解析：令u＝2x，则y′＝(sin u)′·u′(x)＝2cos u＝2cos 2x.
3．函数y＝e2x＋1，则y′|x＝0＝(B)
A．e B．2e C．2e2 D．2e＋1
解析：设y＝eu，u＝2x＋1，则yx′＝yn′·ux′＝eu·2＝2e2x＋1，所以y′|x＝0＝2e1＝2e.故选B.
1．(2013·深圳高二检测)函数y＝cos(－x)的导数是(C)
A．cos x B．－cos x
C．－sin x D．sin x
解析：y′＝－sin(－x)(－x)′＝－sin x.
2．y＝loga(2x2－1)的导数是(A)
A. B.
C. D.
3．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(C)
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
解析：f(x)定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0.
解得－12.所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
4．曲线y＝sin 2x在点M(π，0)处的切线方程是________．
解析：y′＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x，∴k＝y′|x＝π＝2.又过点(π，0)，所以切线方程为y＝2(x－π)．
答案：y＝2(x－π)
5．若f(x)＝，则f(x)的导数是(A)
A.
B.
C.
D.
解析：f′(x)＝＝.
6．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是(B)
A．3x－15y＋4＝0 B．15x－3y－2＝0
C．15x－3y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：f′(x)＝－2x2＋4ax＋3，因为f′(x)的最大值为5，所以＝5，解得a＝1(舍去a＝－1)，所以f(x)＝－x3＋2x2＋3x，f(1)＝，f′(1)＝5，所以切线方程为y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.故选B.
7．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b＝________．
解析：曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，则4a＋＝－5，①
又y′＝2ax－，所以4a－＝－，②
由①②解得所以a＋b＝－3.
答案：－3
8．f(x)＝e2x－2x，则＝________．
解析：f′(x)＝(e2x)′－(2x)′＝2e2x－2＝2(e2x－1)．
∴＝＝2(ex＋1)．
答案：2(ex＋1)
9．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a＞0，若f′(1)＝0，求a的值．
解析：f′(x)＝[ln(ax＋1)]′＋′＝＋，
∴f′(1)＝－＝0，
∴a＝1.
因此实数a的值为1.
10．已知曲线y＝5.
(1)求该曲线与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0，5)且与曲线相切的切线方程．
解析：(1)设切点为(x0，y0)，由y＝5，
得y′＝，∴y′|x＝x0＝.
∵切线与直线y＝2x－4平行，∴＝2，
∴x0＝，∴y0＝.
故所求的切线方程为y－＝2，
即16x－8y＋25＝0.
(2)∵点P(0，5)不在曲线y＝5上，故设切点为M(m，n)，则切线的斜率为.
又∵切线的斜率，∴＝＝，
∴m－2＝0.解得m＝4或m＝0(舍去)．
∴切点M(4，10)，切线的斜率为.
故切线方程为y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0.
课件18张PPT。1．2.3 导数的计算综合问题研题型 学方法 题型一 求复合函数的导数题型二 已知切线方程求解析式题型三 复合函数与导数运算法则的综合应用析疑难 提能力弄不清复合函数的复合关系致错.1．3 导数在研究函数中的应用
1．3.1 函数的单调性与导数
1．掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．
1．一般地，可导函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)有如下关系：
导函数的符号
不等式的解集
函数的单调性
单调区间
f′(x)＞0
(a，b)
单调递增
递增区间
f′(x)＜0
(a，b)
单调递减
递减区间
f′(x)＝0
—
常函数
—
想一想：(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则f(x)在该区间内单调递增，反过来也成立吗？
解析：不一定成立．例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间内单调递增的充分不必要条件．
(2)利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？
解析：函数的定义域．函数的单调区间是函数定义域的子集．
2．函数单调性与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内，
(1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化得越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；
(2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化得越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(D)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.
2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(D)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0，2)
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的单调递减区间为(0，2)．故选D.
3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(A)
A．f(2)C．f(3) 解析：在(0，＋∞)内，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)
1．函数y＝4x2＋的单调增区间是(C)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C. D．(1，＋∞)
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(A)
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．f(x)≥0
3．下列区间中，使函数y＝x·cos x－sin x为增函数的区间是(B)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
解析：f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－x·sin x，当x∈(π，2π)时，f′(x)>0.故选B.
4．函数f(x)＝sin x－2x的递减区间是________．
解析：因为f′(x)＝cos x－2＜0，所以f(x)在R上为减函数．
答案：(－∞，＋∞)
5．(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(D)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：f′(x)＝k－，由已知得f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)恒成立，故k≥，因为x>1，所以0<<1，故k的取值范围是[1，＋∞)．
6．设f′(x)是函数f(x)的导函数， y＝f′(x) 的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(C)
解析：由f′(x)的图象可知，x<0或x>2时，f′(x)>0；07．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是________．
解析：由f′(x)＝a(3x2－1)＝3a＜0的解集为，知a＞0.
答案：(0，＋∞)
8．(2013·武汉调研)若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
9．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞0)．若f(x)的单调递减区间为(0，4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k的值．
解析：f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，
由题知x＝0或x＝4为方程f′(x)＝0的两根，
∴0＋4＝4＝.∴k＝1.
10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围．
解析：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
其中x1当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↗
∵a≥0，
∴x1<－1，x2≥0，f(x)在(x1，x2)上单调递减．
由此可得f(x)在[－1，1]上是单调函数的充要条件为x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥.
故所求a的取值范围为.
