2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．
2．用归纳和类比进行推理，作出猜想．
1．归纳推理
由于某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．
2．类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
3．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．
想一想：(1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
(2)根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．1 111 110
B．1 111 111
C．1 111 112
D．1 111 113
(3)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．
(1)解析：归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然性的，而是偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一定可靠，因此也不一定正确．
(2)解析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111.故选B.
答案：B
(3)分析：从方法的类比入手．
解析：原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3××ar?r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr?r＝h，即正四面体的内切球的半径是高的.
答案：正四面体的内切球半径是高的
1．已知a1＝3，a2＝6且an＋2＝an＋1－an，则a33为(A)
A．3 B．－3 C．6 D．－6
解析：a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}以6个项为周期循环出现，a33＝a3＝3.
2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是(C)
A．归纳推理 B．演绎推理
C．类比推理 D．数学证明
解析：由加法类比乘法．
3．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝．
1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(D)
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等
A．① B．③
C．①② D．①②③
2．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为(D)
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(D)
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，根据这一规律可知，f(x)为偶函数，其导函数g(x)必为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
4．已知x∈(0，＋∞)，观察下列几式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，……，类比有 x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝_______________．
解析：根据已知等式类比可得a＝nn.
答案： nn
5．已知对正数a和b，有下列命题：
①若a＋b＝1，则≤；
②若a＋b＝3，则≤；
③若a＋b＝6，则≤3.
根据以上三个命题提供的规律猜想：若a＋b＝9，则≤(B)
A．2 B. C．4 D．5
6．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为(A)
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
7．数列2，5，11，20，x，47，…中的x 等于(B)
A．28 B．32 C．33 D．27
解析：5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9推出x－20＝12，x＝32.故选B.
8．(2014·高考陕西卷)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是________．
解析：①三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝5＋6－9＝2；
②五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得F＋V－E＝6＋6－10＝2；
③立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝6＋8－12＝2；
所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是：F＋V－E＝2，故答案为F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
9．点P是三角形ABC内切圆的圆心，半径是r，三角形ABC的面积是(AB＋BC＋CA)r.类比写出三棱锥S-ABC的一个相似的结论．
解析：假设点P是三棱锥SABC内切球的球心，半径是R，则三棱锥SABC体积是
(S△SAB＋S△SBC＋S△SCA＋S△ABC)R.
10．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n条直线最多有多少个交点．
解析：设直线条数为n，最多交点个数为f(n)，则
f(2)＝1，
f(3)＝3＝1＋2，
f(4)＝6＝1＋2＋3，
f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，
f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5，
……
由此可以归纳出，n条直线交点个数最多为
f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
2．1.2 演绎推理
1．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
2．了解合情推理和演绎推理之间的联系和区别．
3．重点是演绎推理的含义，用“三段论”进行简单的推理；难点是用“三段论”证明问题．
1．演绎推理
根据一般性的真命题或逻辑规则，导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理．即从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理形式．
它的特征是：当前提为真时，结论必然为真．
2．三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式
(1)三段论的结构：①大前提—已知的一般原理；②小前提—所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)“三段论”的表示：①大前提—M是P；②小前提—S是M；③结论—S是P．
(3)三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元素都具有性质P，②S是M的一个子集；③那么S中所有元素也都具有性质P.
想一想：(1)“三段论”就是演绎推理吗？
(2)在演绎推理中，如果大前提正确，那么结论一定正确吗？为什么？
(3)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理中，“三段论”中的________是错误的．
(1)解析：不是．三段论是演绎推理的一般模式．
(2)解析：不一定正确．只有大前提和小前提及推理形式都正确，其结论才是正确的．
(3)解析：小前提错误，因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．
答案：小前提
1．演绎推理中的“一般性命题”包括(A)
①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解析：演绎推理中的“一般性命题”包括“已有的事实”、“定义、定理、公理等”．
2．下列说法不正确的个数为(C)
①演绎推理是一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定正确；③合情推理是演绎推理的前提，演绎推理是合情推理的可靠性．
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：演绎推理的结论正确与否与前提、推理形式有关，不一定正确，故②不正确．
3．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理(C)
A．小前提错 B．结论错
C．正确 D．大前提错
解析：9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．故选C.
