3．1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
1．复数的概念及代数表示
(1)复数的定义：
把集合C＝{a＋bi|a，b∈R|}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
(2)复数的代数形式：
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
(3)复数集
全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋bi|a，b∈R}．
想一想：为了解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题？
解析：设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，那么方程x2＋1＝0就有解x＝i了．
2．两个复数相等的充要条件
(1)在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
想一想：由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
解析：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
3．复数的分类：
(1)复数a＋bi
(a，b∈R)
(2)集合表示：
想一想：(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？
(1)解析：当b＝0时，z＝a为实数．
(2)解析：当a＝0，b≠0时，z＝bi为纯虚数．
1．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的(A)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0.
∴a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的充分不必要条件．
2．下列说法正确的是(A)
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．若a，b∈R且a＞b，则ai＞bi
C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0
D．复数a＋bi不是实数
解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故选A.
3．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(D)
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝?
1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是(D)
A．A∪B＝C B．?UA＝B
C．A∩?UB＝? D．B∪?UB＝C
2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(A)
A．2－2i B．2＋i
C．－＋i D.＋i
解析：2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以新复数为2－2i.
3．下列说法正确的是(A)
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．若a，b∈R且a＞b，则ai＞bi
C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0
D．复数a＋bi不是实数
解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.
4．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，∴m2－m＝0，∴m＝0或1.
答案：0或1
5．如果关于x的方程x2－2x－a＝0的一个根是i，那么复数a(D)
A．一定是实数
B．一定是纯虚数
C．可能是实数，也可能是虚数
D．一定是虚数，但不是纯虚数
解析：因为i是方程x2－2x－a＝0的根，故代入整理得：a＝x2－2x＝i2－2i＝－1－2i，故选D.
6．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为(B)
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：由M∩N＝{3}得3∈M，故(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，因此得解得
所以m的值为－1，故选B.
7．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的取值范围是________．
解析：∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
∴∴x＝－2.
答案：－2
8．复数z＝cos＋sini，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________．
解析：z＝cos＋sini＝－sin θ＋icos θ.当z是实数时，cos θ＝0.∵θ∈，∴θ＝±；当z为纯虚数时，又θ∈，∴θ＝0.
答案：± 0
9．已知关于实数x，y的方程组
有实数解，求实数a，b的值．
解析：由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i得
解得x＝，y＝4.
由2x＋ay－(4x－y＋b)i＝9－8i，得 即
解得a＝1，b＝2.
10．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
解析：(1)由题意得即
即故当a＝6时，z为实数．
(2)依题意有所以且a≠6，
所以a≠±1且a≠6.故当a∈R且a≠±1，6时，z为虚数．
(3)依题意有
所以
所以不存在实数a使z为纯虚数．