课件23张PPT。1．3.1 函数的单调性与导数1．3 导数在研究函数中的应用研题型 学方法 题型一 求函数的单调区间题型二 证明函数的单调性题型三 已知函数的单调性求参数的范围析疑难 提能力忽视导数为零的情况致错1．3.2 函数的极值与导数
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次．
1．极小值点与极小值的定义
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0．
(2)实质：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．
(3)极小值点是：点a，极小值是：f(a)．
2．极大值点与极大值的定义
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0．
(2)实质：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．
(3)极大值点是：点b，极大值是：f(b)．
3．极值的定义
(1)极大值与极小值统称极值．
(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．
4．函数在某点取得极值的必要条件
函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极值的必要条件是f′(x0)＝0．
想一想：(1)函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和极小值是唯一的吗？
(2)函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值为________．
(1)解析：不一定；不一定唯一．
(2)解析：因为f′(x)＝3x2－6x，解3x2－6x＝0得x＝0或x＝2，
所以f(x)的增区间为(2，＋∞)和(－∞，0)，f(x)的减区间为(0，2)，所以当x＝0时，函数取得极大值f(0)＝7.
答案：7
1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(D)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由f′(－3)＝0得a＝5.故选D.
2．设函数f(x)＝＋ln x，则(D)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(D)
A．有极小值 B．有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．无极值
解析：x∈R，y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，所以函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．故选D.
1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(D)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：f′(－3)＝0，a＝5.故选D.
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(D)
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
解析：x∈R，y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．故选D.
4. 若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝______．
解析：f′(x)＝.
∴f′(1)＝＝0得a＝3.
答案：3
5．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(B)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为f′(x)＝2xln 2＋3x2＞0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以有1个零点．
6．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(B)
A．(2，3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：y′＝6x2＋2ax＋36.依题意知6×22＋4a＋36＝0，∴a＝－15，∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，易知当x>3时，y′>0，∴函数的一个增区间为(3，＋∞)．
7．函数y＝x3－3x的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝1，极大值为2，极小值为－2．
8．曲线y＝x2＋4ln x上切线斜率的极小值为________．
解析：y′＝x＋(x>0)，令g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－.令g′(x)＝0，得x＝2.当x∈(0，2)时，g′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时g′(x)>0，∴当x＝2时，g(x)有极小值g(2)＝2＋＝4.
答案：4
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．
(1)求x0的值；
(2)求a，b，c的值．
解析：(1)由题图，x<1时，f′(x)>0，1＜x＜2时，f′(x)<0，
∴1是函数f(x)的极大值点，即x0＝1.
(2)由题知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，则
解得a＝2，b＝－9，c＝12.
10．(2014·高考福建卷)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2解析：(1)由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a.
又f′(0)＝1－a＝－1，∴a＝2，
∴f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.
由f′(x)＝0得x＝ln 2，
当x当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
∴当x＝ln 2时，f(x)有极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4.
f(x)无极大值．
(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x，
由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)－2ln 2＝2－ln 4>0，即g′(x)>0，
∴当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2课件21张PPT。1．3.2 函数的极值与导数研题型 学方法 题型一 求函数的极值题型二 已知函数的极值求参数题型三 函数极值的综合应用析疑难 提能力对用导数求极值的方法掌握不熟致误.1．3.3 函数的最大(小)值与导数
1．能够区分极值与最值两个不同的概念．
2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值．
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点处或区间端点处取得．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
想一想：如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
(1)观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
(2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
(1)解析：极大值为：f(x1)、f(x3)，极小值为：f(x2)，f(x4)．
(2)解析：存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
1．连续不断的函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(A)
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
解析：因为最大值等于最小值，所以该函数是常数函数，所以f′(x)＝0，故选A.
2．函数f(x)＝x＋2cos x在上的最大值点为(B)
A．x＝0 B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：令f′(x)＝1－2sin x＝0，则sin x＝，又x∈，∴x＝，又f(0)＝2，f＝＋，f＝，∴f最大，∴最大值点为x＝.
3．设函数f(x)＝x(x2－3)，则f(x)在区间[0，1]上的最小值为(C)
A．－1 B．0 C．－2 D．2
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈[0，1]时f′(x)≤0，即f(x)在区间[0，1]上是减函数，所以最小值为f(1)＝－2.
1．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(C)
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0), 则(A)
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是(B)
A．0≤a<1 B．0C．－1解析：∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，依题意f′(x)＝0在(0，1)内有解．∴04．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
答案：[－4，－2]
5．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(C)
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当－16．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是(A)
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
解析：f′(x)＝6x2－12x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
由f(－2)＝－40＋m，f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，则f(0)＝m＝3?f(－2)＝－40＋m＝－37.故选A.
7．函数f(x)＝(－2≤x≤1)的最大值是________，最小值是________．
解析：x2＋1在x∈[－2，1]上的最大值为5，最小值为1.
答案： 1
8．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．
解析：f′(x)＝(ex－e－x)，令f′(x)＝0，所以x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0，1)，f′(0)＝0为切线斜率，所以切线方程为y＝1.
答案：y＝1
9．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，求当|MN|达到最小时t的值．
解析：由题意，设|MN|＝F(t)＝t2－ln t(t＞0)，
令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－(舍去)．
F(t)在上单调递减，在上单调递增，
故t＝时，F(t)＝t2－ln t(t＞0)有极小值，也为最小值．
所以|MN|达到最小值时．t＝.
10．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
解析：f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0；
若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
由x∈[0，1]，则只考虑x＝的情况．
①0＜＜1，即0＜a＜1时，当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)
x
(0，)
(，1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
2a
↘
②≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，
当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；
当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
课件22张PPT。1．3.3 函数的最大(小)值与导数研题型 学方法 题型一 求函数在闭区间上的最值题型二 由函数的最值确定参数题型三 与函数最值相关的恒成立问题析疑难 提能力求最值时忽略极值与区间端点值的比较致误.1．3.4 函数与导数综合问题
1．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．
2．会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导数与函数的单调性：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)为常函数．
3．导数与函数的极值点及极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．
4．导数与函数的最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
1．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0．
2．函数y＝1＋3x－x3有(D)
A．极小值－1，极大值1
B．极小值1，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
3．设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(C)
解析：y′＝(x－a)(3x－a－2b)，由y′＝0，得x＝a或x＝，∴当x＝a时，y取极大值0；当x＝时，y取极小值且极小值为负．当x＜b时，y＜0；当x＞b时，y＞0，选C.