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2－1)是正弦函数，所以f(x)＝sin(x2－1)是奇函数，以上推理过程中(C)
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：大前提正确，小前提错误，因为f(x)＝sin(x2－1)不是正弦函数，所以结论也是错误的．故选C.
2．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为(C)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．
3．(2013·温州高二检测)下面几种推理中是演绎推理的是(A)
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0，1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
解析：B为归纳推理，C、D为类比推理，A为演绎推理，故选A.
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系是________．
解析：当0
∴函数f(x)＝为减函数，故由f(m)>f(n)，得m答案：m
5．设a＝(x，4)，b＝(3，2)，若a∥b，则x的值是(D)
A．－6 B. C．－ D．6
解析：∵a∥b，∴＝，∴x＝6.
6. 如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(D)
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α，β所成的角相等
解析：只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.
7．由“ (a2＋1)x＞3，得x＞”的推理过程中，其大前提是________．
解析：因为a2＋1≥1＞0，所以由 (a2＋1)x＞3，得x＞.其前提依据为不等式的乘法法则：
不等式两边同除以一个正数，不等号方向不改变．
答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不改变
8．关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－11时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中正确结论的序号是________．
解析：易知f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg ＝lg.∵g(x)＝x＋在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg 2，∴③正确，④也正确，⑤不正确．
答案：①③④
9．通过计算可得下列等式：
22－12＝2×1＋1，
32－22＝2×2＋1，
42－32＝2×3＋1，
…
(n＋1)2－n2＝2×n＋1.
将以上各式分别相加，得：
(n＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
即：1＋2＋3＋…＋n＝.
类比上述求法：请你用(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1求出12＋22＋32＋…＋n2的值．
解析：23－13＝3×12＋3×1＋1，
33－23＝3×22＋3×2＋1，
43－33＝3×32＋3×3＋1，
…
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各式分别相加得：(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋32＋…＋n2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n)＋n.
所以12＋22＋32＋…＋n2＝[(n＋1)3－1－n－]＝n(n＋1)(2n＋1)．
10．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
解析：∵f(x)＝＋是R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即＋＝＋，
∴(e－x－ex)＋a＝0.
∴＝0对一切x∈R恒成立，
∴a－＝0，即a2＝1.
又a>0，
∴a＝1.
2．2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法与分析法
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
1．分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
2．综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后得到待证结论．
3．分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实．
想一想：(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
(2)分析法就是从结论推向已知，这句话对吗？
(3)已知x∈R，a＝x2＋1，b＝x，则a，b的大小关系是________．
(4)要证明A>B，若用作差比较法，只要证明________．
(1)解析：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．
(2)解析：不对．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．
(3)解析：因为a－b＝x2－x＋1＝＋≥>0，所以a>b.
答案：a>b
(4)解析：要证A>B，只要证A－B>0.
答案：A－B>0
1．用分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的(A)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既非充分条件又非必要条件
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是(B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
3．要证－<成立，a，b应满足的条件是(D)
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a解析：要证－<，只需证(－)3<()3，即a－b－3＋3即证<，
只需证ab2即ab(b－a)<0.
只需ab>0且b－a<0或ab<0，b－a>0.
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有(C)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(C)
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证明＜a，
只需证b2－ac＜3a2，
只需证(a＋c)2－ac＜3a2，
只需证－2a2＋ac＋c2＜0，
即证2a2－ac－c2＞0，
即证(a－c)(2a＋c)＞0，
即证(a－c)(a－b)＞0.
3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是(D)
A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l?α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m?α
解析：A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C，这两个平面有可能平行或重合；D，是成立的，故选D.
4．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知f(1)＜0，即12＋(k－3)×1＋k2＜0，
解得－2＜k＜1.
答案：(－2，1)
5．(2013·重庆卷)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：因为a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.