1．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(C)
A．－9 B．－3
C．9 D．15
解析：∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9.故选C.
2．方程2x3－6x2＋7＝0 在区间(0，2)内根的个数为(B)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：设f(x)＝2x3－6x2＋7，则
f′(x)＝6x2－12x，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，2)内单调递减．
又f(0)＝7，f(2)＝－1，
∴方程在(0，2)内只有1个根．
3．若f′(x)＝4x3＋2，则f(x)可能是(C)
A．f(x)＝4x4＋2 B．f(x)＝x4＋2
C．f(x)＝x4＋2x＋1 D．f(x)＝4x4＋2x
4．函数f(x)＝sin x＋cos x在x∈时，函数的最大值、最小值分别是________．
解析：f′(x)＝cos x－sin x，x∈，令f′(x)＝0，得x＝，又f＝，f＝－1，f＝1，即最大值为，最小值为－1.
答案：，－1
5．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜0)在R上为减函数，则(D)
A．b2－4ac≥0 B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac≤0
6．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0对任意正数a、b，若a＜b，则必有(C)
A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)
C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)
解析：设g(x)＝xf(x)，则由g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，知g(x)在(0，＋∞)上递减．
又0＜a＜b，f(x)≥0，∴bf(b)＜af(a)，∴af(b)＜bf(b)＜af(a)＜bf(a)．
当f(x)＝0时，f(b)＝f(a)＝0，∴af(b)≤bf(a)．故选C.
7．若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2ax＋4，f(x)在[0，2]上有最大值f(2)，则要求f(x)在[0，2]上单调递增，则2ax＋4≥0在[0，2]上恒成立．当a≥0时，2ax＋4≥0恒成立．当a＜0时，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1，所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
8．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积是________．
解析：∵y′＝－2e－2x，
∴y′|x＝0＝－2，切线方程为y＝－2x＋2.
∴所围成的三角形的三个顶点为(0，0)，(1，0)，.∴S＝×1×＝.
答案：
9．函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围为．
解析：f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝2x＋(1＋x)′＝2x＋＝(x＞－1)，
由题意知2x2＋2x＋a＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根x1，x2且x1＜x2，
令g(x)＝2x2＋2x＋a(x＞－1)，
故需，解之得0＜a＜.
10．设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．
解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.
故当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0等价于k＜＋x(x＞0)．①
令g(x)＝＋x，
则g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)＜0，h(2)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈(1，2)．
当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(a)．又由g′(a)＝0，可得ea＝a＋2，所以g(a)＝a＋1∈(2，3)．由于①式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2.
课件17张PPT。1．3.4 函数与导数综合问题研题型 学方法 题型一 利用导数求函数的单调性题型二 函数过定点的切线及综合问题题型三 利用导数证明不等式析疑难 提能力转化不等价致误.1．4 生活中的优化问题举例
1．4.1 导数应用(一)
1．会用导数解决函数中的综合问题．
2．会用导数解决物理中的实际问题．
1．导数在几何中的应用：如求切线问题，要正确求出相应函数的导数，看清题意，如果求过某点的函数的曲线的切线，首先要判断该点是否在曲线上，再确定切线条数，最后再应用导数求出切线．
2．导数在物理中的应用，导数的物理意义：s′(t0)是路程为s(t)的变速直线运动的瞬时速度v(t0)，利用导数的物理意义可求变速直线运动在某时刻的瞬时速度．
3．求函数解析式与导数相关的题，要有列方程意识，有几个参数待定就设法列出几个方程．
想一想：(1)过函数y＝＋图象上的点(1，2)作函数图象的切线，则切线方程为________．
(2)某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，则物体在4 s时的瞬时速度为________．
(1)解析：y′＝－，则切线斜率为，所以，切线方程为k＝y′|x＝1＝－，所以，切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
(2) 解析：s′(t)＝6t＋2，所以物体在4 s时的瞬时速度为ν＝s′(t)|t＝4＝26.
1．已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，则f′(2)＝(A)
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：依题意，f′(x)＝2x＋3f′(1)，则f′(1)＝－1，
所以f′(2)＝4－3＝1，故选A.
2．函数f(x)＝x3－ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝1时取得极值，则a＝(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知质点M按规律s＝at2＋3(单位：cm)做直线运动，且质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 cm/s，则a的值为________．
解析：s′＝2at，所以质点M在t＝2 s时的瞬时速度为ν＝s′|t＝2＝4a＝8，得a＝2.
答案：2
1．函数y＝cos 2x在点处的切线方程是(D)
A．4x＋2y＋π＝0 B．4x－2y＋π＝0
C．4x－2y－π＝0 D．4x＋2y－π＝0
解析：y′|x＝＝－2sin＝－2，用点斜式求得
y＝－2·，故选D.
2．下列函数在x＝0处没有切线的是(C)
A．y＝3x2＋cos x B．y＝xsin x
C．y＝＋2x D．y＝
解析：因为y＝＋2x在x＝0处没意义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．
3．(2013·高考课标全国卷)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是(D)
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－.
令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，
∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.
4．已知一物体的运动方程是s＝6t2－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为19.
解析：v(t)＝s′＝12t－5＝19，得t＝2.
答案：2
5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
解析：y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可判断函数y＝3x－x3在x＝1处取得极大值，因此极大值点的坐标为(1，2)，即b＝1，c＝2，又ad＝bc，∴ad＝2.
6．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(C)
A．?x0∈R, f (x0)＝ 0
B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C．若x0是y＝f(x)的极小值点，则y＝f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
解析：y＝f(x)的值域为(－∞， ＋∞), 所以选项A正确；函数f(x)的图象可以由y＝x3的图象经过平移和伸缩得到，因为f(x)＝x3是奇函数，所以f(x)的图象是中心对称图形．所以选项B正确；显然选项C不正确；选项D正确．故选C.
7．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为______________．
解析：设切点P的横坐标为x0，且＝2x0＋2＝tan α(α为点P处切线的倾斜角)，又因为α∈，所以0≤2x0＋2≤1，所以x0∈.
答案：
8．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时，有极值10，则a、b的值分别为________．
解析：f′(x)＝3x2－2ax－b.∵x＝1是函数f(x)的极值点，且在x＝1处的极值为10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0，f(1)＝1－a－b＋a2＝10.∴a2＋a－12＝0，∴a＝－4或a＝3.若a＝－4，则b＝11；若a＝3，则b＝－3.
答案：－4，11或3，－3
9．已知x∈R，奇函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上单调，求实数a，b，c应满足的条件．
解析：∵函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c是奇函数，
可得f(0)＝0，∴c＝0，a＝0.
∵f′(x)＝3x2－b，又∵函数f(x)在x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞]上单调，
∴f′(x)＝3x2－b≥0或f′(x)＝3x2－b≤0(舍去)恒成立，∴b≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，即b≤3.
∴a＝0，b≤3，c＝0.
10．(2014·重庆卷)已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解析：对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝；
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，则f′(x)＝－－＝，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0，5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数；
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
课件20张PPT。1．4 生活中的优化问题举例1．4.1 导数应用(一)研题型 学方法 题型一 导数的几何意义的应用题型二 导数在物理中的应用题型三 导数在函数中的综合应用析疑难 提能力分类讨论不清致误.1．4.2 导数应用(二)
1．会解决生活中的优化问题．
2．会利用导数解决某些实际问题．
1．优化问题．
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数求优化问题的步骤．
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值．
想一想：(1)求函数最值的常用方法有哪些？
(2)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________．
(1)解析：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利用导数．
(2)解析：设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm，
其体积V＝πx(202－x2)(0V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当00；
当所以当x＝时，V取最大值．
答案： cm
1．在抛物线y＝x2上依次取两点，它们的横坐标分别为x1＝1，x2＝3，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则点P的坐标为(2，4)．
2．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成和．
3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)的关系为y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年可使其营运年平均利润最大(C)
A．2 B．4 C．5 D．6
1．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是(D)
A．6 B．9 C．9π D．6π
解析：因为S′＝2πr，所以S′(3)＝2π×3＝6π.
2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为(B)
A．2 B．4
C．8 D．以上都不对
3．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)
A．8 B. C．－1 D．－8
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.故选C.
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.
∴当x＝10时，
L有最大值45.6.
答案：45.6万元
5．有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是(B)
A．20 B．18 C．16 D．14
解析：正方形边长为x，则
V＝(8－2x)·(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x).
V′＝4(3x2－13x＋10).
V′＝0得x＝1，根据实际情况，小盒容积最大值是存在的，
∴当x＝1时，容积V取得最大值18.
6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则高为(D)
A. B.
C. D.
7．有长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地面积最大值为__________．
解析：设矩形长为x m，则宽为(8－x)m，矩形面积
S＝x(8－x)(0＜x＜8)，
令S′＝8－2x＝0得x＝4.所以Smax＝16(m2)．
答案：16 m2
8．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．
解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．
当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0.
因此，当x＝0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．
答案：3.2%
9．如下图所示，用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为100, 为使所用材料最省，矩形底宽应为多少？
解析：设圆的半径为r，矩形的宽为b, 铁丝长为l，
则100＝＋2br，∴b＝.
∴l＝πr＋ 2r＋2b＝πr＋ 2r＋－.
∴l′＝π＋2－－.
令l′＝0，得π＋2－－＝0，∴100＝r2 .
解得r＝10.则底宽为20时用料最省．
10．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，
则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，
则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，
则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
∴g′(x)＝－x2＋4，
令g′(x)＝0，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
课件22张PPT。1．4.1 导数应用(二)研题型 学方法 题型一 利润最大问题题型二 面积、容积的最值问题题型三 费用最省问题析疑难 提能力忽视实际问题中函数的定义域致误.江苏省泗阳县桃州中学、新阳中学2016届九年级上学期第一次联考物理（word版）
课件19张PPT。1．5 定积分的概念1．5.1 曲边梯形的面积研题型 学方法 题型一 求曲边梯形面积的近似值题型二 求曲边梯形的面积析疑难 提能力对求曲边梯形面积的方法掌握不熟致误1．5.2 汽车行驶的路程
1．了解求汽车变速行驶的路程的方法．
2．了解“以不变代变”和逼近的思想，借助物体运动的实际背景体会定积分的基本思想．
1．如果物体按规律s＝s(t)运动，则物体在时刻t0的瞬时速度为s′(t0)．
想一想：如果物体按规律s＝2t2运动，则物体在时刻t＝2的瞬时速度为8．
2．汽车做匀速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为v＝v0，物体经过时间t所行驶的路程为s＝v0t．
想一想：物体以v＝20 km/h的速度做匀速直线运动，经过3小时物体经过的路程为60_km．
3．当物体做匀加速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为v＝v0＋kt，此时在0＜t＜a时段中物体经过的路程为s＝v0a＋＝a．
想一想：(1)物体做匀加速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为v＝2＋t，此时在0＜t＜6时段中物体经过的路程为______．
(2)求物体做变速直线运动的路程的具体步骤有哪些？
答案：(1)30
(2)①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
1．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(B)
A. B. C．1 D.
解析：曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝，即为这段时间内物体所走的路程．
2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(A)
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
解析：由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.