6．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，
∴①②④正确．故选C.
7．命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋ cos β＋cos γ＝0”，则cos(α－β)＝________．
解析：条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋ cos β＝－cos γ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－.
答案：－
8．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P、Q的大小关系是________________________________________________________________________．
解析：用分析法，要证P答案：P9．已知a、b、c∈R＋，求证：≥.
证明：要证≥，
只需证：≥，
只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以≥成立．
10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明：由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac.
又a，b，c也成等差数列，∴b＝，代入上式得2＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C.
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形．
2．2.2 反 证 法
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
1．定义：一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．
想一想：(1)反证法的实质是什么？
(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？
(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A)
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．
2．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是(D)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．
3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)
A．a，b，c均不大于0
B．a，b，c中至少有一个大于0
C．a，b，c中至多有一个大于0
D．a，b，c中至少有一个不大于0
解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.
1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)
A．a2＝b2 B．a2C．a2≤b2 D．a22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有两个解 D．至少有三个解
3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．
则正确的序号顺序为(B)
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.
答案：a≠1或b≠1
5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)
A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B．两个不相等的角不是对顶角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.
解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.
6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.故选C.
7．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得 an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.
答案：0
8．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或x其中正确的叙述有__________(填序号)．
解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y或xb”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．
答案：②
9．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c.证明：＝＋不成立．
证明：假设＝＋成立，则＝＝，∴b2＝ac.
又∵b＝，∴＝ac，即a2＋c2＝2ac，即(a－c)2＝0，
∴a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾，
∴＝＋不成立．
10．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负实根．
证明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，ax2－x1>1，且ax1>0.
所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又因为x1＋1>0，x2＋1>0，
所以－
＝
＝>0.
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－.
又0与假设x0<0矛盾，故f(x)＝0没有负实根．
2．3 数学归纳法
1．了解数学归纳法原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．数学归纳法．
设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1或p0)成立；②在假设pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立．
2．用数学归纳法证题的步骤：
(1)证明当n取第一个值n0(例如n0＝0或_n0＝1)时，命题{p(n)}正确；
(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，即p(k＋1)为真；
(3)根据(1)(2)知，当n≥n0且n∈N*时，p(n)正确．
想一想：(1)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法？
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
(1)解析：不能．数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种方法．
(2)解析：数学归纳法的第一步中n0的初始值应根据命题的具体情况来确定，不一定是1.如用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n－2)·180°时，其初始值n0＝3.
1．用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是(C)
A．1 B．1＋q
C．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3
解析：左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故选C.
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(C)
A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1)
C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4)
解析：当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C.
3．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(B)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)．当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)．∴左边乘以(2k＋1)(2k＋2)，同时还要除以(k＋1)．
1．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(B)
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
解析：由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.
2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)(B)
A．n为任何正整数都成立
B．仅当n＝1，2，3时成立
C．当n＝4时成立，n＝5时不成立
D．仅当n＝4时不成立
解析：经验证，n＝1，2，3时成立，n＝4，5，…不成立．故选B.
3．用数学归纳法证明某命题时，左式为＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为(B)
A.
B.＋cos α
C.＋cos α＋cos 3α
D.＋cos α＋cos 3α＋cos 5α
解析：令n＝1，左式＝＋cos α.故选B.
4．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析：观察不等式中分母的变化即可得结论．
答案：＋＋…＋＋＞－
5．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(A)
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析：因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(D)
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
7．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为1＋2＋22＋23＋24，从k→k＋1时需增添的项是25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4．
8．用数学归纳法证明等式1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n∈N*，等式成立．
上述证明错误的原因是没用上归纳假设．
9．证明不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立．
即1＋＋＋…＋＜2.
则当n＝k＋1时，
左边＝1＋＋＋…＋＋＜2＋＝＜＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)试求：a2，a3，a4的值；
(2)由此猜想数列{an}的通项公式an；
(3)用数学归纳法加以证明．
(1)解析：由a1＝1，an＋1＝，可得a2，a3，a4分别是，， .