3．汽车以速度v做匀速直线运动是地，经过时间t所行驶的路程s＝vt，如果汽车做匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是___ ______________________．
解析：围成该图形的直线和曲线分别是t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2.
答案：t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(A)
解析：汽车加速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越多，曲线呈加速上升状态，曲线的切线的斜率也越来越大；汽车减速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越少，曲线呈减速下降状态，曲线的切线的斜率也越来越小．
点评：加速行驶时速度越来越大，曲线的切线的斜率也越来越大，减速行驶时速度越来越小，曲线的切线的斜率也越来越小．常用此法来判断物体运动的路程—时间曲线的变化情况．
2．如果物体按规律s＝tn运动，在时刻t＝1时的瞬时速度为3，则n为(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：s′(t)＝ntn－1，t＝1时，n＝3.故选C.
3．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速直线运动，在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是(C)
A．7 m B．6.8 m
C．6.5 m D．6.3 m
解析：将[1，2]n等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt＝，v(ti)＝v＝3＋2＝(i－1)＋5.
所以sn＝ ·
＝·
＝＋5＝＋5，
所以s＝sn＝＋5＝6.5(m)．
4．已知某物体运动的速度v＝2t－1，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程的近似值为________．
解析：由题意知，物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和，即S＝1＋3＋5＋…＋19＝×10＝100.
答案：100
5．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为(D)
A．80米 B．60米 C．40米 D．30米
解析：由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.令v(t)＝0，得t＝5，即t＝5秒时，汽车将停车．
将区间[0，5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．
6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：将区间[0，a]分为等长的n个小区间，第i个区间记为(i＝1，2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt＝，所以v(ti)＝()2，
sn＝·＝(1＋22＋…＋n2)＝＝，
于是s＝sn＝＝＝9，
得a＝3.故选C.
7．汽车作直线运动，前2小时的速度是v＝110 km/h，后3小时的速度是v＝80 km/h，则5小时内汽车行驶的路程为________．
解析：路程s＝2×110＋3×80＝460 (km)．
答案：460 km
8．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
解析：由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故S＝×(5＋8)×1＝6.5.
答案：6.5
9．若一辆汽车的速度—时间曲线如下图所示， 求汽车在这1 min行驶的路程．
解析：求汽车在这1 min行驶的路程，就是求梯形ABCO的面积．
s＝×30＝1 350 (m)．
10．若物体做变速运动，速度v关于时间t的关系式为v＝3t2，求物体在0＜t＜2时段中行驶的路程．
解析：仿照例2，按分割、近似代替、求和、取极限的解题步骤进行，解得行驶的路程为8.
课件21张PPT。1．5.2 汽车行驶的路程研题型 学方法 题型一 求变速运动的路程题型二 求变力所做的功析疑难 提能力对物理问题理解不透致误.1．5.3 定积分的概念
1．了解定积分的概念．
2．会用定义求一些简单的定积分．
1．定积分的概念： 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x02．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质．
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx (k为常数)；
(2) [f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3) f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx (其中a＜c＜b)．
想一想：直线x＝0, x＝π，y＝0与曲线y＝sin x所围成的图形的面积用积分表示为sin_xdx．
想一想：用定积分表示下图中阴影部分的面积．
答案：S＝f1(x)dx－f2(x)dx
想一想：定积分x3dx的取值的符号为正，x3dx的取值的符号为负，x3dx的取值的符号为0．
1．当a0，则f(x)dx的值(A)
A．一定是正的
B．一定是负的
C．当0D．正、负都有可能
解析：由定积分的几何意义知，当a0时，f(x)dx>0.
2．下列等式不成立的是(C)
A. [mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B. [f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C.f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D.sin xdx＝sin xdx＋sin xdx
解析：利用定积分的性质进行判断，C不成立．
例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝.
但x3dx≠xdx·x2dx.
3．计算：dx＝(C)
A．8π B．16π C．4π D．32π
解析：dx表示以原点为圆心，半径为4的圆的面积，∴dx＝π·42＝4π.
1．定积分f(x)dx的大小(A)
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]及ξi的取法无关
C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
2．下列结论中成立的个数是(C)
①x3dx＝· ②x3dx＝· ③x3dx＝·
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由定积分的定义知，②、③成立，故选C.
3．(2014·高考陕西卷)定积分 (2x＋ex)dx的值为(C)
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
解析： (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)f0＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e，故选C.
4. dx＝________．
解析：积分dx表示如下图所示的圆的面积的.
所以S＝π(2)2＝π.
答案：π
5．定积分 (－3)dx等(A)
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6， (－3)dx＝－3dx＝－6.故选A.
6．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是(B)
A．c＞a＞b
B．a＞b＞c
C．a＝b＞c
D．a＞c＞b
解析：根据定积分的几何意义，易知x3dx＜x2dx＜xdx，即a＞b＞c，故选B.
7．(2013·天津高二检测)曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为_____________________．
解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为
xdx－dx＝dx
答案：dx
8．设f(x)＝则f(x)dx＝__________．
解析：∵f(x)＝
∴f(x)dx＝(x＋1)dx＋(－2x＋4)dx.
又由定积分的几何意义得
(x＋1)dx＝(1＋2)×1＝，
(－2x＋4)dx＝×1×2＝1，
∴f(x)dx＝＋1＝.
答案：
9．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．
(1) x2dx＋x2dx；
(2) (1－x)dx＋ (x－1)dx.
解析：(1)原式＝x2dx，如下图(1)所示．
(2)(1－x)dx＋(x－1)dx＝|1－x|dx，如图(2)所示．
10．计算定积分：[－x]dx.
解析：[－x]dx＝dx－xdx，
令S1＝dx，
S2＝xdx.
S1、S2的几何意义如图(1)、(2)所示．
对S1＝dx，
令y＝≥0，
则(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)
由定积分几何意义知
S1＝dx＝π×12＝.
对于S2＝xdx，由其几何意义知S2＝×1×1＝，故 [－x]dx＝S1－S2＝－＝.
课件27张PPT。1．5.3 定积分的概念研题型 学方法 题型一 用定积分的定义求定积分题型二 用定积分的几何意义求定积分题型三 利用定积分性质求定积分析疑难 提能力对定积分的几何意义理解有误导致错误.课件22张PPT。1．6 微积分基本定理研题型 学方法 题型一 利用微积分基本定理求定积分规律方法：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数．题型二 求分段函数的定积分规律方法：分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．题型三 利用定积分求参数规律方法：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．析疑难 提能力求原函数时忽略原函数是否有意义致误.【易错剖析】积分区间为[－2，－1]，原函数F(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，因此无法求解．此类问题的解决办法：当积分区间使原函数没有意义时，可先根据定积分的几何意义变形，再求定积分，或改变原函数的表达式求解．课件16张PPT。1．7.1 定积分在几何中的应用研题型 学方法 题型一 不分割图形求面积规律方法：求不分割图形面积的一般步骤：
(1)在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；(2)求出直线与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限；(3)用定积分表示图形的面积；(4)求定积分进而得到图形的面积．题型二 分割图形求面积规律方法：求两条曲线围成的平面图形的面积的步骤是：①画图，确定图形范围；②求交点的横坐标，确定积分上下限；③写出积分表达式；④用微积分基本定理计算定积分．析疑难 提能力对图形分割不合理致误【易错剖析】复杂图形的面积的求解，合理分割图形是关键，方法一中的分割是解本题较好的一种方法．若不能抓住图形的特征，进行合理分割，则会出现错解．课件16张PPT。1．7.2 定积分在物理中的应用研题型 学方法 题型一 求变速直线运动的路程，位移规律方法：1.路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
2．务必把握位移和路程的区别，切勿因乱套公式，导致错误．题型二 变力做功问题规律方法：(1)物体在变力F(x)的作用下做直线运动，沿着与F(x)相同的方向由x＝a运动到x＝b时，变力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
(2)用定积分解决物理上的基本问题时，要：①准确地写出积分式；②准确地进行计算．弹力做功问题析疑难 提能力忽视位移有正，负而致误【易错剖析】解答第(2)题时，若忽视了路程与位移的区别，误以为路程就是位移，则会导致解答失误．章末小结
求曲线的切线的方法
求曲线的切线分两种情况
(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k＝y′|x＝x0.
(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．
已知函数y＝x3－x，求函数图象
(1)在点(1，0)处的切线方程；
(2)过点(1，0)的切线方程．
解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，
所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.
(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x－x0)，
则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x－1，
切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，
由于切线经过点(1，0)，
所以0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，
整理，得2x－3x＋1＝0，即2(x－1)－3(x－1)＝0，
所以2(x0－1)(x＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0，
所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－.
所以P(1，0)或P，
所以切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.
求函数f(x)的单调区间的方法步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)计算函数f(x)的导数f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)<0，得到函数f(x)的递减区间．
提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．
(2014·高考大纲卷)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．
解析：(1)因为函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x，
所以f′(x)＝3ax2＋6x＋3.
令f′(x)＝0，即3ax2＋6x＋3＝0，则Δ＝36(1－a)。
若a＞1，Δ≤0时，f′(x)≥0，因此f(x)在R上是增函数。
当a≤1，Δ＞0时，f′(x)＝0方程有两个根，x1＝，x2＝.
当0＜a＜1，x∈或时，f′(x)＞0，
故函数f(x)在和都是增函数；
在是减函数．
当a＜0，x∈或时，f′(x)＜0，
故函数f(x)在和都是减增函数；
在是增函数．
(2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．
当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数，
当且仅当f′(x)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0，
综上，a的取值范围∪(0，＋∞)．
(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b) 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
(3)运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查 f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
(2014·福建安溪一中、德化一中摸底考)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋mx .
(1)当 m＝－3时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x) 在定义域内为增函数，求实数m的取值范围．
解析：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2x＋m，
m＝－3时，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由上表可知，f(x)极大值＝f＝－ln 2－，f(x)极小值＝f(1)＝－2.
(2)函数f(x)在定义域内为增函数，
所以x＞0时，f′(x)＝＋2x＋m≥0恒成立，可得m≥－(x＞0)恒成立．
因为x＞0，所以＋2x≥2(当且仅当 x＝时取等号)，所以 －＝－2，得m≥－2.
∴m的取值范围是[－2，＋∞)
1．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
2．利用导数求函数的最值时的两个注意点
(1)当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得．
(2)当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0解析：(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1，0)点，
即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0，2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
?
－2
?
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
①分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，并根据实际意义确定定义域；
②求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；
③比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；
④还原到实际问题中作答．
(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
货车欲以x km/h的速度行驶，去130 km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是50≤x≤100，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是升/小时．司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车往返的总费用最低是多少？
解析：单程行驶：汽车运行的时间为小时，耗油量为·升，耗油费用为2··元，司机的工资为14×元，故这次行车的单程费用为y＝2··＋14×＝130·.
所以y′＝130·.
令y＝0得50≤x≤100内的唯一解为
x＝18≈57(km/h)
所以y＝130×≈82.2(元)
所以最经济的车速是57 km/h，这次行车往返的总费用最低约为2×82.2＝164.4(元)．
(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．
(2)利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．
(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．
(1)若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx＝________________；
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a(a>0)与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积为，则a＝________________．
解析：(1)因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)，所以f′(1)＝3＋2f′(1)，所以f′(1)＝－3，所以f(x)dx＝0＝－4.