(2)解析：由此可以猜想数列{an}的通项公式an＝.
(3)证明：①当n＝1时，a1＝＝1，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝.
这说明当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，猜想对一切的n∈N*都成立．
课件26张PPT。2．1.1 合情推理研题型 学方法 题型一 数，式中的归纳推理规律方法：进行数、式中的归纳推理的一般规律
(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
③提炼出等式(或不等式)的综合特点；
④运用归纳推理得出一般结论．
(2)数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．题型二 几何中的归纳推理根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．解析：分别求出前4个图形中线段的数目，并加以归纳，发现规律，得出猜想．图形①～④中线段的条数分别为1，5，13，29.
因为1＝4－3＝22－3，
5＝8－3＝23－3，
13＝16－3＝24－3，
29＝32－3＝25－3.
因此可以猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.
答案：509规律方法：图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．题型三 类比推理已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn有如下性质：
(1)通项公式an＝am＋(n－m)d；
(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；
(3)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap；
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．分析：事物的各个性质间不是孤立的，而是相互联系、相互制约的．等差数列与等比数列之间有着很多类似的性质，利用类比可得等比数列的性质．
解析：在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和Sn.
(1)通项公式bn＝bm·qn－m；
(2)若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N*)；
(3)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am ·an ＝ a；
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．规律方法：类比推理的一般步骤：
(1)找相似：找出两类对象可以确切表达的相似特征；
(2)提猜想：用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想；
(3)验结论：检验这个猜想是否正确．题型四 合情推理的应用设f(n)＝n2＋n＋41(n∈N*)，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判断是否对所有n∈N*都成立．
分析：求出f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值后寻找它们的共同特征．
解析：f(1)＝12＋1＋41＝43，
f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，
f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，
f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，
f(10)＝102＋10＋41＝151.
从中知f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值都为质数，所以归纳得出猜想：f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．
因为f(40)＝402＋40＋41＝41×41为合数，
所以猜想f(n)＝n2＋n＋41的值为质数是错误的．规律方法：归纳推理和类比推理的共同点：可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、推理、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．?变式训练
4.观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律， 第n个等式可为____________．解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
析疑难 提能力类比不当致误.【典例】 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解析：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ【易错剖析】三角形中的内角类比到空间中可以是线面角，也可以是面面角，这里面面角应该合理些；三角形中的射影定理等式右边是边长与角的余弦值相乘，类比到空间中，应该是面积与面面角的余弦值相乘，而不是棱长与角的余弦值相乘．这些类比的不确定性，要根据实际情况认真分析．课件23张PPT。2．1.2 演绎推理研题型 学方法 题型一 把演绎推理写成三段论将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
(3)通项公式an＝2n＋3表示的数列{an}为等差数列．
(4)Rt△ABC的内角和为180°.解析：(1)平行四边形的对角线互相平分；大前提
菱形是平行四边形；小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形两底角相等；大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角；小前提
∠A＝∠B.结论
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列；大前提通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)；小前提
通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列．
结论
(4)三角形的内角和是180°；大前提
Rt△ABC是三角形；小前提
所以Rt△ABC的内角和是180°.结论规律方法：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．?变式训练
1．试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；
(2)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(3)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1，2，3，…，n是等差数列，所以数列1，2，3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．解析：(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行
小前提：海王星是太阳系里的大行星；
结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．
(2)大前提：一次函数都是单调函数；
小前提：函数y＝2x－1是一次函数；
结论：y＝2x－1是单调函数．
(3)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q；
小前提：数列1，2，3，…，n是等差数列；
结论：数列1，2，3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．题型二 三段论在几何证明中的应用如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明：因为同位角相等，两直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论规律方法：应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．?变式训练
2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.题型三 演绎推理在代数中的应用用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
分析：证明本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数y＝f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1(1)自然数是整数，所以6是整数．
(2)y＝sin x(x∈R)是周期函数．解析：(1)自然数是整数，(大前提)
6是自然数，(小前提)
所以6是整数．(结论)
(2)三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)【易错剖析】若对“三段论”的推理形式和大小前提使用不当，则会出现下列错误：
(1)自然数是整数，(大前提)
6是整数，(小前提)
所以6是自然数．(结论)
(2)函数是周期函数，(大前提)
y＝sin x(x∈R)是函数，(小前提)
所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)课件21张PPT。2．2.1 综合法与分析法研题型 学方法 题型一 综合法的应用?变式训练
1．已知a，b，c为不全相等的实数，求证：a4＋b4＋c4>abc(a＋b＋c)．
证明：因为a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，又a，b，c不全相等，所以上面三式中至少有一个式子不能取“＝”号，所以a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.①
因为a2c2＋b2c2≥2abc2，同理a2b2＋a2c2≥2a2bc，b2c2＋b2a2≥2ab2c，
所以a2b2＋b2c2＋c2a2>abc2＋a2bc＋ab2c.②
由①②得a4＋b4＋c4>abc(a＋b＋c)题型二 分析法的应用如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过点A作SB的垂线，垂足为点E；过点E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，
故只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC，而AE⊥SB，
只需证AE⊥BC，而AB⊥BC，
故只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA.
由SA⊥平面ABC可知，SA⊥BC，即上式成立．
所以AF⊥SC成立．题型三 综合法与分析法的综合应用规律方法：分析综合法的特点及证明思路
(1)根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头凑法”．
(2)分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点析疑难 提能力因逻辑混乱而致误.课件19张PPT。2．2.2 反 证 法研题型 学方法 题型一 用反证法证明否定命题规律方法：(1)反证法的一般步骤．
①反设：假设命题结论不成立(即假设结论的反面成立)；②归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立．
(2)当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．题型二 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题规律方法：应用反证法的情形．
①直接证明困难；
②需分成很多类进行讨论；
③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题；
④结论为 “唯一”的一类命题．
反证法的思维方法：正难则反．
特别提示：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾．?变式训练
2．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，
求证：a，b，c，d中至少有一个负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数，
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴(a＋b)(c＋d)＝1.
又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
∴ac＋bd≤1.
这与已知ac＋bd>1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．题型三 用反证法证明唯一性问题规律方法：用反证法证明唯一性命题的一般思路
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性，当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用反证法证其唯一性比较简单明了．析疑难 提能力反证法证明时反设不全面致误.【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．课件35张PPT。2．3 数学归纳法研题型 学方法 题型一 用数学归纳法证明等式规律方法：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关系．由“n＝k”到“n＝k＋1”时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．题型二 用数学归纳法证明不等式规律方法：用数学归纳法证明不等式的有关技巧
(1)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标进行适当的放缩来实现．
(2)在应用归纳假设证明时，在证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．题型三 用数学归纳法证明整除问题题型四 用数学归纳法证明几何问题平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且三个圆都不相交于同一点．
求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．
分析：证明第二步时，通常需要借助于图形的直观性，说清楚在满足条件的k个圆的基础上，增加了一个圆(第k＋1个圆)后，第k＋1个圆与前k个圆相交，被分成多少段弧，进而说明增加了多少个区域，从而建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系．证明：(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两个部分，而f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆相交于2k个点．这2k个点把圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成2个部分．因此，这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，
即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立．
根据(1)(2)可知，n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．规律方法：用数学归纳法证明几何问题的类型及证法
(1)在几何问题中，常有与n有关的几何证明，其中有交点个数、直线条数、内角和、划分区域等问题．这些问题可用数学归纳法证明．
(2)利用数学归纳法证明这些问题时，关键是“找项”，即儿何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．题型五 数学归纳法在数列中的应用规律方法：数学归纳法在数列中的应用，一般是先用不完全归纳法猜想出结论，再用数学归纳法证明．析疑难 提能力未应用归纳假设而致误.章末小结
(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．
(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．
找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦．
(2)与圆心距离相等的两弦相等．
(3)圆的周长c＝πd(d为直径)．
(4)圆的面积S＝d2.