(2)由可得A(－，a)，B(，a)，
S＝(a－x2)dx＝a)－
＝2＝＝，解得a＝2.
答案：(1)－4 (2)2
一、选择题
1．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式可以为(C)
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4＋1
C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝－x4
解析：由f′(x)＝4x3，可设f(x)＝x4＋c(c为常数)，由f(1)＝－1得－1＝1＋c，∴c＝－2.故选C.
2．设函数y＝f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)>0的(A)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：y＝f(x)在(a，b)上f′(x)>0?y＝f(x)在(a，b)上是增函数，反之，y＝f(x)在(a，b)上是增函数?f′(x)≥0?f′(x)>0.
3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(C)
A．y＝sin2x B．y＝x3－x
C．y＝xex D．y＝－x＋ln(1＋x)
解析：对于C，有y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0.
4．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为(B)
A．30° B．45°
C．135° D．150°
解析：∵y′＝x2，k＝tan α＝y′|x＝－1＝(－1)2＝1，∴α＝45°.故选B.
5．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为(A)
A. B. C. D．1
解析：y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，点(0，2)处的切线方程为y－2＝－2x.
令y＝0得x＝1.由得∴S＝××1＝.
6．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(D)
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
解析：对于A.?x∈R，f(x)≤f(x0)错误．x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点．
对于B，－x0是f(－x)的极小值点．错误．f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图象，故－x0应是f(－x)的极大值点．
对于C，－x0是－f(x)的极小值点．错误．－f(x)相当于f(x)相当于关于x轴的对称图象，故 x0应是－f(x)的极小值点．跟－x0没有关系．
对于D，－x0是－f(－x)的极小值点．正确．－f(－x)相当于f(x)先关于y轴的对称图象，再关于x轴的对称图象．故D正确．
7．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(D)
8．已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则a的最大值为(A)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：设 f(x)＝＋ln x，
则f′(x)＝＋＝.
当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在上单调递减；
当x∈(1，2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝0，所以a≤0，即a的最大值为0.
二、填空题
9．计算(2x－1)dx＝________________________________________________________________________.
解析：由导数的运算法则知当F(x)＝x2－x时，F′(x)＝2x－1，由定积分的定义得(2x－1)dx＝F(3)－F(0)＝9－3＝6.
答案：6
10.
答案：－1
11．(2015·江门一模)已知定义在区间(－π，0)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，令f′(x)<0，得－答案：
12．一物体以初速度v＝9.8t＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4s内经过的路程是________．
解析： (9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4
＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.
答案：261.2米
三、解答题
13．已知函数f1(x)＝e|x－a|，f2(x)＝ebx.
(1)若f(x)＝f1(x)＋f2(x)－bf2(－x)，是否存在a，b∈R，使y＝f(x) 为偶函数？如果存在，请举例并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．
(2)若a＝2，b＝1.求函数g(x)＝f1(x)＋f2(x)在R上的单调区间．
解析：(1)存在a＝0，b＝－1使y＝f(x)为偶函数，证明如下：此时：f(x)＝e|x|＋e－x＋ex，x∈R，
所以f(－x)＝e|－x|＋ex＋e－x＝f(x)，
所以y＝f(x)为偶函数．(注：a＝0，b＝0也可以)
(2)因为g(x)＝e|x－2|＋ex＝
①当x≥2时，g(x)＝ex－2＋ex，
所以g′(x)＝ex－2＋ex>0，
所以y＝g(x)在[ 2，＋∞)上为增函数．
②当x<2时，g(x)＝e2－x＋ex，
则g′(x)＝－e2－x＋ex，令g′(x)＝0得到x＝1，
(i)当x<1时，g′(x)<0，
所以y＝g(x)在(－∞，1)上为减函数．
(ii)当1≤x<2时，g′(x)>0，所以y＝g(x)在(1，2)上为增函数．
综上所述：y＝g(x)的增区间为[ 1，＋∞)，减区间为 (－∞，1)．
14．用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．
解析：设容器底面宽为x m，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.
由解得0设容器的容积为y m3，则有
y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解得x＝1，或x＝－(舍去)．
∵在定义域(0，1.6)内只有一个点x＝1使y′＝0，且x＝1是极大值点，
∴当x＝1时，y取得最大值为1.8.
此时容器的高为3.2－2＝1.2 m.
因此，容器高为1.2 m时容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.
15．(2015·惠州第三次调研改编)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|.
解析：(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，
又因为－2≤x≤－1，知1－x>0
所以a≥在x∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，
所以a≥.
(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，
所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.
①当a<－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；
②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，
所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；
③当a>1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．
16．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解析：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，所以f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－16a＝(6－8a)·(x－1)，由点(0，6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0，2)和(3，＋∞)上为增函数；当2章末过关检测卷(一)
(本部分在学生用书单独成册)
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(B)
A．－1 B．－2 C．2 D．0
分析：本题考查函数与导数．
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，则此函数为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2. 一辆汽车按规律s＝at2＋1作直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝(D)
A. B. C．2 D．3
解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a×2＝12，得a＝3.故选D.
3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(D)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为y′＝a－，所以a－1＝2，解得a＝3.故选D.
4．(2015·郑州二模改编)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，若g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(B)
A．－1 B．0
C．2 D．3
解析：由题意直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图像可知其切点为(3，1)代入直线方程得k＝－，所以f′(x)＝－，g′(x)＝(xf(x))′＝x′f(x)＋xf′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×(－)＝0.故选B.
5．(2014·泰安高二检测)函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(C)
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
解析：f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值点，选C.