解析：圆与球具有下列相似性质．
1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．
2．是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：
圆
球
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(非轴截面)圆心的连线垂直于截面
(2)与圆心距离相等的两条弦长相等
与球心距离相等的两个截面圆面积相等
(3)圆的周长c＝πd
球的表面积S＝πd2
(4)圆的面积S＝d2
球的体积V＝d3
由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，a≠1，则∈A，证明：
(1)若2∈A，则集合A必有另外两个元素，并求出这两个元素；
(2)非空集合A中至少有三个不同元素．
分析：从集合中的元素满足的条件“若a∈A，则∈A(a≠1)”出发；当a＝2时，依次进行检验，即可得证．
证明：(1)∵a∈A，a≠1，则∈A.
∴2∈A时，有＝－1∈A.
由于－1≠1，有＝∈A.
由于≠1，有＝2∈A.
如此循环可知集合A中的另外两个元素为，－1.
(2)∵集合A非空，故存在a∈A，a≠1，有∈A，
∴∈A且≠1，
即a≠0时，有＝∈A，即如此循环出现三个数a，，∈A.若a＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．
若＝＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．
若a＝，则a2－a＋1＝0，方程无实根．
∴a，，互不相等，故集合A中至少有三个不同元素．
分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：
(1)分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．
(2)确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．
(3)解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．
设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明：方法一 综合法
因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＝a＋b≥2，≤，ab≤，所以≥4，
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，
所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
方法二 分析法
因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8.
只要证＋≥8，
只要证＋≥8，
即证＋≥4.
也就是证＋≥4.
即证＋≥2，
由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，
所以原不等式成立．
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则?q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p，则?q”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题思想．
一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，证明：不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
证明：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝－1，
所以(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，
即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.
由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝.
所以(1＋a2)·－a·＋1＝0，
即a2＝－2，这是不可能的．
所以假设不成立．故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
数学归纳法的两关关注
(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少．
(2)关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*.
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
(2)当a1≥2时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋1.
解析：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3.
由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4.
由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.
由此猜想an的一个通项公式为an＝n＋1(n≥1)．
(2)证明：①当n＝1时，∵an＝a1≥2，n＋1＝1＋1＝2，∴不等式成立．
②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋1.
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2.
也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1>(k＋1)＋1.
根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋1.
一、选择题
1．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝是指数函数(小前提)，所以函数y＝是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是(A)
A．大前提错误导致结论错
B．小前提错误导致结论错
C．推理形式错误导致结论错
D．大前提和小前提错误导致结论错
解析：推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数；当a＞1时，y＝ax是增函数．故选A.
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明：
1－＋－＋…＋＝2(＋＋…)时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(B)
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
解析：因为n为正偶数，n＝k(k≥2为偶数)，所以下一步要证明的命题也应该是在偶数条件下成立，所以，还需要证明n＝k＋2时等式成立，故选B.
3．若m，n是正整数，则m＋n>mn成立的充要条件是(D)
A．m，n都等于1
B．m，n都不等于2
C．m，n都大于1
D．m，n至少有一个等于1
解析：∵m＋n>mn，∴(m－1)(n－1)<1.
∵m，n∈N*，∴(m－1)(n－1)∈Z，
∴(m－1)(n－1)＝0.
∴m＝1或n＝1，故选D.
4．下列结论正确的是(B)
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0解析：A错在lg x的正负不清；C错在等号成立的条件不存在；根据函数f(x)＝x－的单调性，当x＝2时，f(2)max＝，故D错．故选B.
5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(D)
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：解法一 因为a＋b＋c＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
所以ab＋bc＋ca＝－≤0.
解法二 令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a、b异号，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故选D.
6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为(A)
A．a＝，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a、b、c
解析：令n＝1，得1＝3(a－b)＋c，
令n＝2，得1＋2×3＝9(2a－b)＋c，
令n＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a－b)＋c.
即，∴a＝，b＝c＝.故选A.
7．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于(B)
A．f(k)＋ B．f(k)＋π
C．f(k)＋π D．f(k)＋2π
解析：由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.故选B.
8．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝(C)
A．18 B．24
C．60 D．90
解析：由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，2a1＋3d＝0.再由S8＝8a1＋d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋d＝60，选C.
二、填空题
9．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝________；前8项的和S8＝________(用数字作答)．
解析：a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝2a2＝4，a4＝2a3＝8，a5＝2a4＝16，易知S8＝＝255，∴应填255.
答案：16 255
10．(2014·郑州高二检测)图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是________．
解析：分别观察正方体的个数为：1，1＋5，1＋5＋9，…
归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，
所以S7＝2×72－7＝91.
答案：91
11．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
解析：类比如下：正方形?正方体；截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方?三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.(这个结论是正确的，证明略)
答案：S2＝S＋S＋S
12．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________．
解析：由已知中的等式：×＝1－
×＋×＝1－，
×＋×＋×＝1－，…，
所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－.
答案：1－
三、解答题
13．证明不等式：××…× <(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，显然 < ，不等式成立．
(2)假设n＝k时，不等式成立，
即××…×<，
则n＝k＋1时，××…××<×＝，要证n＝k＋1时，不等式成立，只要
<成立．
即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2，
即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.
该不等式显然成立．
即n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．
14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
(1)解析：如下图，取CD的中点G，连接MG，NG，
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF.
所以MG⊥GN.
所以MN＝＝.
(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB?平面MBEN，
且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.
由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB?平面DCEF.
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.
所以EN∥AB，又AB∥CD∥EF，
所以EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，
故假设不成立．
所以ME与BN不共面，它们是异面直线．
15．在圆x2＋y2＝r2(r>0)中，AB为直径，C为圆上异于A、B的任意一点，则有kAC·kBC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明．
解析：类比得到的结论是：在椭圆＋＝1(a>b>0)中，A、B分别是椭圆长轴的左右端点，点C(x，y)是椭圆上不同于A、B的任意一点，则kAC·kBC＝－
证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP·kBP＝·＝.
由于A、B、P三点在椭圆上，∴
两式相减得，＋＝0，
∴＝－，即kAP·kBP＝－.
故在椭圆＋＝1(a>b>0)中，长轴两个端点为A、B、P为异于A、B的椭圆上的任意一点，则有kAB·kBP＝－.
16．在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解析：(1)由S1＝a1＝得a＝1，
∵an>0，∴a1＝1.
由S2＝a1＋a2＝得a＋2a2－1＝0.
∴a2＝－1.
由S3＝a1＋a2＋a3＝得a＋2a3－1＝0.∴a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N*)．
证明如下：①n＝1时，a1＝－命题成立．
②假设n＝k时，ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
即ak＋1＝－
＝－，
∴a＋2ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1时，命题成立，
由①②知，n∈N*，an＝－.
章末过关检测卷(二)
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·开封高二检测)根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是(C)
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．非以上答案
解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.
2．余弦函数是偶函数，f(x)＝cos(x＋1)是余弦函数，因此f(x)＝cos(x＋1)是偶函数，以上推理(C)
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．
3．下面四个推理不是合情推理的是(C)
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
解析：A是类比推理，B、D是归纳推理，C不是合情推理．
4．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(6)>，f(8)>3，f(10)>，观察上述结果，可推测出一般结论为(C)
A．f(2n)＝ B．f(2n)> C．f(2n)≥ D．f(n)>
解析：观察所给不等式，不等式左边是f(2n)，右边是，故选C.
5．下列推理是归纳推理的是(B)
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积pr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝pab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.
6．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，所以n＝k＋1时，不等式成立．
则上述证法(D)
A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．故选D.
7．下列推理正确的是(D)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)
8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(B)
A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
解析：n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.
9．(2015·江西省六校高三3月联考数学文11)某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2015个三角形中共有▲的个数是(C)
A．64 B．63 C．62 D．61
解析：前n个三角形中共有▲的个数是1＋2＋3＋…＋n＋n＝，由＝2015，解得n＝62，选C.