6．(2015·四川南充市第三次适应性考试)若函数f(x)＝2xf′(1)＋x2，则＝(D)
A．－ B. C．－ D．－
解析：因为f(x)＝2xf′(1)＋x2，所以f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝－2，所以f(x)＝－4x＋x2，则f(－1)＝5，而f′(x)＝－4＋2x，所以f′(－1)＝－6，即＝－.故选D.
7．(2014·山东卷)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(D)
A．2 B．4 C．2 D．4
解析：由已知得，S＝(4x－x3)dx＝＝4，故选D.
8．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如下图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(A)
A.∪[2，3] B.∪
C.∪[1，2] D.∪∪
解析：依题意，当f′(x)≤0时，函数y＝f(x)是减函数，由图象知，x∈∪[2，3]，选择A.
9．在函数y＝x3－8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是(D)
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：由于y′＝(x3－8x)′＝3x2－8，由题意，得0<3x2－8<1，10．(2015·深圳第一次调研)函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是(D)
A．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，1]
C．(0，1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析：f′(x)＝1－，依题意，f′(x)>0在(－∞，1)上恒成立，即1－>0在(－∞，－1)上恒成立．当a<0时，1－>0在(－∞，－1)上恒成立，排除选项A、C；取a＝2，因为x<－1，所以x2>1，所以0<<1，所以0<<，所以1－>0在(－∞，－1)上成立．所以a＝2符合条件．故选D.
11．(2015·江苏启东中学调研测试改编)函数f(x)＝x2ex在区间(a，a＋1)上存在极值点，则实数a的取值范围是(B)
A．(－3，－1)∪(0，2) B．(－3，－2)∪(－1，0)
C．(－2，－1)∪(0，3) D．(－3，－2)∪(0，1)
解析：函数f(x)＝x2ex的导数为y′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，令y′＝0，则x＝0或x＝－2，当x∈(－2，0)时f(x)单调递减，当x∈(－∞，－2)和x∈(0，＋∞)时f(x)单调递增，所以0和2是函数的极值点，因为函数f(x)＝x2ex在区间(a，a＋1)上存在极值点，所以a<－212．(2015·新课标Ⅱ卷)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(A)
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)单调递减，且g(－1)＝g(1)＝0.当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0，综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)
13. (ex－2x)dx＝________．
解析： (ex－2x)dx＝(ex－x2)＝e－2.
答案：e－2
14．(2014·广东省百所高中11月联考)曲线y＝(x>0)在点(1，2)处的切线方程为____________．
解析：y′＝＝＝，所以过点(1，2)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝－3，所以切线方程为y－2＝－3(x－1)，即3x－y－5＝0.
答案：3x－y－5＝0
15．(2014·南京高二检测)直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，－2答案：(－2，2)
16．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a________．
解析：
所以＝a＝，所以a＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分11分)设函数f(x)＝，求函数f(x)的单调区间．
解析：f′(x)＝－ex＋ex＝ex，由f′(x)＝0，得x＝1.
因为当x＜0时，f′(x)＜0；当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．
18．(本小题满分11分)曲线f(x)＝x3在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在点A处的切线方程．
解析：可由导数定义求得f′(x)＝3x2.
令3x2＝3，则x＝±1.
当x＝1时，切点为(1，1)，所以该曲线在(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；
当x＝－1时，切点坐标为(－1，－1)，所以该曲线在(－1，－1)处的切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
19．(本小题满分12分)一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10 km/h的燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问轮船以何种速度航行时，能使行使路程的费用总和最小？
解析：设船的行使速度为x(x>0)km/h时，燃料费用为Q元/时，则Q＝kx3.
则6＝k·103，所以k＝，从而Q＝.
设总费用为y元，行驶路程为a，则
y＝(＋96)·＝(＋)a，
所以y′＝(－)a，
令y′＝0，得＝0，
得x＝20，且x∈(0，20)时，y′<0；
x∈(20，＋∞)时，y′>0，所以当x＝20时，y最小．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两根分别为1，4.
(1)当a＝3，且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解析：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得
f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根分别为1，4，
∴(*)
(1)当a＝3时，由(*)得
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，
解得a∈[1，9]，
即a的取值范围是[1，9]．
21．(本小题满分12分)(2015·深圳第一次调研改编)已知a，b∈R，函数f(x)＝(ax＋2)ln x，g(x)＝bx2＋4x－5，且曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处有相同的切线．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x≠1时，曲线y＝f(x)恒在曲线y＝g(x)的下方．
解析：(1)因为f′(x)＝a(ln x＋1)＋，g′(x)＝2bx＋4，
所以f′(1)＝a＋2，g′(1)＝2b＋4，
又因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在点(1，0)处有相同的切线，
所以f(1)＝0＝g(1)＝b＋4－5，f′(1)＝g′(1)，
即b＝1，a＋2＝2＋4，
解得a＝4，b＝1.
(2)要使得当x≠1时，曲线y＝f(x)恒在曲线y＝g(x)的下方，
即需证f(x)不妨设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)＝(4x＋2)ln x－x2－4x＋5，
求导得F′(x)＝4ln x＋－2x－4＝4ln x＋－2x，
令G(x)＝F′(x)，
所以G′(x)＝－－2＝≤0恒成立，
所以F′(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又因为F′(1)＝0，
所以当x∈(0，1)，F′(x)>0；当x∈(1，＋∞)，F′(x)<0，
所以F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
即当x＝1时，F(x)取得最大值F(1)＝0，
当x≠1时，F(x)所以当x≠1时，曲线y＝f(x)恒在曲线y＝g(x)的下方．
22．(本小题满分12分)(2015·高考北京卷改编)已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．
解析：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)．
整理得4x－6x＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
g(x)与g′(x)的情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
t＋3
?
t＋1
?
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)>0且g(1)<0，即－30，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，－∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