10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C分别为a、b、c边所对的角，若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是(B)
A. B. C. D.
解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
∴cos B＝＝＝－≥－＝.
∵余弦函数在内单调递减，故0＜∠B≤.故选B.
11．观察数表：
1 2 3 4……第一行
2 3 4 5……第二行
3 4 5 6……第三行
4 5 6 7……第四行
… … … …
… … … …
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为(A)
A．2n－1 B．2n＋1 C．n2－1 D．n2
12．(2015·湖北武汉调研测试)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4(从左至右)出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…；依此类推，则按网络运作顺序第n行第1个数(如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4…)是(D)
A. B.
C. D.
解析：由题意分析可知，第n行总共有n个数字，n∈N*，∴第n行中最小的数字为1＋(1＋2＋…＋n－1)＝1＋＝，最大的数字为＋n－1＝，而第n行中第一个出现的数字是行中最小的，即.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．
答案：x，y都大于1
14.＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a，b均为实数)，请推测a＝________，b＝________．
解析：由2＋，3＋，4＋可以求出3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，所以在6＋中，
a＝6，b＝a2－1＝62－1＝35.
答案：6 35
15．如图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：
仿此，52的“分裂”中最大的数是________，53的“分裂”中最小的数是________．
解析：依题意推知：
因此52的“分裂”中最大的数为9，53的“分裂”中最小的数为21.
答案：9 21
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T4，，，成等比数列．
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分11分)如图所示，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
证明：假设AC⊥平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC，因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB，因为AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.
所以平面SAB∥底面圆O，这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．
18．(本小题满分11分)已知：A，B都是锐角，且A＋B≠90°，(1＋tan A)(1＋tan B)＝2.求证：A＋B＝45°.
证明：∵(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，
展开化简为tan A＋tan B＝1－tan Atan B.
∵A＋B≠90°，tan(A＋B)＝＝1.
又∵A，B都是锐角，∴0°∴A＋B＝45°.
19．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：c－＜a＜c＋.
证明：要证c－＜a＜c＋，
只需证－＜a－c＜，
即证|a－c|＜，
只需证(a－c)2＜()2，
只需证a2－2ac＋c2＜c2－ab，即证2ac＞a2＋ab，因为a＞0，所以只需证2c＞a＋b.
因为2c＞a＋b成立．
所以原不等式成立．
20．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长都是有理数，求证：
(1)cos A是有理数；
(2)对任意正整数n, cos nA和sin A·sin nA是有理数．
证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
cos A＝是有理数．
(2)用数学归纳法证明 cos nA和sin A·sin nA都是有理数．
①当n＝1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin A·sin nA＝1－cos2A也是有理数．
②假设当n＝k(≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数．
当n＝k＋1时，
由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，
sin A·sin(k＋1)A
＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)
＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，由①和归纳假设，知cos(k＋1)A和sin A·sin(k＋1)A都是有理数．
即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①②可知，对任意正整数n，cos nA，sin A·sin nA是有理数．
21．(本小题满分12分)已知a、b∈R，求证：≥.
证明：设f(x)＝，x∈[0，＋∞)．设x1、x2是[0，＋∞)上的任意两个实数，且0≤x1则f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为x2>x1≥0，所以f(x2)>f(x1)．
所以f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．(大前提)
由|a|＋|b|≥|a＋b|≥0(小前提)
知f(|a|＋|b|)≥f(|a＋b|)
即≥成立．
22．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
解析：(1)a1＝S1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0，
∵an>0，∴a1＝－1.
S2＝a1＋a2＝＋－1，即a＋2a2－2＝0，∴a2＝－.
S3＝a1＋a2＋a3＝＋－1，
即2a＋2a3－2＝0，∴a3＝－.
(2)由(1)猜想an＝－，n∈N*.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由(1)知a1＝－1成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，ak＝－成立．
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－＝＋－.
∴a＋2ak＋1－2＝0.
∴ak＋1＝－.即当n＝k＋1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N*都成立．
